I Морозова В.Д. Введение в анализ (1081368), страница 55
Текст из файла (страница 55)
Из (10.36) следуют некоторые очевидные свойства этого символа, при записи которых опустим обозначение аргумента х у функций Дх), 9(х), Ь(х) и р(х), определенных в некоторой окрестности д(х)/Дх) =,0(1), если существует 0„(а), такая, что Дх);Е 0 о Чх Е У„(а). Если же имеют место и (10.35), и (10.37), то Дх) и д(х) называют фумпа~илми одкоао иорлдка при х -+ а.
Достаточным условием укаэанных свойств является существование при х -+ а конечкого отличного от нуля предела отношения Дх)/9(х) (или 9(х)/Дх)). В самом деле, пусть 3 1пп Дх)/9(х) = с ф О. Тогда в силу теоремы 7.3 о связи функз-+в ции, ее предела и б.м. функции 389 Д.10.2. Обмапольэоваыии симваюв О и о точки а, и не будем сопровождать равенства указанием, что м-+а: ~=0(д) ~у=О(Ь) ~ ~=0(0(Ь)) =0(Ь). ~=0(у) ЛЬ=О(р) =~ ~Ь=О(у)0(р) =0(др)' У=О(у) Л(сфО) =~ с~=О(сд) = ~с~О(д) =0(д) ~ = 0(д) Л Ь = 0(д) =~ 3У+ Ь~ < Ц~+ Щ =0(д) +0(д) = 0(у). Характерная особенность этих свойств в том, что символ 0 может стоять как в правой, так и в левой части равенства.
Более того, имеют смысл равенства вида У+О(у) = Ь+0(р), но читать их принято лишь слева направо, хотя не исключено, что они могут остаться верными и при чтении в обратном направлении. В случае произвольных функций запись Да) д, о(у(м)) (10.38) означает существование для любого е > О такой проколотой О О окрестности Ща) точки а, что для определенных в 0(а) функций ~(х) и у(з) справедливо неравенство ~Дж)~ ~ ~я~у(м)~ ~Ь Е %У(а), (10.39) ~=о(д) =~ ~=01д): причем функцию Дж) называют б.м.
ао срааиеиию с у(~) О при ж -+ а. В частном случае, когда у(~) и 1 при ж Е Ща), из (10.39) получим условие определения 7.10 б.м. функции при х — ~ а, которому соответствует обозначение ~(ж) д,о(1). о Если существует такая 0'(а), в которой у(ж) ф О, то условию (10.39) равносильно существование нулевого предела отношения ~(ж)/у(ж) при ж -+ а, т.е. (10.3) определяет символ о также в более узком смысле, чем условие (10.39), но тоже не противоречит ему. Сохраняя принятые выше упрощения в записи, приведем вытекающие из (10.36) и (10.39) свойства символов 0 и о: 392 20. АСИМПТОТИЧЕСКОЕ ПОВЕДЕНИЕ 10.12.
Найти пределы отношений (ВЬх)/х и (ФЬх)/х при х -+О. 10.13. Найти х . х 3 1пп; Ит; 11ш 1+— х-+О 2 — Чуя+ 4 х-++со Ч/~з+ 3 *~ах х в1п 2х+ 2агс®~Зх+ х~ 1пп 1иа х(1п(1+х) — 1пх) . -+о хе'+ 1п(1+ Зх+ в1п~х) -++ 10.14. Может ли график функции иметь две разные асимптоты при х -++со? уй и-1 1Й х +а1х +...+а„ х~+Ь1х--1+...+Ь вЂ” 2 найти асимптоты и 10.17. Для функции построить ее график. 10.18. для фувкцвв ~/хе — 1 вайтв главвме части врв х-~ =Е1 и х-~ оо, построить графики функции и найденных главных частей. 10.19.
Для функции (х~ — Зх)/(х — 1) найти все асимптоты, главные части при х-+О, х-+1 и х-+3, построить графики функции и найденных главных частей. 10.20. для фувкцвв хя/~~х~ — ц вейте все асвмптотм, главные части при х -+ Ы и х -+ О, построить графики функции и найденных главных частей. 10.16. Установить, сверху или снизу приближается график к наклонной асимптоте при х -++оо и при х -+ -оо для функций: 2+1 хз ~.
1 (х.1 1)3 х2 „/х~~1 х2+2в1пх х ' х~ ' (х+2)~' ~х+ Ц' х ' х 10.16. Найти, при каких п,т Е И имеет асимптоту при х -++оо функция СПИСОК РЕКОМЕНДУЕМОЙ ЛИТЕР АТ~РЫ Учебники и учебные пособия Бугров Я.С., Никольский С.М. Высшая математика. Дифференциашное и интет ральиое исчисление: Учеб. для втузов. 2-е изд., перераб. и доп. М.: Наука, 1984. 432 с. Заманский М. Введение в современную алгебру и анализ / Пер.
с франц. ЕИ. Стечкиной. М.: Наука, 1974. 488 с. Зорич В.А. Математический анализ: Учеб. для студентов университетов, обучающихся по специальностям „Математика" и „Механика": В 2 т. Т. 1. М.: Наука, 1981. 544 с.; Т.2. М.: Наука, 1984. 640 с. Ильин В.А., Садовничий В.А., Сендов Бл.Х. Математический анализ: Начальный курс / Под ред.
А.Н. Тияонова. 2-е изд., перераб. М.: Изд-во МГУ, 1985. 662 с. Ильин В.А., Поэнлк Э.Г. Основы математического анализа: В 2 т. Т.1. 4-е изд., перераб. и доп. М.: Наука, 1982. 616 с. Кудрявцев Л.Д. Курс математического анализа: В 3 т. 2-е изд., перераб. и доп. Т.1. М.: Высш. шк., И88. 712 с.; Т.З. М.: Высш.
шк., 1989. 352 с. Математический анализ / И.И. Ллшко, А.К. Болрчук, Я.Г. Гай, А.Ф. Калайда: Учеб. для студентов математических специальностей университетов: В 3 т. Т.1. Киев: Вищв школе, 1983. 496 с. Ммшкис А.Д. Лекции по высшей математике. М.: Наука, 1969. 640 с.
Пиза Ш., Заманский М. Курс математики: Алгебра и анализ / Пер. с франц. Е.И. Стечкиной. М.: Наука, 1971. 656 с. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления: Учеб. пособ. для втузов: В 2 т. Т. 1. М.: Наука, 1985. 432 с. Уваров В.Б. Математический анализ: Учеб. пособ. длл вузов. М.: Высш. шк., 1984. 288 с. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференщияьного и интегрального исчисления: Учеб. пособ. для вузов: В 3 т. Т.1.
6-е изд., стереотип. М.: Наука, 1966. 608 с. 26-644 394 СПИСОК РЕКОМЕНДУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ Хавин В.П. Основы математического внвлизв: Учеб. пособ. для вузов: В 3 т. Т. 1. Л.: Изд-во ЛГУ, 1989. 448 с. Шварц Л. Анализ / Пер. с франц. под ред. С.Г. Крейна: В 2 т. Т.1. М.: Мир, 1972. 824 с. Шерстнев А.Н. Конспект лекций по матемвтическому анвлизу. Казань: Изд-во Казан. ун-тв, 1993. 302 с.
Шилов Г.Е. Математический внвлиз: Функции одного переменного: В 2 т. Т.1. М.: Наука, 1969. 528 с. Справочные издания Александрова Н.В. Математические термины: Справочник. М.: Высш. шк., 1978. 190 с. Бронштейн И.Н., Семендлев К.А. Справочник по мвтемвтике для июкенеров и учащихся втузов. 13-е изд., испр. М.: Наука, 1986. 544 с. Воднев В.Т., Наумович А.Ф., Наумович Н.Ф. Математический словарь высшей школы / Под ред. Ю.С. Богданова. Минск: Вышэйш. шк., 1984. 528 с. Герасимович А.И., Рмсюк Н.А.
Математический анализ: Справочное пособие для студентов втуэов и иниенеров: В 2 т. Т.1. Минск: Вышэйш. шк., 1989. 288 с. Дьроговцев А.Я. Математический внвлиз: Справочное пособие для преподавателей математики, инженерно-технических работников и студентов. Киев: Вищв шк., 1985. 528 с. Математический энциклопедический словарь / Гл, ред. Ю.В. Прохоров. М.: Сов.
энцикл., 1988. 848 с. Сигорский В.П. Мвтемвтический вппврвт инженера. 2-е иэд., стереотип. Киев: Техшкв, 1977. 768 с. Фор Р., Кофман А., Деми-Паиен лг. Современнвя мвтемвтикв / Пер. с франц. под ред. А.Н. Колмогорова. М.: Мир, 1966. 272 с. Задачники Богданов Ю.С., Кастрица О.А.
Начала анализа в звдачвх н упрвикнениях. Минск: Вышэйш. шк., 1988. 176 с. Виноградова И.А., Олехник С.Н., Садовмичиб В.А. Задачи и упраинения по математическому анализу / Под общ. ред. В.А. Садовничего. М.: Изд-во МГУ, 1988. 416 с. 395 Данко П.Е., Покое А.Г., Кожееникоеа Т.Н. Высшая математика в упражнениях и задачах: В 2 т. Т.1. 4-е изд., испр. и доп. М.: Высш. шк., 1986. 304 с. Демидович Б.П. Сборник задач и упраанений по математическому анализу.
9 е изд., стереотип. М.: Наука, 1977. 528 с. Дороеоецее А.Н. Математический анализ: Сборник задач. Киев: Внща шк., 1987. 408 с. Задачи и управщения по математическому анализу для втузов' / Под ред. Б.П. Демидовича. 7-е изд., стереотиш.
М.: Наука„1970. 472 с. Каплан КА. Практические занятия по высшей математике. 3-е изд. Харьков: Иэд-во ХГУ, 1967. 946 с. Легар Г. Алгебра и анализ: Задачи / Пер. с фрмщ. Е.К Стпечкиной. М.: Наука, 1973. 464 с. Марон НА. Дифференциальное и интегральное ис.шсление в примерах и задачах: Функции одной переменной. М.: Науке„1970. 400 с. Математический анализ в вопросах и задачах / Под ред. В.Ф. Брюизова. М.: Высш.
шк., 1984. 200 с. Математический анализ в примерах и задачах: В 2 т. Т.1. Введение в анализ, производная, интеграл / Кй. Ллшко, А.К. Болрчяк, Я.Г. Гай Г.П. Голоеач. Киев: Вищв шк., 1974. 680 с. Михай~енко В.М., Антонюк Р.А. Сборник прикладных задач по высшей математике. Киев: Выща шк., 1990. 168 с. Очам Ю.С. Сборник задач по математическому анализу: Общая теория мноиеств и функций.
М.: Просвещение, 1981. 272 с. Садоеничиб В.А., Гриеорьлн А.А., Конлеин С.В. Задачи студенческих математических олимпиад. М.: Иэд-во МГУ, 1987. 311 с. Садоеничиб В.А., Подколзин А.С. Задачи студенческих олимпиад по математике. М.: Наука, 1978. 208 с. Сборник задач по алгебре / Под ред. А.У. Косиьрикина. М.: Наука, 1987. 352 с. Сборник задач по математике для втузов: Линейная алгебра и основы математического анализа / Под ред. А.В. ЕЯиаоеа, Б.П.
Демидовичи В 3 т. Т.1. М.: Наука, 1981. 484 с. Сборник задач по математическому анализу. Предел. Непрерывность. Дифференцируемость / Под ред. Л.Д. Кудрлецееа М.: Наука, 1984. 592 с. Отражен опыт преподавание высшей математики в МВТУ им. Н.Э. Баумана. 26' СПИСОК РЕКОМЕНДУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ Научно-популярные книги Виленким Н.Я. Популлрнае комбинаторика. М.: Наука, 1975. 208 с. Гусак Г.М., Гусак Е.А.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
