I Морозова В.Д. Введение в анализ (1081368), страница 45
Текст из файла (страница 45)
Тогда поиск решения уравнения (8.26) будет сведен к отыска нию неподвижной точки отображения у: Х-~Х. Параметр с выбирают из условия, чтобы отображение у(х) = х+с~(х) было сжимающим для некоторого полного метрического пространства Х, которое содержит искомый корень уравнения (8.26).
Пусть, например, Х С Й и найден отрезок ~а, 6), на котором лежит только этот корень уравнения (8.26). Отрезок числовой прямой является полным метрическим пространством (см. Д.8.1). Чтобы итерационная посяедоватиыъность (х„) при х„=у(х„1) сходилась на отрезке ~а, Ц к неподвижной точке отображения у, оно, согласно теореме 8,19, должно быть на этом отрезке сжимающим, т.е. при 0 ( д < 1 319 Д.8.2. Првппцт сжимающих отобРажений где хо б 1а, Ь] — начальное приближение, а х' Е ~а, Ь~ значение искомого корня уравнения (8.26).
~х1+ с(е~' з1пх1 — 1) — х2 — с(е*'з|пх2 — 1)~ < д~х~ — х2~. Поскольку Ух1,х2 б 10, ~г/21 имеем ~х1+с(е~'з1пх1-1) — х2 — с(е~'з~пх2 — 1)~ < ~х1 — х2~+се ~~, достаточно выбрать с из условия ~х1-х2~+се < д~х1 — х2~, или с < ~г — е ~гУ2 Ч 1 -~г!2 Полагая, например, д = 1/2, получаем, что можно взять с= = -0,6. Если за начальное приближение выбрать точку в середине отрезка, то 7г хо= ~0 7854 и х1 — д(хо) =хо-0,6(е"з~пхо-1)т0 4550. 4 Дальнейшие приближения для искомого корня х' дают элемен- ты итерационной последовательности, вычисляемые по форму- ле х„+1 —— х„— 0,6(е "з1пх„— 1). Погрешность ~хр~ — х'~ не выше е будет достигнута после Ф приближений, где У, согласно (8.29), удовлетворяет условию В данном примере при е = 1/2 и е = 10 4 Ф ~ ~13.
Пример 8.5. Пусть в (8.26) ~(х) = е з1пх — 1 и требуется найти наименьший положительный корень этого уравнения. Анализ ~(х) показывает, что такой корень следует искать на отрезке 10, к/2). Запишем х = д(х) = х+ с(е~з1пх — 1) н выберем с так, чтобы 320 8. ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ Вопросы и задачи 8.1.
Доказать теорему 8.1 для отображения ~: В-~В для случаев 1ип ~(х) =+оо и 1пп Дх) =+со. й' й' 8.2. Для отображения ~: В-+В 31нп Дх). Доказать, что Ъ'0 в точке х =0 существуют пределы функций ~(х ), У(х ), ~~(х), ~з(х). Справедливы ли обратные утверждения? 8.3. Существуетли предел функции сов(1/х), если х стремится к нулю по множеству Е ~ (0)? 8.4.
Привести примеры последовательностей (х„~, таких, что последовательность (х„совх„~ стремится к О, к +оо, к Ф 8.5. Пусть ~: В -+  — не равная постоянной периодическая функция с периодом Т > О. Имеет ли она предел при стремлении аргумента к +со или к -оо? 8.7. Для отображения ~: Х -+ В в предельной для подмножества А С Х метрического пространства Х точке а 3 1ип (~(х) +1/Щх)$) = О. Найти в этой точке предел функции х~Фв У( ) 8.8.
Для отображения ~: А-~ (О, +оо) в точке а, предельной для метрического пространства А, существует 1пп Щх)+ ~л+~ + 1Я(х) ~) = 2. Найти в этой точке предел функции Дх). 8.Э. Найти пределы отображений ~: В~(0)-+В и д: В-+ -+ В при стремлении аргумента к нулю по множеству В ~(0), 8.6.
Для отображения ~: В -~ В Дх) -~ 0 при х-~О. Доказать, что при х-~0 к нулю стремятся функции Дх)+. +Д2х), Дх)+~(х~)> Дх)~(2х), Дх)+~~(х). Справедливы ли обратные утверждения? 321 Вопросы и задачи если /1/а при х ЕЯ, (1 при х ~60, 0 при х Е Е~© ~0 при х =О. 8.10. Отображения ~: А-+Е и у: А-+Е не имеют предела в точке а, предельной для метрического пространства А. Следует ли отсюда, что Дх)+у(х) и Дх)у(х) также не имеют предела в точке а? 8.11. Можно ли для вычисления 1/а при а > 0 использовать итерационную последовательность (х„) при х„+1 —— = (2 — ах„)х„? В каком интервале следует выбирать значение х1? 8.12.
Доказать что функция ~(х) из задачи 8.9 непрерывна лишь в точках х Е Е ~ 9. 8.13. Пусть о о ИЛ(а) 3(е > 0) Л (Ь б Е): $~(х) — Ь| < е Чх б %5(а) й А, где а — предельнал для метрического пространства А точка, а Дх) — определенная на А действительная функция со значениями в Е. Имеет ли эта функция предел при х~~а? Что можно сказать о поведении этой функции при х-„+а, если аЕ А и ~(а) =Ь? 8.14. Доказать, что если ограниченнал монотоннал функция непрерывна в конечном или бесконечном интервале, то она равномерно непрерывна в этом интервале.
Существует ли в точке х =0 предел композиции (сложной функции) уфх))? Какое условие теоремы 8.4 будет нарушено в этом случае? 9. НЕПРЕРЫВНЫЕ ФУНКЦИИ С понятием предела функции тесно связано другое важное понятие математического анализа — понятие непрерывности функции. Известно, что во многих наблюдаемых процессах и явлениях изменения происходят в основном постепенно, непрерывно. Например, поставили нагревать воду: время идет, темпера тура воды повышается.
Но как? Постепенно, беэ скачков, непрерывно, т.е. эа малый промежуток времени температура изменяется мало. В этом примере, с точки зрения математика, температура воды есть функция времени, и зта функция такова, что при малом изменении аргумента (времени) мало изменяется функция (температура). Другой пример: пусть необходимо вычислить поточнее объем некоторого куба. И каждый, получивший такое задание, будет стремиться поточнее измерить длину ребра куба х, так как он интуитивно понимает, что, чем меньше погрешность измерения ж, тем меньше бу° дет погрешность вычисления объема куба жз.
Если перейти от грубого измерительного инструмента к существенно более точному, то погрешность вычисления объема уменьшится резко, как бы скачком, а если улучшать точность измерения постепенно, то погрешность вычисления будет уменьшаться также постепенно.
В приведенных примерах просматривается свойство непрерывности указанных выше функций. И подобное столкновение с понятием непрерывности поджидает нас на каждом шагу. На практике наше представление о непрерывности изменения зависимой переменной величины обычно связано с масштабом, в котором мы фиксируем изменение аргумента. 323 В обыденной жизни мы считаем, что испарение капли воды, попавшей на раскаленную поверхность, происходит мгновенно, т.е. температура капли скачком достигает температуры кипения воды.
Но при необходимости более детального описания процесса испарения можно увеличить масштаб времени (как говорят, использовать „лупу времени"), и тогда окажется, что температура капли растет непрерывно. Очевидно, что установление на географической карте фиксированной границы экологически опасного региона на основе выборочных данных по ПДК (предельно допустимой концентрации) вредных веществ весьма условно, поскольку в привычном для нас масштабе расстояний от миллиметра до километра их концентрация изменяется непрерывно. Но в масштабе измерения расстояний порядка сотен и тысяч километров удобно описывать изменение концентрации как скачкообразное.
Изменение котировки ценных бумаг на бирже происходит в течение дня практически непрерывно, хотя фиксируют его ежедневно как скачкообразное изменение курса и анализируют с помощью таблиц и диаграмм, прибегал к построению непрерывных кривых на графиках в шкале недель и месяцев. Импульсные процессы обычно описывают скачкообразным изменением переменных величин.
Например, изменение по времени $ силы тока 1 в цепи телеграфного ключа при передаче азбукой Морзе буквы „а" („ точка — тире") схематически представлено на рис. 9.1,а. Вследствие наличия индуктивности в цепи при изменении силы тока возникает противодействующая внешней ЭДС самоиндукции, и нарастание силы тока с увеличенным на три порядка масштабом по оси $ будет хотя и весьма быстрым, но непрерывным (рис.
9.1,б). Если длительность импульсов сравнима с временем нарастания силы тока, то зто может повлиять на качество передачи сигналов, и результат учета непрерывного описания процесса будет существен. В противном случае можно ограничиться скачкообразной схематизацией процесса. И' 324 9. НЕПРЕРЫВНЫЕ ФУНКЦИИ Рис. 9.1 На этих примерах видно, что одни и те же процессы могут быть описаны разными функциями с различным характером их поведения (обладающих свойством непрерывности или нет).
Но чтобы предвидеть поведение каждоЙ конкретной функции, интуитивных представлений о непрерывности недостаточно. Необходимо основательное изучение свойства непрерывности функций. 9.1. Непрерывность функции в точке Определение 9.1. Функцию ~(х) называют непрерывной в пзочяе а б Е (или при значении х = а), если в этой точке существует конечный предел функции и он совпадает с ее значением Да), т.е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
