I Морозова В.Д. Введение в анализ (1081368), страница 38
Текст из файла (страница 38)
Ясно, что для конечной точки Ь Е Е при е > О 7.2. Одыостороиние иределы 263 Ка рис. 7.8 показано, как выбрать О = ппп (а — х1, хз — а), чтобы удовлетворить условию определения 7.8. Аналогичным обра зом можно сформулировать определения, соответствующие обозначениям 1ип Дх) =Ь-О, ьм Ж ~Ф ь 1ип ~(х) = Ь+ О, (7.16) з-+а+О 1ип ~(х) = б-0 х-++оо' х~ а х~ х и им подобным.
Окрестности бесконечных точек +оо и -оо расширенной числовой прямой можно считать соответственно нижней У (оо) = У(+со) и верхней Ч.~(оо) = = У(-оо) полуокрестностями для оо. Тогда функцию Дх), удовлетворяющую определению 7.4, следует назвать стремящейся к оо снизу при х -+ а, поскольку при изменении х значения функции остаются в нижней полуокрестности У (оо), а в случае 1ип ~(х) = -оо можно говорить о стремлении функции Ф-Фя ~(х) к оо сверху при х -+ а, так как при изменении х зна чения функции остаются в верхней полуокрестности У~(оо).
Случаи 1ип Дх) =+ос и 1ип Дх) = -оо соответствуют ю-ь+оо ю-++оо стремлению функции к оо снизу и сверху при стремлении аргумента х к оо слева, аслучаи 1ип ~Г(х) =+ос и 1ип ~(х) = х-+-оо Ф-Ф-оо = -оо — при стремлении аргумента х к оо справа. Пример 7.3. а. Покажем, что при О < а < 1 1ип а~/~ =+О и 1ип а~/ =+со, (7.17) з-++О х-+-О т.е.
что функция а'1 стремится к нулю сверху при стремлении аргумента х к нулю справа и стремится к +со (к оо снизу) при стремлении х к нулю слева. Рассмотрим произвольное число е Е (О, 1) и предположим, что а'1~ <е. Тогда 1/х > 1он,е и 0 < х < 1/1он, е. Итак, М б (О, 1) ЗО = 1/1он, е: (О < х < О =~ а'~' Е (О, е)), 264 7. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ В ТОЧКЕ а это и означает, что первое равенство в (7.17) верно. Теперь при произвольном Е > 1 предположим, что а~~ > > Е, т.е. 1/1оя., Е < х < О. Тогда ~Е>1:йе = ЮобвЕ (-Ое < х <О=Ф а > Е).
Это означает справедливость и второго равенства в (7.17). Поведение функции а1/ в окрестности точки х = О иллюстрирует рис. 7.9. б. Убедимся, что 1 ~г Ьт агсФц — = — — О, (7.18) +О х 2 т.е. функция агсФц(1/х) стремится к я'/2 снизу при стремлении х к нулю справа. При произвольном е > О предположим, что Рис. Т.9 справедливо неравенство я/2-е < < агс~~(1/х) < я'/2. Функция $цх возрастает в интервале (О, ~г/2). Поэтому при выполнении предыдущего условия ~~(я'/2 — е) < ®~(агс$ц(1/х)), или 0 < х < < сФд(~г/2-е). Итак, -1 06 1 /7Г 1 ~я' И >О =М=сф~~ — -е): 0<х <о-' ахсф- Е ~ — -е, — ) ). а это и означает, что (7.18) верно.
ф Отметим, что для доказательства того или иного- предельного соотношения мы предполагаем выполнение требуемого в определении предела неравенства (вида Щх) ~ > Е, Щх) — 61 < < е и т.п.) и находим ограничения, которые следует наложить на изменение аргумента х. Эти ограничения позволяют вы'- брать значения 6 (или М), о которых идет речь в соответствующих определениях предела, а затем „,обратным ходом" убеждаемся, что при выбранных 6 (или М) справедливы требуемые неравенства для функции.
265 7.3. Признаки существоваиив вреден 7.3. Признаки существовании предела 31пп Дх) =6 с=~ с~ Ч(х„): (Йп(х„Д = а) Л (х„ф- а Чп (- Гч) 31пп(Дх„) 3 = Ь. 4 Сначала предположим, что функция ~(х) имеет в точке а предел 6. Тогда, по определению 7.1 предела функции, для произвольной окрестности У(6) точки Ь найдется такая нро- 0 0 колотая окрестность У(а) точки а, что фУ(а)) С У(6).
Для любой стремящейся к а последовательности (х„), элементы которой не совпадают с а, в силу определений 6.3 и 6.6 найдето ся номер У, такой, что х„е 0(а) Чв > У. Следовательно, для произвольной окрестности У(6) существует такой номер 0 М, что Чи ) Ф Дх„) е ~(Ща)) С У(6). Это означает, что последовательность (,~(х„)) имеет предел 6 (см. определения 6.3 и 6.6). Стремление аргумента х функции Дх) к точке а ей расщиренной числовой ирямой можно, в частности, представить последовательностью (х„) значений х„аргументафункции, имеющей эту точку своим пределом. В случае конечной точки а следует предположить, что х„не должны совпадать с а (х„ф- а М Е Я), поскольку в точке а функция может быть не определена, а если даже она и определена, то значение Да) не учитывают при рассмотрении ее предела в этой точке (см.
определение 7.1). Соответствующие х„значения Дх„) обра зуют последовательность (~(х„)), поведение которой позволяет судить о существовании в точке а предела функции ~(х). Теорема 7.2. Функция ~(х) имеет в точке а Е Й расширенной числовой щимой предел 6 е Е (конечный или бесконечный) тогда и только тогда, когда для любой стремящейся к а последовательности (х„~, элементы которой не совпадают с а, соответствующая последовательность (Дх„)) значений функции имеет своим пределом точку Ь, или 266 7. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ В ТОЧКЕ Пусть теперь соответствующая любой стремящейся к точке а последовательности (х„) последовательность (Дх„)) имеет предел 6.
Предположим, что точка 0 б Й не является пределом функции ~(х) в точке а б Й. По лринциву двойстиеенностии (см. 1.4 и 1.5) в символической записи (7.2) определения 7.1 предела функции при отрицании условия этого определения следует поменять местами кванторы Ч и 3, знак = заменить на ф, а символ С заменить на ф: Ь уЕ 1ип ~(х):с~ ЗУ(6): УУ(а) ~(1У(а)) ф 7(Ь). (7.19) Это означает, что существует окрестность У(6) точки Ь, такая, что, как бы ни была мала проколотал окрест- О' ность 0(а), в ней найдется точка х, для которой Дх) ф ~ У(6). Будем придавать номеру и последовательно значения 1, 2, 3, ...
и рассматривать проколотые окрестности вида О 11(а, 1/а) = (х б Е: 0 < ~х — а~ ( 1/а~ для конечной точки а и О вида 0(а, п) =(х ЕЕ: ~х~ > п~ — в противном случае. Тогда для каждого и у любой стремящейся к а последовательности Р О (х„) найдется в У(а, 1/е) (или в 0(а, а) ) элемент х„, такой, что Дх„) ф У(6), но зто противоречит определениям 6.3 и 6.6 по отношению к последовательности (Дх„)), имеющей пределом точку Ь Е Й. Следовательно, (7.19) неверно, а справедливо противоположное утверждение (7.2), соответствующее определению 7.1.
Таким образом, предел функции ~(х) в точке а существует и совпадает с точкой Ь. 3~ Замечание Т.1. В формулировке теоремы 7.2 достаточно предположить лишь существование предела у каждой последовательности Ц(х„) ), отвечающей любой последовательности (х„), для которой 11ш(х„) = а, чтобы отсюда вытекало совпадение пределов всех последовательностей Щх„Ц.
Действительно, пусть для двух последовательностей (хД и (хД с пределом а 11ш(~(х'„Ц =Ь' и 1ип(~(х'„')) =Ь", причем Ь' не 267 7.3. Йрижакк суицествоваыиа щмделз совпадаетс И. Тогда, перемежая элементы х'„и х'„', составим новую последовательность ( =1 I П ! И С И х~1 1х1~ х11 хя~ хя1 ° ° '~ хл~ х~~ ° ° '~~ которая также стремится к а, поскольку начиная с некоторого номера я значения и х,'„и х'„' попадают в произвольную окрестность точки а. Но соответствующая (х„) последовательность О'(х„)~ не имеет предела, так как не удается указать такой номер У+1, начиная с которого все элементы (~(х„) ~ попадают в произвольную окрестность какой-либо одной точки, что является условием существования предела последовательности (см. определения 6.3 и 6.6).
Это противоречие доказывает, что из существования пределов последовательностей вида (~(х„)~ следует совпадение всех этих пределов. 4~ Теорема 7.2 позволяет дать определение, эквивалентное определению 7.1. Пример 7.4. При Дх) = х из определения 7.9 следует, что Йпх=а, Ж +й поскольку для любой стремящейся к точке а последовательности (х„~ ~(х„) = х„и йп(Дх„Ц = 1ип(х„) = а. 4~ Определение 7.1 и все последующие его вариации называют определением предела функции по Коши, а определение 7.9 связывают с именем немецкого математика Г.
Гейне (1821-1881). Определение 7.9.'Точку 6 Е Й называют вредном фукеерви ~(х) в пвочпе аЕВ (или при х,стремящемся к а),если для любой имеющей пределом точку а последовательности (х„Д значений х„Е Е аргумента функции, не совпадающих с а, соответствующая последовательность ~Ц(х„)) значений 7(х„) функции имеет пределом точку 6. Символические формы записи для этого определения и теоремы 7.2 совпадают. 268 7. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ В ТОЧКЕ Ясно, что каждому из определений 7.2-7.8 можно дать эквивалентное определение по Гейне предела функции через последовательности.
Определение 7.9 удобно испольэовать, когда возникают сомнении в существовании предела функции в данной точке. Если можно построить хоти бы одну последовательность (х„) с пределом в точке а, такую, что последовательность (~(х„)) не имеет предела, то можно сделать вывод о том, что функция Дх) не имеет предела в этой точке. Если длл двух различных последовательностей (х'„) и (х'„'), имеющих одинаковый предел а, последовательности (Дх'„Ц и (~(х'„'Ц имеют различные пределы, то в этом случае также не существует Ит ~(х). ю-+а Пример 7.5. Пусть ~(х) = В~а(1/х). График этой функции показан на рис. 7.10, но получить иэ него представление о ее поведении в окрестности точки х=О трудно. Проверим, существует ли предел данной функции в этой точке. Выберем сначала схо- Рис. 7.10 дищуюся к этой точке по- следовательность (х„~ = Ясно, что х„ф-0 Уп б Х и 1ип(х„) = О.
Тогда Дх„) = =Вш((-1)"юг) яО и 1ип(Дх„)) =О. Затем возьмем сходящуюся к той же точке последовательность 2 ( л) (4 +Ц для которой Иш(х'„) = +О, ~(х'„) = 8~п((4я+ 1)зг/2) ы 1 и 1пп~Дх'„)) = 1. 269 7.3. Пркзнаки сущестжюаииа предела Для последовательности 2 (4в+ 1)~г (х",,~ = ( также сходящейся к точке х =0 (1пп(х'„') = -0), имеем Дх'„') = = в1п(-(4я+ 1)~г/2) ы -1, а поэтому Ит Ц(х'„'Я = -1 Все три „пробные" последовательности дали разные рмультаты, что противоречит условию определения 7.9, т.е.
данная функция не имеет предела в точке х = О. Нетрудно установить, что данная функция не имеет в точке х = О и односторонних пределов. Для (х„) = (1/(и~гЦ 1пп(1/(тиг)) = +О, ~(х„): — 0 и 1пп(Дх„Я =О, тогда как 1ип(Дх„'Я =1, т.е. Дх) не имеет в точке х = О предела справа. Аналогичным путем можно установить отсутствие у Дх) в этой точке и предела слева. Теорема 7.2 и определение 7.9 предела функции в точке через последовательности позволяют перенести на функции многие свойства, установленные для последовательностей. Прежде всего используем эту возможность для формулирования признаков существования предела функции в точке.
Следуя теореме 6.6, можно сформулировать для „зажатоЙ" (или „промежуточной") функции такое утверждение. Утверждение 7.1. Если в некоторой проколотой окрест- О ности 1У(а) точки а определены функции ~(х), д(х) и Ь(х), для которых Дх) ( д(х) < Цх) для любого х из этой окрестности, и функции Дх) и Ь(х) имеют в точке а одинаковый Пример 7.6. Покажем, что функция Дх) = н1пх при х -+ оо не имеет предела (ни конечного, ни бесконечного). Для имеющих бесконечный предел последовательностей (х„) = = ((-1) "юг) и (х'„) = ((-1)" (4а + 1)7г/2) найдем Дх„) = =вы((-1)"ал')=0 и Дх,',)=81п((-1)"(4я+1)~г/2)=(-1)", т.е. в силу определения 7.9 1пп 81пх не существует (ни конечный, ни бесконечный).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
