I Морозова В.Д. Введение в анализ (1081368), страница 52
Текст из файла (страница 52)
Эививажнчмые бесконечно иаеые функции 363 3. Функция х(1) =агсвиИ непрерывна в точке 1=0 (см. 9.б), и поэтому в силу (9.1) Бпь агсип 8 = агсвшО = О. Согласно (10.10) $-Ю и теореме 10.3 $ = а1п(агсвш$)д агсвш1, или, возвращаясь к обозначению аргумента через х, (10.12) агайпх ° х. е-+О 4. Из непрерывности в точке 1 = 0 функции х($) = агсФф (см. 9.б) следует 1ип агс®$ = агс®~0 = О. Тогда из (10.11) и $-+О теоремы 10.3 $ = ФфагсФф), агсГф, или, обозначая аргумент через х, имеем 1п(1+ х) х. (10.14) Поскольку 1ои,(1+ х) = (1п(1+ х))/1п а, согласно (10.14) имеем 1оц,(1+х)- (10.15) 6. В силу непрерывности функции х(~) =е' — 1 в точке ~ = 0 (см.
9.б) 1ип(е' — 1) = О. Согласно (10.14) можно записать $-+О 1п(1+ е' — 1) де' — 1, или $, е' — 1. Возвращаясь к обозначению аргумента через х, получим е* — 1м х. е-+О (10.16) 7. С учетом (10.16) вычислим х=е' — 1, ~ = 1п(1+х), +ОО (1+ еФ 1)а = 1ип ю-ю е' — 1 (1+х)'-1 1ип ж-+О Х агах х. (10.13) 5. Исходя из второго замечательного предела, заключаем, что 1ип(1+х)'/ =е. В силу непрерывности функции 1пу в х'-Ю точке у=е с учетом (9.12) получим 1ип 1п(1+ х) = 1ип1п(1+х) /~=1п1ип(1+х) /*=1пе=1, е-+О х ж-+О е-+О или 364 10. АСИМПТОТИЧЕСКОЕ ПОВЕДЕНИЕ е" — 1 =81ип ° 1ип — =8 1 ° 1=8.
Ф-+о 8г Ф-+О е~ — 1 Следовательно, (1+х)' — 1 8х, или при 8ЕВ~(0~ (1+ х)' — 1 8 х~РО (10.17) В частностн, при аж 1/2 Я+х — 1 х/2. Из полученных соотношений (10.10)-(10.17) с учетом транзитивности свойства эквивалентности (10.9) следует х ° в1п х ° ~~х агсзш х ° агар 1п(1+ х) ° х-+О х-+О х-+О х-+О х-+О х-+О (1 + х)' — 1 о1п'ЬК.(1+') о" ' о (10.18) Еще раз отметим, что, согласно теореме 10.3, в этой цепочке эквивалентных при х -~ 0 б.м. функций аргумент х сам может быть функцией, которая отлична от нуля в некоторой О проколотей окрестности Цт) точки т и Бш х(~) = О.
В Ф-+т частности, при а > 0 будем иметь (е!Пв)х 1 ехйв х-+О Полагая, например, в (10.14) х = 1 — 1, при 1 -> 1 получим 1п(1+1 — 1)д 1 — 1. Итак, (10.19) ах — 1 ° х1па х-+О 1пх ~ х — 1. х-+1 (10.20) Учитывая (10.14), (10.16) и (10.20), можно, например, записать 1п(1+з1пх) Фаях, е'~ — 1 совх, 1псозх созх-1. Теорема 10.4. Пусть а(х) ~,ф(х) и Дх) — некоторая функция, определенная в проколотой окрестности точки а. Тогда, если существует предел при х-~а произведения а(х)Дх) 366 10. АСИМПТОТИЧЕСКОЕ ПОВЕДЕНИЕ Пример 10.б.
Для суммы в1пх+ 1п(1+х~)+ фх б.м. при х -+ 0 функций главной частью будет ф~х, поскольку с учетом (10.18) и теоремы 10.4 81ПХ . Х 1п(1+ х2) . х2 11п1 —, = Ипь —, =О и 11п1, = Бп1 —,=0 х-+О ~за х-+О Я х-+О ~зх х-+О ф'х т.е. в1пх = о®х) и 1п(1+х~) = о(~зх) согласно определе- нию 10.2. ф Когда для каждого слагаемого в сумме б.м. при х -+ а функций можно указать порядок й относительно х — а, главной частью такой суммы будет слагаемое (если оно единственное) низшего порядка. В сумме б.м.
при х -+ оо функций главной частью будет слагаемое низшего порядка относительно 1/х при условии, что оно единственное, и для каждого слагаемого можно указать порядок малости. Теорема 10.5. Сумма конечного числа б.м. при х -+ а функций эквивалентна своей главной части, или Ж Ув = 2, М о„(х)д,о(о1(х)) ~ а(х) = ~~~~о„(х),~,о1(х). л=1 если а1(х) — главная часть суммы а(х), то с учетом свойства (7.22) суммы функций, имеющих конечные пределы, и определения 10.2 найдем Ьт — = 1!т 1+) —" =1+) Ьт — "=1, ° а(х) .
ал(х) . а„(х) х-+а й1(Х) х-+а 01(Х) х-+а а1(Х) л=1 л=1 алавной частиью суммы б.м. при х -+а фумпа~и4. Ина че, главная часть суммы б.м. — зто слагаемое более кизкого порядка малости по сравнению с каждым иэ остальных сла гаемых. Ясно, что если в сумме есть кесравнимые слагаемые (см. определение 10.3), то выделить главную часть не удается. 368 10. АСИМПТОТИЧЕСКОЕ ПОВЕДЕНИЕ б. Найдем х4 - вш х+ Фцх !ип *-+о 1п(1-~- хз) Числитель дроби под знаком предела является алгебраической суммой трех б.м.
при х — > О функций, причем х4 = о(х), и согласно (10.5), (10.8), (10.18) в1пх = 0(х) и Фцх = 0(х), т.е. два слагаемых имеют одинаковый (первый) порядок относительно х. В этом случае надо иначе разбить сумму б.м. функций, с тем чтобы выделить ее главную часть. Из примера 10.3 с учетом (10.8) следует, что ~~х — з1пх - хз/2, и по теореме 10.5 числитель дроби под знаком предела эквивалентен б.м. при х-+О функции хз/2, поскольку х4 = о(хз/2). Знаменатель дроби в силу (10.18) и теоремы 10.3 эквивалентен при х -+ 0 б.м.
функции хз. В итоге данный предел равен 1/2. ф В общем случае можно говорить о главной части не только алгебраической суммы о(х) конечного числа б.м. при х -+ а функций, но и произвольной по структуре функции а(х), эквивалентной при х -+ а степенной фуннции А(х — а)~. Тогда, согласно теореме 10.2, а(х) = А(х — а)" + у(х), А ф О, й > О, (10.24) где у(х) д,о((х — а) ~) — б.м. функция более высокого порядка по сравнению с (х — а)" при х -+ а. 1 — созх+ 2х 1пп -+О ахсв1п х Числитель дроби под знаком предела является суммой двух б.м.
при х-+О функций 2х и 1-созх=2в1п"(х/2). Главной частью этой суммы будет 2х, так как из примера 10.2.а следует, что 2впР(х/2) = о(2х). В силу (10.18) агсз1пх - х. Заменив числитель и знаменатель дроби на эквивалентные им при х -+ 0 б.м. функции соответственно 2х и х, получим, что данный предел равен 2. в. Вычислим 10.3. Гланнаа часть бесионечно капой функцнн 369 Степенная функция А(х — а)» будет главной частью б.м. при х -~ а функции а(х). Покажем, что представление функции о(х) в виде (10.24) единственное.
В самом деле, если бы наряду с ним было возможно представление а(х) = =В(х-а) +Цх),где Ву60, т>0 и 6(х) =,о((х-а) ),то, согласно теореме 10.2, А(х — а)» ~,а(х) ~ В(х — а)"', что возможно в силу (10.8) лишь при В = А и т = й. Процедура выделения главной части в виде А(х — а)» для б.м. при х-+а функции а(х) связанас рассмотрением предела а(х) -+а А(х — а)» и подбором значений Й и А, так, чтобы этот предел оказался равным единице. После выделения главной части ее можно использовать для приближенного вычисления значений функции а(х) при значениях х в некоторой окрестности точки а.
Возникающая при этом абсолютная ~7(х)~ и относительная ~7(х)/а(х)~ погрешности будут стремиться к нулю при х -~ а. Если требуется более высокая точность вычисления значений или представления функции а(х) в окрестности точки а, то следует попытаться выделить главную часть из б.м.
при х -+ — ) а функции у(х). Эту процедуру можно продолжить. Такую процедуру уточнения называют построением асиматвотвичесмоно разложеиил) функции в окрестности данной точки. Пример 10.7. Пусть точность замены по (10.17) при 8 = = 1/2 и х ~0 функции ч/1+хи — 1 на функцию х/2 недостл точна. Выделим иа функции ч(х) = ч/1+х — 1 — х/2 главную часть в виде Ах", подобрав А и й из условия Ях) " Ах».
Для этого преобразуем: т() — ( /)(~+*+(+*/)) = 1+ х + (1 + х/2) 10.3. Главная часть бескоиечыо маай функцин 371 б. Рассмотрим теперь функции а(х) = 1п(1+ Зх+ хз) и ,8(х) = 1п(1 — Зх+х~), являющиеся б.м. при х -+ О. Иэ (10.18) с учетом теоремы 10.3 получим 1п(1+Зх+х~) Зх+х~ и 1п(1-Зх+х ) -Зх+х~. Теперь, казалось бы, можно сказать, что главной частью суммы а(х)+,8(х) при х-+О будет 2х~. Но такой вывод явллетсл поспешным и поверхностным, а потому, как часто бывает, неверным. Дело в том, что из (10.18) непосредственно следует лишь эквивалентность 1п(1+ г) г, т.е., согласно теореме 10.2, справедлива запись 1п(1+ л) = г+ у(г), где "у(л) = о(я).
На основании теоремы 10.3 полагаем х равным либо Зх+ х~, либо -Зх+ х~, и тогда 1п(1+ Зх+ х~) = Зх+ х~+ 81(х), 1п (1 — Зх + х~) = -Зх + х + Бз(х). Здесь о1(х) =„о(Зх+х~) и Ю~(х) = о(-Зх+х~). После сложе- нил заданных б.м. функций получим а(х) + ф(х) = 1п(1+ Зх + х~) + 1п(1 — Зх + х ) = = 2х~+ 81(х) + 6~(х), но два последних слагаемых в правой части сами могут содержать слагаемые вида Ах~, которые обязаны войти в главную часть суммы а(х)+ф(х) при х — ~ О. Поэтому для выделения главной части суммы исходных б.м. функций преобразуем эту сумму к виду а(х)+]3(х) =1п((1+Зх+х )(1 — Зх+х )) = 1п(1 7хз+ х4) 7х2+ х4+~(х) где е(х) = о(-7х~+ х4).
Вот теперь вполне определенно и обоснованно можно сказать, что при х-+О главная часть этой суммы равна -7х~. 24 372 10. АСИМПТОТИЧЕСКОЕ ПОВЕДЕНИЕ 10.4. Сравнение бесконечно больших функций 2хэ . 2 йп = йп =2ф.О. а-+оо х~ -~- х а-+ 1-~ 1/хэ б.
Функция а~ (а > 1) является 6.6. более высокого порядка роста по сравнению с х~ (к > 0) при х-++со, так как согласно (7.32) йш — = +со. ж-++оо х~ (10.25) в. Функции х(2+зшх) и х являются несравнимыми 6.6. при х -+ оо, поскольку при х -~ оо не существует предела отношения х(2+з1пх)/х = 2+з~пх (ни конечного, ни бесконечного). Для б.б. функций можно ввести классификацию, аналогичную классификации б.м. функций (см. 10.1), также связанную с пределом их частного. Пусть и(х) и ж(х) — функции, 6.6. при х -+ а (см. определение 7.П), где а — конечная или бесконечная точка расширенной числовой прямой. Если существует Ит и(х)/а(х) = с Е Е ~ (0~, то в этом з-+а случае и(х) и а(х) называют 6.6.
фуяячиями одного иорядяа при х -+ а и записывают и(х) д,О(ш(х)) или а(х) =,0(и(х)). При с = 0 и(х) называют 6.6. фуяяяае4 более яазяого порлдяа роста по сравнению с а(х) при х -+ а и записывают и(х)д,о(и(х)), а в случае бесконечного предела отношения и(х)/ж(х) — 6.6. фуяяа~ве4 более высояого иор*дяа роста по сравнению с ш(х) при х -~ а и записывают ~и(х) д,о(и(х)) (слово „роста" часто опускают). Наконец, если не существует ни бесконечного, ни конечного предела этого отношения, то и(х) и ~и(х) называют несравнимыми при х-~ а 6.6. фуяяциями, Пример 10.9. а.
Функции 2хэ и хэ+х являются 6.6. одного порядка при х -+ оо, так как 10.4. С~ншкеиве бескакечго бааыпих функций 373 Определение 10.7. Б,б. функции е(х) и в(х) при х-+а называют эяваваяеюамыма и обозначают и(х) ~,а(х), если предел их отношения при х -+ а равен единице, или и(х) в(х):~Ф 1пп — = 1. и(х) ~ +~ х-+а ю(х) (10.27) Как и в случае б.м. функций, свойство эквивалентности 6.6. функций симметрично и транзитпивно. Утверждение 10.1. Предел отношения двух 6.6. функций равен пределу отношения им эквивалентных.
Если в сумме конечного числа 6.6. при х -+ оо функций можно указать для каждого слагаемого порядок роста Й относительно х, то слагаемое высшего порядка (если оно единственно) называют главной чвстиъто суммы б.б. при х -+ оо фукю~и4. Так, многочаен степени и Р„(х) =а0х"+а1х" '+...+а„|х+а„(аоу~О) Определение 10.6. Функцию и(х) называют б.б. Й-го порядка относительно а(х) при х — ~ а, а число Й вЂ” порлдком б.б. Фуюеции и(х) относительно а(х) при х -+ а, если функции и(х) и ю"(х) являются 6.6.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
