I Морозова В.Д. Введение в анализ (1081368), страница 53
Текст из файла (страница 53)
одного порядка при х-~а, т.е. если 1пп — = с Е В ~ (0~. и(х) (10.26) з-+в ®~(х) Как и для б.м. функций, порядок Й одной 6.6. функции относительно другой 6.6. функции может быть любым положительным числом, и если порядок функции и(х) относительно в(х) равен Й, то порядок функции ю(х) относительно и(х) равен 1/Й. Не всегда для 6.6, функции и(х), даже сравнимой со всеми степенями а~(х), можно указать определенный порядок й. Так, функция а* (а> 1) сравнима при х-~+оо со всеми степенями х~ (й > 0), но в силу (10.25) указать порядок роста этой функции относительно х при х-++оо нельзя. 374 10.
АСИМПТОТИЧЕСКОЕ ПОВЕДЕНИЕ Утверждение 10.2. Сумма конечного числа 6.6. функций эквивалентна своей главной части. В общем случае можно говорить о главной части не только алгебраической суммы конечного числа 6.6. при х + а (или при х -~ оо) функций, но и произвольной по структуре функции Дх), эквивалентной при х -+ а степенной функции А/(х — а)'" (при х-+оо — степенной функции Ах~), А~60, й >О. Эта степенная функция и будет главной частью 6.6.
функции соответственно при х -+ а или при х -+ оо. Путь нахождения коэффициента А и показателя степени Й основан на использовании определения 10.7 и утверждения 10.2 и подобен процедуре выделения главной части б.м. функции. Пример 10.10. Фуввивв Дх) = 1/1/х — 1 овределева в волуинтервале (О, 1) и как элементарная функция — непрерывна в этом промежутке (см. 3.6 и 9.5).
Так как 1 Ит ~(х) = 1ип — — 1=+со, ж-++О з-++О х при х-++О эта функция является 6.6., а прямая х = 0 бу-, дет вертикальной асимптошой графика Дх). Найдем главную является суммой 6.6. при х -+ оо функций, причем порядок роста Й относительно х каждого слагаемого совпадает с соответствующим показатпелем сшепени.
Поэтому слагаемое аох" высшего порядка роста (Й = п), поскольку оно единственно, и будет главной частью этой суммы при х + оо. Аналогично, если в сумме конечного числа 6.6. функций при х -+ а можно указать для каждого слагаемого порядок роста Й относительно 1/(х — а), слагаемое высшего порядка будет также главной частью такой суммы при х -+ а, если это слагаемое единственное. Например, в сумме 1/зиРх+сФдх двух 6.6. функций при х + 0 согласно (10.18) первое слагаемое имеет второй порядок относительно 1/х, а второе — первый порядок.
Поэтому главной частью этой суммы при х-~0 будет 1/81п~х. 375 10.6. Наквжнав асимптотв,урафика фуккцни часть Дх) при х-++О ввиде А/х" из условия (10.27) эквивалентности 6.6. функции и ее главной части: )пп У(х)/(А/х'б) = ю-++О = 1. Отсюда 1 А= Ит х — — 1= -++о х = 1~т ие 'ухд:х. ж-++О Ясно, что предел в правой части этого равенства будет конечным и отличным от нуля, если й = 1/2. Тогда А = 1, и главной частью ~(х) при х-++О будет 1/ ~Д (рис.
10.1). Поскольку 1 1пп Дх) = 1ип — — 1=0, -+1-о -+1-о х при х -+ 1 — О, ~(х) является б.м. 0 1 х функцией. Найдем главную часть Дх) при х-+1 — 0 в виде А(1 — х)" Рис.10.1 иэ условия (10.8) эквивалентности б.м. функции и ее главной части: 1пп Дх)/(А(1-х)") =1. Отсюда -+1-о 1 1 1 А= И⠄— — 1= 1ип ~~1-О (1 — х)" х -+1-О (1 — х)"-Ю,/х Предел в правой части этого равенства будет конечным и отличным от нуля, если й = 1/2.
Тогда А = 1, и главной частью Дх) при х-е 1 — 0 будет Мх- х (см. рис. 10.1). 10.5. Наклонная асимптота графика функции Пусть главной частпью б.б. при х -+ оо функции ~(х) является Ах и, кроме того, ~(х) — Ах =О+о(х), где О 6 И 376 10. АСИМПТОТИЧЕСКОЕ ПОВЕДЕНИЕ и а(х) — 6.м. фуксия при х -+ оо. Тогда поведение функции Дх) при х -+ оо хорошо описывает линейная зависимость у = Ах+ 6, (10.28) а график функции ~(х) неогра ниченно приближается к арлмо6, которая задается уравнением (10.28). Действительно, сколь бы узкой ни была выбрана заштрихованная на рис. 10.2 полоса (иначе, сколь бы ни было мало положительное число е), существует число М > О, такое, что с учетом определения 7.10 при ~х~) М имеем ~~(х)-у~= Рис.
10.2 =1~(х) — Ах-Ь~=~а(х)~<е, т.е. при ~х~ ) М = шах(~М1 ~, ~М$0 график ~(х) расположен внутри этой полосы. В частном случае, при А =0 получаем горизотьааьную асимптпотпу с уравнением у = 6. Теорема 10.6. Для существования у графика функции Дх) асимптоты с уравнением у = Ах+ 6 необходимо и достаточно, чтобы существовали конечные пределы 1пп — = А у~ 0 и 1пп (Дх) — Ах) = 6 б В. (10.29) ~(х) 4 Необходимость условия следует из определения 10.8, так как имеем ~(х)/х=А+б/х+а(х)/х и ~(х) — Ах=В+а(х) и после Определение 10.8. Прямую у = Ах+6 называют мажаокмоб асимвтвотой графика функции у = ~(х), если эту функцию можно представить в виде ~(х) = Ах+ 6+ а(х), где А,ббй и а(х) — б.м. функция при х-~оо.
10.6. Ойцие рекомендации ао вычисленыю .пределов 377 перехода в этих равенствах к пределу при х -) оо с учетом определения 7.10 получим (10.29). Достаточность условия докажем с использованием теоремы 7.3 о связи функции, ее конечного предела и б.м. функции. Иэ второго равенства (10.29) имеем ~(х) — Ах = б+ а(х), где а(х) — функция, б.м. при х -+ оо, что соответствует представлению функции ~(х) в определении 10.8.
° Отметим, что, строго говоря, для существования у графика функции Дх) асимптоты (горизонтальной или наклонной) достаточно существования при А б Е лишь второго предела в (10.29). В самом деле, если он существует, то ~(х) — Ах = = 6+а(х), или ~(х)/х = А+6/х+а(х)/х, и существует при х -+ оо конечный первый предел в (10.29), который в частном случае может быть равен и нулю. Однако для практического нахождения коэффициентов в уравнении (10.28) асимптоты нужно использовать оба равенства (10.29), причем сначала первое, а затем (после вычисления А) — второе.
Если в (10.29) существуют пределы только при х -++со или только при х -+ -оо, то получаем одмостпороммие ма~моммые асиматопзы (правостпороммюю или яевостиороммюю). В отличие от них наклонную асимптоту, отвечающую определению 10,8, называют двустороммей. 10.6. Общие рекомендации по вычислению пределов Вычисление пределов является одной из основных практических задач математического анализа.
Кратко систематизируем те правила и приемы вычисления пределов фурий, которые были изложены выше, и дадим некоторые общие рекомендации. 1. Использование свойства непрерывности функции. Если под знаком предела при х -+ а стоит непрерывная в точсе а функция Дх), то в силу (9.1) 1пп ~(х) = ~(а). (10.30) 378 )О. АСИМПТОТИЧЕСКОЕ ПОВЕДЕНИЕ В этом случае важно помнить, что все элементарные функции непрерывны в своей области определения, знать свойства функций, непрерывных в точке (см.
9.2). Пример 10.11. а. Многочлен Рз(х) = хз — 4х+3 непрерывен в любой точке числовой прямой Е, и поэтому, согласно (10.30), 1пп Рз(х) = Рз(5) = 8. б. Для рациональной функции,~(х) =(х~-хз+х)Дхз+2) в силу ее непрерывности в точке х = 1 йп ~(х) = Д1) = 1/'3. ж-+1 в. Функция Ь(х) = (хз+1) +з непрерывна как суперпозиция непрерывных функций. Поэтому Ипь Ь(х) =Ь(2) =5') =625.
х-+2 2. Использование свойств б.м. и б.б. функций. Нередко правила предельного перехода при арифметических операциях над функциями не удается использовать непосредственно ввиду ограничений на их применение. Пример 10.12. а. Для вычисления 1пп (з1пх)/х нельзя применить правило (7.24) вычисления предела частного, так как И)п з1пх не существует, а И)п х не является конечным. Но при х -+ оо 1/х явлметсм б.м. функцией, а з1п х — ограниченной. Поэтому по теореме 7.4 их произведение есть функция, б.м. при х -+ оо, и в силу определения 7.10 Бш (з1пх)/х = О.
й-+00 б. Для вычисления 1 1 1пп + -+1 х — 1 хз — Зх+ 2 неприменимо правило (7.22) вычисления предела суммы, поскольку слагаемые не имеют конечного предела, являются при х -+ 1 б.б. функциями и их сумма по свойству 4 в Т.5 есть в общем случае неопределенность.
Но в данном случае 1 1 1 + х — 1 х~ — Зх+2 х — 2 и искомый предел равен -1. 10.6. Общие рекомендации но вычислению нрщелов 379 3. Раскрытие неопределенностей. Неопределенности типа О/О и 1о' встретились при рассмотрении замечательных пределов (см. Т.7'). Возникновение неопределенностей типа оо/ю и оо — оо (или со+со) неизбежно при вычислении в (10.29) коэффициентов уравнения (10.28) асимптоты графика фуикиии.
На практике возникают также-.неопределенности типа 0 оо, Оо и ооо. Под раскрытием неопределенности понимают проведение таких тождественных преобразований, в реэульта те которых предел можно вычислить по известным правилам. Наиболее общие правила существуют для неопределенностей типа О/О и оо/оо, и связаны они с выделением главкой части б.м. и б.б. функций, т.е. с заменой их более простыми зквивалеитиыми функциями. Неопределенность типа О/О возникает, когда необходимо вычислить предел отношения Дх)/д(х) при х-+а или х-~оо, а ~(х) и у(х) являются при таком стремлении аргумента х б.м. функциями.
Основная трудность раскрытия неопределенности этого типа — выделить главную часть этих функций вида А(х — а)" при х-+а и вида А/х" при х-+со (если это вообще возможно). После замены, согласно теореме 10.4, отношения ~(х)/у(х) под знаком предела на отношение их главных частей и сокращения на одинаковую степемь х-а или х придем к вычислению 1ип В(х — а)1 или 1пп Вх 1, которые равны в-+а Ж-+00 В, если 1= 0, и равны О, если ! > О. При 1< 0 эти пределы будут бесконечными. Пример 10.13. а.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
