I Морозова В.Д. Введение в анализ (1081368), страница 40
Текст из файла (страница 40)
Никакое постоянное число, как бы велико оно ни было по абсолютному значению, не является бесконечно большим. Пример 7.8. а. Функция 1/х в силу (7.14) — 6.6. при х-+О (как и при х-++О и при х-+-0). б. Функция Дх) = х — 6.6. при х -+ оо, поскольку Иш х = = оо. Действительно, по определению 7.6 Щх)~ > Е НГ > 0 при ~х~ >М=Е. 4~ Если выполнены условия определений 1пп Дх) =+оо:~» :с» ЧЕ >0 111(а): Чх 6 У(а) ~(х) > Е, (7.30) 1пп Дх) = -оо:Ф» :Ф» ЧЕ>0 30(а): Чх Е У(а) ~(х) с -Е, (7.31) то говорят о положитиеяъкоб (ошрацатвелъкой) 6.6. при х -+ а функции.
278 7. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ В ТОЧКЕ Пример 7.9. Функция 1/х~ в силу (7.12) — положительная 6.6. при х-+О (а также при х-++О и при х-+-0). 4~ Связь между 6.6. и б.м. функциями устанавливает следующая теорема. Теорема 7.5. Если ~(х) — 6.6. при х-~а функция, то 1/Дх) — б.м. при х-+а. Если а(х) — б.м. при х-+а функция, отличная от нуля в некоторой проколотой окрестности точки а, то 1/а(х) — 6.6. при х -+ а. < Пусть функция ~(х) — 6.6. при х-+а. При произвольном е = 1/М > О, по определению 7.11, найдется такая проколоо О тая окрестность Ща) точки а, что Чх Е%Х(а) Щх)$ > Е= о = 1/е.
Тогда ~1/~(х)~=1Я(х)~ <е Чх б 0(а), т.е., по определению 7.10, функция 1/Дх) — б.м. при х -~ а. Если функция а(х) — б.м. при х -+ а, отличная от нуля О в некоторой проколотой окрестности 0(а) точки а, то, по определению 7.10, для произвольного М = 1/е > 0 существует о проколотая окрестность 01(а) этой точки, такая, что Ух Е О О Е 0(а) П01(а) ~а(х)~ (е= 1/Е, т.е. ~1/а(х)~ =1/~а(х)1 > Е. Согласно определению 7.11 это означает, что функция 1/а(х)— 6.6. при х -+ а.
~ Приведем несколько достаточно очевидных и полезных на практике свойств 6.6. функций. Эти свойства непосредственно следуют из определения 7.11 6.6. функции и свойств функций, имеющих конечные пределы, а также из теоремы 7.5 о связи между 6.6. и б.м. функциями. 1. Произведение конечного числа функций, 6.6. при х -+ а, есть функция, 6.6.
при х -+ а. Действительно, если ~~,(х), Й=1, и,, — б.б.функции при х-+а, то в некоторой проколотой окрестности точки а Л(х) ф.О, и по теореме 7.5 1/Ях)— и б.м. функция при х -) а. В силу (7.29) 11 1/Ях) — функция, й=1 7.5. Бесконечно мвлые н бесконечно болыане Функции 279 б.м. при .х -+ а, и по теореме 7.5 П Д(х) — 6.6. функция при хж1 х-~а. 2. Произведение функции, 6.6. при х -+ а, и функции, котораи в некоторой проколотой окрестности точки а по абсолютному значению больше положительной постоянной, есть функция, 6.6. при х -+ а.
В частности, произведение функции, 6.6. при х-+а, и функции, имеющей в точке а конечный ненулевой предел, будет 6.6. функцией при х -+ а. В самом деле, пусть ~(х) — 6.6. функция при х-+а и ~у(х)~ > С >0 о при х Е 111(а) (если 1ипд(х) =о ~~ О, то в силу свойегра 3 х-+а о (см. 7.4) функции сохранять знак предела имеем 301(а): Чх Е о ,о е= %51(а) $у(х)~ > С > 0). Тогда ЧЕ >0 30р(а): Щх)~ > Е/С о о о о Чх Е Ща).
При х Е ТЗ(а) =%11(а) ПЩа) получим $~(х)у(х)$ = = ~Дх)~ ~д(х)~ > (Е/С)С = Е, а это в силу определения 7.11 означает, что ~(х)у(х) — 6.6. функция при х -+ а. 3. Сумма ограниченной в некоторой проколотой окресто ности 01(а) точки а функции иб.б. при х-+а функции есть функция, 6.6. при х -+ а. Действительно, пусть Дх) — 6.6. о функция при х-+а, а ~д(х)~ <С (С>0) при х Е Ща). Тогда ЧЕ > 0 ЗУр(а); Щх)~ > Е+С Чх Е Ща). С учетом свойства (1.4) абсолютного значения Щх)~ = ~Дх)+у(х) — у(х)~ < ~Дх)+д(х)~+ ~у(х)~, о о о и при хЕ0(а) =~1~(а)ПЩа) получаем ~Дх)+д(х)~ > ~Дх)~— — ~у(х) ~ > Е+ С вЂ” С = Е, а зто, по определению 7.П, означает, что Дх) + у(х) — 6.6. функция при х -+ а.
Например, функции х+з1пх и х+созх — 6.6. при х-+оо. 4. Сумма двух функций, 6.6. при х -+ а, есть неопределенность. В зависимости от знака слагаемых характер изменения такой суммы может быть самым различным. Например: 280 7. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ В ТОЧКЕ Дх„) = (-1) "пег в1п((-1)"п~г): — О, „(4п+1)~г .,и(4п+1)~г (4п+1)л 2 2 2 в1п (-1)" что противоречит условию определения 7.9 предела.
Пример 7.10. Покажем, что при а > 1 и Ув б й аз Ит — = +со. х-++оо х® (7.32) а) Дх) = х и д(х) = 2х — функции, 6.6. при х -+ оо, ,~(х) + д(х) = Зх — функция, 6.6. при х -~ оо; 6) Дх) = х и д(х) = -х — функции, 6.6. при х -+ оо, ~(х)+д(х) и Π— функция, б.м. при х-+ оо; в) У(х) =х+в1пх и д(х)=-х — 6.6. при х-+со функции (функция Дх) — 6.6. согласно свойству 3), функция Дх) + +д(х) =в1пх не имеет предела при х-+ оо (см.
пример 7.6), но ограничена в силу неравенства ~в1пх[ < 1 ~Ь б Е. 5. Любая функция, 6.6. при х -+ а, не удовлетворяет определению 3.5 ограниченной в любой проколотой окрест- О 'О ности 0(а) точки а функции и поэтому в 0(а) будет У неограниченной функцией.
Но у=-х у=х обратное утверждение невер~® но: не всякая неограниченная О в 0(а) функция является 6.6. при х -+ а. Характерный пример — функция Дх) = хоп х на множестве (х Е В: ~х~ > М) не ограничена (ее график на рис. 7.11 не удается ограничить горизонтальными прямыРнс. 7.11 ми), но не имеет при х -+ оо предела. В самом деле, для 6.6. последовательностей (х„) = = ((-1)" туг) и (хД = ((-1)" (4п+ 1) зг/2) получаем 281 7.6. Предел сложной функции 7.6.
Предел сложной функции Теорема 7.6. Если функция у=Дх) имеет в точке а конечный предел 6 и не принимает значения д в некоторой Р прокоаотпой окрестиностпи У(а) этой точки, а функция д(р) имеет в точке 6 конечный предел с, то сложная функция дух)) имеет предел в точке а и он равен с. ~ Согласно определению 7.9 предела функции по Гейне 3 1пп ~(х) = 6:с~Ч(х„): (1пп(х„) = а, х„ф. а Чп Е Я) 311ш(Дх„)) = д, Зйтд(у) = с:с=~Ч(у„): (11ш(у„~=6, у„фЬ Чибью) у-+ь 311т(д(р„)) = с. Пусть (х„) — произвольная стремящаяся к точке а последовательность и х„ф а Чи Е Я.
Тогда Бт(Дх„)) = 6, но Дх„) уЕ Ь Чи Е Х. Положим р„= Дх„). Поскольку 1пп(у„) = Ь и у„ф. 6 Чи б Х, имеем 1пп(д(у„)) = с, т.е. Ч(х„): (1пп(х„) = а, х„уЕ а Чи Е Я) 11пп(д(,Г(х„))) = с, что в силу определения 7.9 и доказывает теорему. ° Согласно (6.33) 1пв(а"/и) =+оо. Тот же предел имеет и последовательность (а" /(и+ 1) ).
Следовательно, по выбранному произвольно Е > 1 в силу (6.30) найдется такое натиуральное число Ф Е Х, что при п > Ф выполнимо неравенство а"/(и+1) > Е. Пусть теперь х > И+1. Если положить п = [х~, то и > Ф и п ( х ( п+ 1, так что а~/х > а"/(и+1) > Е, что и доказывает справедливость (7.32) при 8 = 1. Полагая о > 1, по аналогии с примером 6.11 при достаточно большик значенияк х имеем а' /х' = ((а11')е/х)' > (а1/') /х. Итак, (7.32) верно при 8 > 1.
При 8 ( 1 (7.32) верно в силу неравенства а'/х' > ае/х Чх > 1. 282 7. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ В ТОЧКЕ Эту теорему нетрудно распространить на суперпозицию более двух функций. Она позволяет использовать замену переменных при вычислении пределов сложных функций по формуле 1цп дух)) = 1ппд(у) (7.33) при выполнении условиЙ теоремы 7.6. При этом говорят, что под знаком предела в левой части (7.33) сделана замена Дх) = у.
Теорема 7.6 и возможность замены переменных остаются в силе, если хотя бы одна из точек а, 6, с будет соответствовать одной из бесконечных точек +оо или -оо (или их объединению оо) на расширенной числовой прямой. Пример 7.11. а. Для нахождения предела функции агсСц(1/(1-х)) при х-+1-0 сделаем замену у=1/(1-х). Тогда при х -+ 1 — 0 у -++оо и согласно (7.33) с учетом (7.18) 1 . л 1ип агс®~ — = 1пп у=--О. -+1-о 1 — х и-++ 2 б. Рассмотрим функцию )вбп1хв1п11/х))) при х-в О.
Обозначим у=Дх)=хв1п(1/х) и д(у)=~в~рпу~. При х-+О у-+О в силу теоремы 7.4 (как произведение б.м. при х -+ 0 функции х и ограниченноЙ в любой проколотой окрестности точки х = 0 функции в1п(1/х) ). В свою очередь, при у — ~0 с учетом (3,3) (см. рис. 3.6,а) д(у) -+ 1. Отсюда, казалось бы, при х -+ 0 сложиав фуикцив р(Дх)) = )вбп1хв1п11/х))) -~ 1.
Однако в любой проколотой окрестности точки х = О функция в1п(1/х) имеет нули, так что сложная функция дфх)) принимает значения и О, и 1. В силу критерия Коши суи4ествования конечного предела фуннции (см. утверждение,7.2) эта функция не может в этой точке иметь предел. Дело в том, что в данном случае теорема 7.6 неприменима, поскольку в любой проколотой окрестности точки х = 0 функция Дх) принимает значение, равное значению ее предела в этой точке. 283 7.7. Два эамечатаиыи и лредма 7.7. Два замечательных предела в1п х х Фдх / ~г~ — « — — УхЕ ~0, — ~. 2 2 2 ~'2~ Рис.
7.12 Покажем сначала,, что ~в1п х~ ~ ~~х~ Чх Е И, (7.34) Действительно, при х б (О, в/2) (7.34) следует иэ левой части предыдущего двойного неравенства. При х > ~г/2 (7.34) очевидно в силу неравенства ~в1пх~ < 1. В (7.34) входит четные функции. Поэтому (7.34) верно и при х < О. Наконец, при х = О в (7.34) имеем равенство, Иэ (7.34) сразу следует 1ипв1пх =О и 1ппсовх =1.
(7.35) ж-+О ж-+О В самом деле, в силу неравенств ~в1пх-О~~~~х~ и !саех-Ц= =2в1п~(х/2) (х~/2 в (7.3) достаточно положить Ю = е для до- казательства первого предела в (7.35) и о = ъ% длл доказа тельства второго. Рассмотренные свойства функций, имеющих предел в точке а Е В расширенной чисаовой прямой, дают вмможность проанализировать их поведение в онрествносши этой точки. Но в риде случаев этих свойств и установленных правил предельного перехода недостаточно.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
