I Морозова В.Д. Введение в анализ (1081368), страница 51
Текст из файла (страница 51)
(10.2) 7(х) ~( )Р(х) * Ф(х) ~(х) Определение 10.2. Функцию а(х) называют б.м. более еысояого еорлдяа малости по сравнению с ф(х) (нлн отвосительво ф(х)) ври х ~ о и зависыеыот о(х)д,о())(х)) ! (снмвол о читают "о малое"), если существует н равен нулю предел отношення а(х)ф(х), т.е. а(х) =,о(ф(х)):~ Э1ип — =О. а(х) (10.3) В этом случае также говорят, что функция ф(х) является б.м. бо.атее яазяого порадяа малости по сравнению с а(х) прн х -+ а, причем слово „малости" обычно опускают (как н в случае более высокого порядка в определении 10.2).
Сказанное озвачает, что если вт (о(х)ф(х)) = со, то функция ))(х) является, согласно определению 10.2, б.м. более высокого порядка по сравнению с а(х) прн х-+а н а(х) есть б.м. более низкого порядка по сравнению с ф(х) прн х -+ а, нбо в этом случае 11ш (ф(х)/а(х)) = О.
Так что можно записать х-+в ,8(х) д,о(а(х)):4Ф Э 1ип — = оо. ° а(х) (10.4) Согласно теореме 7.3 о связи функции, ее предела н б.м. функцнн нз (10.3) следует, что а(х)/)Р(х) = 7(х) — функция, б.м. Очевидно, что тогда, согласно (7.24), Э 1пп )9(х)/а(х) =1/сЕ х-+ю ЕЙ~((0), н правомерна запись ф(х) =,0(а(х)). Символ 0 обладает свойством транзитпивностпи, т.е. если а(х) =,0()8(х)) н,д(х)д 0(у(х)), то а(х) =,0(у(х)). В самом деле, сучетом определення 10.1 н свойства произведения функций (см. (7.23) ), имеющих конечные (в данном случае не равные нулю) пределы, получим 10.1.
Сравнение бескоыечно малых функций 357 ~ Действительно, согласно определению 10.2 б.м. более высо- кого порядка (с учетом определения 7.10 б.м. функции), равен- ства 1пп ( = Бш,О(х) =0 и йп = 1пп а(х) =0 з-+в ~т(х) ~-+в а-+а,в(х) ж-+а означают справедливость утверждения теоремы. В Равенства, содержащие символы О и о, иногда называют асимитиотпичесмими оиекяами. Определение 10.3.
Функции о(х) и,В(х) называют несравнимыми 6.м. при х -+ а, если не существует ни конечного, ни бесконечного вредна их отношения, т.е. если 3 1пп а(х)ф(х) (равно как 3 1пп 8(х)/о(х) ). Пример 10.1. а. Функции а(х) =х и 8(х) =в1п2х в силу определения 10 1 — б.м. одного порядка при х -+ О, так как с учетом (7.24), (7.33) и (7.36) ф(х) . в1п 2х 1пп — = Иш — = ~-+о а(х) -+о х 2х=8, в1п 1 = 2 1пп — = 2;6 О. ~-+о б. Функция а(х) = 1 — совх, по определению 10.2, — б.м.
более высокого порядка по сравнению с,8(х) = х при х -+ О, поскольку с учетом (7.23), (7.33) и (7.36) х/2=3, +о О а(х) . 1 — сов х . в1п~(х/2) 1пп — = 1пп = 1пп ю-+о ф(х) ж-+о х ~-~о х/2 при х -~ а. Отсюда а(х) = 7(х)8(х),т.е. значения ~а(х)~ при х, близких к а, много меньше значений ~ф(х) ~. Иными словами, функция а(х) стремится к нулю быстрее функции,В(х). Теорема 10.1. Произведение любых б.м. при х -~ а функций а(х) и,д(х), отличных от нуля в некоторой проколотой окрестности точки а, есть при х -+ а б.м. функция более высокого порядка по сравнению с каждым из сомножителей.
358 10. АСИМПТОТИЧЕСКОЕ ПОВЕДЕНИЕ в1п $ = Ьш — Иш в1п 1 = 1 0 = О. ю-+о й с-+о в. Функция а(х) = фх есть б.м. более низкого порядка по сравнению с ~3(х) = х при х + О, так как Ьш — = Иш — = Иш —,=со. а(х) . ф~х . 1 -ю ф(х) -+о х -+о ф~я г. Функции а(х) = хв1п(1/х) и ~3(х) = х согласно определению 10.3 — несравнимые б.м. при х -+ О, поскольку предела ° а(х) .
х в1п(1/х) .. 1 Иш — = Иш = 1пп вш— -+о ф(х) -+о х -+о х Иш — = с б Е ~ (0). а(х) -+а ~9~(х) (10.5) не существует (ни конечного, ни бесконечного — см. пример 7.5). д. Степенная функция х" с показателем стпепени п б Х, п > 1, является при х -+ а б.м. более высокого порядка по сравнению с х" ', т.е. х" = о(х" 1), так как 1пп (х"/х" ') = х-+а х-+о = 1ппх=О. 4~ х-+о При необходимости более точной сравнительной характеристики поведения б.м. функций при х -+ а одну из них выбирают в качестве своего рода эталона и называют ее основной.
Конечно, выбор основной б.м. в известной мере произволен (стремятся выбрать попроще: х при х-~0; х — 1 при х-+1; 1/х при х-+со и т.п.). Из степеней ~~(х) основной б.м. функции 9(х) с различными показателями Й>Р (при Й<0 ~9~(х) не является б.м.) составляют шкалу сравмемил для оценки более сложной б.м. функции а(х). Определение 10.4. Функцию а(х) называют 6.м. й-ео ворлдма малости относительно Д(х) при х -+ а, а число Й— иорлдмом малостии, если функции а(х) и ф~(х) являются б.м. одного порядка при х -+ о, т.е.
если 35Я 10.1. Сравнение бесконечыо калых функций Слово „малости" и в этом случае обычно опускают. Отметим: 1) порядок Й одной б.м. функции относительно другой может быть любым положительным числом; 2) если порядок функции а(х) относительно ф(х) равен й, то порядок функции,8(х) относительно а(х) равен 1/Й; 3) не всегда для б.м. функции а(х), даже сравнимой со всеми степенями ~8"(х), можно указать определенный порядок Й.
Пример 10.2. а. Функция а(х) = 1 — совх, согласно определению 10.4, — б.м. порядка Й = 2 относительно,д(х) = х при х -+ О, так как с учетом (7.23), (7.33) и (7.36) а(х) . 1- совх . 2в1п~(х/2) !ип — = 1ип = 1ип х-+О,В" (х) *-~о х~ з-+о х~ х/2=1, й;+оО 1, в1п~1 1 . в1п1 . в1п1 1 1 = -1ип — = -1ип — ° 1ип — = — ° 1 1= — ф-0. 2~-~о Р 2~-+о ~ ь-+о ~ 2 2 а'~' 1ип — = О. -++о х" (10.6) Действительно, 1/х =~, к~+о+ а'~' 1ип — = -++о х" 1ип а'1 = 1ип — =0 1-++ш Ф-++ (1/а) ~ согласно (7.32). Таким образом, б.м. при х-++О функция а'~' сравнимас х" при любом Й>0, но указать для этой функции порядок малости относительно х не удается.:ф Определить порядок одной б.м. функции относительно другой не всегда просто. Можно рекомендовать такой порядок действий: б.
Рассмотрим функции а(х) =а~~~, аЕ (О, 1) и ф(х) =х, б.м. при х -++О. Покажем, что при любом й > 0 360 10. АСИМПТОТИЧЕСКОЕ ПОВЕДЕНИЕ 1) написать под знаком предела отношение а(х)/~3~(х); 2) проанализировать записанное отношение и попытаться упростить его; 3) опираясь на известные результаты, выдвинуть предположение о возможном значении Й, при котором будет существовать не равный нулю конечный предел; 4) проверить предположение путем вычисления предела. Пример 10.3.
Определим порядок б.м. функции Фаях — в1п х относительно х при х -+ О, т.е. найдем такое число Й > О, чтобы Имеем Фцх — з1пх . (1-совх)з1пх . 2з1п~(х/2) з1пх 1ип = 1ип — 1пп -+О хй -+О хйсозх х-+О хйсозх На этом этапе, зная, что при х -+ О, согласно (7.35) и (7.36), (з1пх)/х-+ 1 и созх -+ 1, и учитывал (7.23) и (7.33), можно определить, что условие (10.7) будет выполнено при Й = 3.
Действительно, непосредственное вычисление предела при Й = 3 дает значение А = 1/2: Фаях — в1п х . 2в1п~(х/2) з1п х 1ип = 11ш х-+О хз ~-+0 4(х/2) 2 х сов х 1 . з1п(х/2) . з1п(х/2) . з1п х . 1 1 = — 1пп ° 1пп ° 1пп — 1пп — = —. 2 х-+О х/2 *-+О х/2 ~-ьо х ~-+О сов х 2 10.2.
Эквивалентные бесконечно малые функции Среди б.м. функций одного иорядка особое место в приложениях занимают эквивалентные б.м. функции. Отметим, что при Й > 3 получим бесконечный предел, а при 0 < Й < 3 предел будет равен нулю. 362 20. АСИМПТОТИЧЕСКОЕ ПОВЕДЕНИЕ и, согласно определению 10.2, а(х) — ф3(х) д,о(ф3(х)). Аналогично можно доказать, что а(х) — ~3(х) =,о(а(х)). Обратно, при а(х) — ~3(х) д,о(ф(х)) с учетом определения 10.2 имеем 0= 1ип а(х) — ~9(х) .
а(х) = 1ип — — 1 и 1ип — =1, а(х) х-+а ф(х) х-+а ф(х) х-+а ф(х) 1ип Р(8) = 1ип (®) = 1ип — =1, ~-~т ~-ьт ф(х(~)) х-+а ф(х) что, по определению 10.5, означает а(х(1)) д,ф(х(1)). )~ Эта теорема позволяет использовать замену переменных при установлении эквивалентности б.м. функций. Принимая во внимание (10.8), установим некоторые основные соотношения эквивалентности элементпарных функций.
1. Согласно первому замечательному пределу (7.36) (10.10) в1п х ° х. х-+О 2. В силу (7.37) (10.11) ФКх ~ х. х-ФО а это, по определению 10.5, означает, что а(х)д,ф(х). Из предположения а(х) — ф(х)д,о(а(х)) следует такой же результат. ° Теорема 10.3. Если б.м. при х -+ а функции а(х) и ~3(х) являются эквивалентными при х-+ а, а функция х(8) в а некоторой проколопюй окрестности 0(т) точки т отлична от а и при 8-~т стремится к а, то сложные функции а(х($)) и ф(х(1)) эквивалентны при 1 — >т. ~ В самом деле, согласно (7.33) и условию данной теоремы, с учетом (10.8) для сложной функции Г(й)=а(х(Ф))ф(х(й)) существует предел 10.2.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
