I Морозова В.Д. Введение в анализ (1081368), страница 47
Текст из файла (страница 47)
Последнее означает, что 1пп уфх)) = д(6) = уфа)), (9.11) т.е,, согласно определению 9.1, сложная функция у(Дх)) не- прерывна в точке а. ° Отметим, что теорему 9.1 можно обобщить на суперпозицию более чем двух функций. Пример 9.3. Функция созх = з1п(х+ т/2) непрерывна в каждой точке х б Е в силу теоремы 9.1 как суперпозиция непрерывных функций р = ~(х) = х+я/2 (на основании свойства (9.7) непрерывности линейной комбинации непрерывных функций) и у(у) = з1пу (см. пример 9.1). Функция ~~х = = (з1п х)/созх в силу (9.9) как частное непрерывных функций непрерывна в тех точках х б И,, где созх ~~ О, т.е. непрерывна при всех хф- йя+я/2 (ЙЕ2). Аналогично функция с®х = = (созх)/з1пх непрерывна в тех точках х Е И, где н1пх ф-О, т.е.
при всех хф-Ьг (ЙЕ2). ф 331 9.2. Свойства фунта~ий, непрерывных в точке Если в правой части (9.11) значение ~(а) аргумента функции у(у) выразить через предел функции Дх), то получим 1пп д(У(х)) = у(1ип ~(х)) (9.12) Пример 9.4. Опираясь на (9.12), вычислим 1ип (1+ ®~х) Функцию под знаком предела представим в виде (1+ ~ах)"'и' = ((1+ ®~х)'1'~) и рассмотрим ее как суперпоэицию функций у = ~(х) = = (1+ ®х)'~'®' и д(д) = уэ. Если сделать замену и = Ых, то нетрудно вычислить 1пп Дх). Действительно, с учетом втпорого закечапмаьного предела (см.
(7.42)) имеем ф~х=и, и-+О Ю +7Г 11т (1+ ~цх) Фяв = 1пп(1+ и)~~" = е. и-+О Тогда в силу непрерывности у® = уэ согласно (9.12) получим 1ип (1+ фх)э"яв = (1пп (1+ Фдх) ~~'я~) = ез. Следовательно, для непрерывных функций операция предельного перехода перестановочна с операциями по вычислению значения функции в соответствующей точке. Теорема 9.1 позволяет при вычислении предела сложной непрерывной функции удобно чередовать зти операции. Соотношение (9.12) можно рассматривать как частный случай теоремы 7.6 о пределе сложной функции, когда внешняя функция д(у) является непрерывной.
В этом случае часто говорят, что знаки предела и непрерывной функции можно переставлять местами. 332 9. НЕПРЕРЫВНЫЕ ФУНКЦИИ 9.3. Односторонняя непрерывность. Точки разрыва Пусть функция ~(х) определена, по крайней мере, в правой (левой) полуокрестности точки аб И. числовой прямой. Определение 9.б. Функцию ~(х) называют непрерывкой справа в точке а, если в этой точке существует конечный правый предел функции и он совпадает с ее значением ~(а), т.е. если (3 1ип Дх) = Да+О) б Ж) Л (~(а+О) = У(а)). (9.13) ж-+в+О Аналогично определяют функцию, непрерывную слева е точке а, как функцию, для которой ~3 1пп Дх) = ~(а-О) Е И) Л(~(а-О) = Да)). (9.14) ж-+а-О Если функция определена на отрезке ~а, Ц, то по отношению к его граничным точкам а и 6 можно говорить лишь о непрерывности функции справа в точке а или слева в точке 6.
Непрерывность функции в любой внутренней точке промежутка равносильна непрерывности функции в такой точке справа и слева, поскольку существование предела в точке равносильно существованию и равенству правого и левого пределов в этой точке (см.
теорему 7.1). Точку, в которой функция непрерывна, называют точкой нетврерывностпи этой функции. В точке а непрерывности функции Дх) должныбытьвыполненывсеследующиеусловия: 1) функция определена в точке а и некоторой ее окрестности; 2) существуют оба одмостороммих предела функции в точке а и они конечны; 3) оба односторонних предела функции в точке а совпадают, т.е. ~(а-О) =~(а+О); 9.3. Одностороннва нещмуивность. Точкы разрыва 333 4) совпадающие односторонние пределы функции в точке а равны значению функции в этой точке, т.е. У(а-О) = ~(а+О) = ~(а). (9.15) Определение 9.6. Функцию, не являющуюся непрерывной в точке а Е И, называют разрывко4 в этой точке, а саму точку а — точко4 разрыва этой функции.
Говоря о точке а как о точке разрыва, будем предполагать, что любая сколь угодно малая ее окрестность содержит тоЧки из о6ласти оиредемекия функции ~(ж), отличные от а (т.е. точка а, по определению 5.10, является аределькой для области определения этой функции), Такое требование к точке а не исключает возможность того, что функция Дз) определена, в частности, или в некоторой окрестности точки а, или в полуокрестности этой точки, или в ирокааотой окрестности, или, наконец, в ироколотой пвауокресткости точки а. Сопоставляя определение 9.6 с предшествующими ему условиями 1-4 непрерывности функции в точке, можно усмотреть, при каких обстоятельствах функция разрывна в точке а, или, как иногда говорят, функция терпит разрыв в точке а.
Определение 9.7. Точкой разрыва иервоно рода называют такую точку разрыва функции, в которой существуют оба односторонних предела этой функции и они конечны. Итак, для точки разрыва первого рода выполнено, по крайней мере, условие 2 непрерывности функции в точке (рис.
9.4). Разность Да+ О) — Да — О) конечна, и ее называют скачком фуюеции в точке разрыва первого рода, а про функцию иногда говорят, что она терпит разрыв с конечным скачком. Если скачок равен нулю (см. рис. 9.4, г и д), т.е. в точке а выполнено еще и условие 3 непрерывности функции, а поэтому существу- 334 9. НЕПРЕРЫВНЫЕ ФУНКЦИИ ~(а+О У(а-0 Да-0 ~(а ,Г(а+0) Ла+ Да-0 Рис. 9.4 Замечание 9.1. Может случиться, что все точки области определения функции в некоторой окрестности точки а лежат по одну сторону от точки а.
В этом случае рассматривают только один из односторонних пределов, указанных в определении 9.7. Например, согласно такой договоренности, точку х = О, как правило, не называют точкой разрыва функции у = ~/х, а говорят, что эта функция непрерывна в данной точке справа.
Пример 9.5. Функция у(х) = (в1пх)/х не определена в точке х =О, но из (7.36) с учетом теоремы 7.1 имеем у(+О) = ет конечный предел функции в этой точке, то имеем точку устраиимого разрыва. Если в этом случае для функции у(х), совпадающей в некоторой проколотой окрестности точки а с Дх), положить, согласно (9.15), д(а) = ~(а+О) =~(а — О), то у(х) будет непрерывна в точке а, поскольку все условия 1-4 непрерывности функции в точке а будут выполнены.
Про возможность введения такой непрерывной функции у(х) говорят, что разрыв непрерывности ~(х) в точке а можно устранить. 336 9. НЕПРЕРЫВНЫЕ ФУНКЦИИ делению 9.8, х =0 является точкой разрыва второго рода (см. рис. 7.10). 9.4. Свойства функций, непрерывных в промежутке Определение 9.9.
Функцию у = Дх) называют непрерывной в иктиереаае (а, 6), если она непрерывна в каждой точке этого интервала, и непрерывной ма отврезке 1а, Ь~, если она непрерывна в интервале (а, 6), в точке а непрерывна справа, а в точке 6 непрерывна слева. Множество функций, непрерывных в интервале (а, 6) и на отрезке 1а, Ь~, обозначают соответственно С(а, Ь) и С1а, Ь). Тогда определению 9.9 будет отвечать символическая запись: У(х) Е С(а, Ь):<=~Ух е (а, Ь) 1пп Дх+Ьх) = Дх); ~(х) Е С~а, 6):С~ (~(х) Е С(а, 6)) Л Л( 1пп ~(а+Ьх) =~(а)) Л( 1ип ДЬ+Ьх) =ДЬ)). Так, например, функция Дх) = 1/х является непрерывной в интервале (О, 1) и не является непрерывной на отрезке ~О, Ц, ибо в точке х = 0 эта функция не является непрерывной справа.
Функция и1пх непрерывна налюбом отрезке 1а, 61 СЖ Свойства фурии, определяемые ее поведением в сколь угодно малой окрестности некоторой точки, называют локальными свойствами этой функции (например, свойства функции, имеющей в этой точке предел, или свойства функции, непрерывной в данной точке). Локальные свойства характеризуют поведение функции в каком-то предельном отношении, когда ее аргумент стремится к исследуемой точке. В отличие от локальных глобальными называют свойства функции, связанные либо со всей ее областью определениц либо с некоторым про,межутком в этой области. 9.4. Свойства фуыкций, вепрерывкых в промежутке 337 числовой прямой.
Если функция непрерывна в каждой точке х Е Е, то она непрерывна в интервале (-оо, +оо). Тогда говорят, что функция непрерывна (всюду) на И. Свойства функций, непрерывных в промежутке (на отрезке или в интервале), интересные и сами по себе, в дальнейшем изложении часто будут служить основой для различных умозаключений. Остановимся на доказательстве теоремы об обращении в нуль непрерывной на отрезке функции. Это доказательство носит алгоритмический характер и может быть использовано для вычислений. Теорема 9.2 (первая теорема Больцаио — Коши). Пусть функция Дх) определена и непрерывнанаотрезке [а, 61 и на концах этого отрезка принимает значения разных знаков. Тогда между а и 6 найдется точка с, в которой функция обращается в нуль, т.е.
фх) б С[а, Ц) Л фа) ~~(6) с 0) =~ Зс б (а, 6): Дс) = О. Теорема имеет простой геометрический смысл: если непрерывная линия графика фурии лежит и ниже, и выше оси Ох, то эта линия пересекает ось Ох (рис. 9.6). ~ Для определенности положим Да) < О, а ~(6) > О. Разделим отрезок [а, 6) попо- У лам точкой И = (а+ 6)/2.
Может случить- 7(х) ся, что функция ~(х) обратится в нуль И Ь х в этой точке. В этом случае теорема до- ~(в) казана и с = И. Пусть ~(Ы) ф. О. Тогда на концах одного из отрезков [а, И~, [Я, Ц Рис. 9.6 функция примет значения разных знаков, причем отрицательное значение на левом конце и положительное — на правом. Обозначим этот отрезок [а1, Ц. Тогда Да1) < 0 и Щ) > О. Разделим пополам отрезок [а1, 61) и снова отбросим тот случай, когда Дх) обращается в нуль в середине (а1+61)/2 22-644 9. НЕПРЕРЫВНЫЕ ФУНКЦИИ 338 [а„ь,]э[аь ЦЭ...Э[а,„, ЦЭ... Тогда для и-го отрезка [а„, 6„1 длиной 6„ — а„ = (Ь вЂ” а)/2" будем иметь Да„) <О и У(6„) >О. По лриниипу вложенных отрезков существует точка с, принадлежащая всем этим отрезкам.
Покажем, что именно эта точка удовлетворяет требованиям данной теоремы и является искомой точкой се (а, 6). В силу непрерывности функции в любой точке интервала (а, 6) имеем 1ип ~(х) = Дс). Если бы ж-+с Дс) было положительным, то, согласно свойству сохранения функцией знака своего предела (см. 7.4), у точки с нашлась бы окрестность (с-е, с+е), в которой Дх) > О.
При надлежащем выборе и (а именно из условия (Ь-а)/2" <е) отрезок [а„, Ь„~ будет целиком включен в эту окрестность, а потому Да„) > О. Получили противоречие свойству отрезка [а, 6„1. Точно так же убеждаемся, что Дс) не может быть отрицательным. Значит, Дс) =О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
