I Морозова В.Д. Введение в анализ (1081368), страница 35
Текст из файла (страница 35)
Тогда используют обозначения Йп(о„) =+оо (или и„-++со при и-+ оо) и 1пп(и„) = -оо (или и„-+ -оо при и-+ оо) соответственно. В более общих случаях: 1ип(е„~ =+оо:с~УМ > О ЗУ(М) б Х: (н> У=~и„> М), (6.30) 1пп(и„) = -оо: сФ УМ > 0 ЗУ(М) Е Х: (н > У=~и„< -М). (6.31) (-оо, -М) О(М, +оо) =В~~-М, М). (6.32) В отличие от сходящихся последовательностей, которые сходятся к конечному вреден, 6.6. последовательности (как и последовательности, не имеющие ни конечного, ни бесконечного предела) называют расходлщимасл.
Некоторые свойства сходящихся последовательностей (см. 6.4) можно распространить и на 6.6. последовательности. Таким образом, произвольнал окрестность (-оо, -М) или (М, +оо) одной из бесконечных твочек (+оо или -оо) расширенной числовой прямой содержит начиная с некоторого номера все элементы последовательности, стремящейся к этой точке (к +оо или к -оо). Записи (6.29) соответствует объединение та ких окрестностей: б.Т. Бесконечно нааые и бесконечно болыние последовательности 239 Ясли (6.32) считать окрестностью одной условной бесконечной точки оо на расширенной числовой прямой, то о таких последовательностях можно сказать, что они имеют только один бесконечный предел. Для последовательностей, стремящихся +ос и -оо, верны утверждения теоремы 6.3 о знакопостоянстве элементов последовательности, имеющей ненулевой предел, и следствия 6,1 о сохранении знака пределом последовательности, если ее элементы знакопостоянны.
Теорему 6.6 о промежуточной последовательности при условиях, что з„< у„< я„Чп б 1ч и что последовательности (ж„) и (я„~ стремятся к одинаковому бесконечному пределу (либо к +со, либо к -оо), можно рассматривать как признак существования такого предела у последовательности (у„~.
Утверждение 6.4. Если начиная с некоторого номера Ф+ 1 элементы некоторой последовательности (я„) по абсолютному значению не меньше элементов 6.6. последовательности (ж„), то последовательность (я„) — 6.6., т.е. (31!т(х„~ = оо) Л (ЗЖ Е М: ~п > Ж )з„) ~ ~х„~) ~ =~ 311тп(я„) = оо. В качестве дополнения к признаку Вейерштрасса сяодимостпи ограниченной монотпонной иоследоватпельностпи можно сформулировать следующее утверждение. Утверждение б.б. Неограниченнал монотонная последовательность сходится к бесконечному пределу, причем неубывающая — к +оо, а невозрастающая — к -оо.
Ясно, что понятие фундаментальности (см. определение 6.4) и критперий Коши (см. утверждение 6.3) не применимы к 6.6. последовательностям. Теорема 6.4 об арифметических действиях со сходящимися последовательностями может быть лишь частично распространена на 6.6. и б.м. последовательности.
В условии теоремы 6.4 примем, что 1ип(л„) = и б Е 6.7. Бесконечно малые и бесконечно болыиие последователыиости 241 так что 1пй(о„+ иг„) = 1 и 1пп(о„/ю„) = -1. 6. ов = и и ив = -и+ 1/и Чи б Х, так что Бт(ив~ =+оо, И1й(~ов1 = оо и ~Ъ Е 1ч ив+ шв = 1/и и ~ть ив -и+ 1/и -1+ 1/и' тогда 1пп(о„+и„) =+О и Ишо„/ж„= -1. в. о„= и и ж„= (-1)"и М Е Х, т.е. 1нп(и„) =+оо, И$п(нгв1 = оо и 'г~и Е Х ив+ шв = (1+ (-1)") и и ов/шв = ( — 1), так что 31ип(о„+ив) и 41пп(о„/ив~. г. о„=-и и ю„=и Чиб И; при этом 1пй('ов) =-оо, Ип~(%$~ = +оо и ~г~и Е 1ч йв+ и~в = и+ и г ~в/нгв = 1/и и юв/юв = -и; тогда 1ипц,+ив =+ос, 1ппюв/щ, = -О и 11ш(Ж,/~в) = -оо.
Пример 6.11. Покажем, что при а>1 и любом зЕИ 1пп — =+оо. ' (6.33) Положим а = 1+ Л, где Л > О. По формуле (2.8) бинама Ныл~иона ав = (1+Л)в =1+иЛ+-и(и — 1)Л2+...+Л". 1 2 Отсюда ав > и(и — 1)Л2/2> яРЛ~/4г так как и — 1> и/2 при и > 2. Поэтому а и 2 и 2 — > -Л =-(а-1) . и 4 4 Для произвольного числа М > О рассмотрим неравенство и(а 1)2/4 > М, или 4М (а Цг' Ясно, что при и > Ф = [4М/(а — 1) ~) будет выполнено неравенство а"/и > М, что, согласно (6.30), означает справедливость (633) при 8=1. 242 6. ЧИСЛОВЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ Отметим, что при а = 1 справедливость (6.33) доказана дл„ любого а>1. Поэтому при а> 1 и з> 1 верно 1пп =+оо.
Тогда для сколь угодно большого числа М > 1 в силу (6.30) ЗФ Е Х: Чп > У (а1~') /п > М и, следовательно, при и > Й <~ (п1~~) (п1/~) > >М. п' п и Стало быть, (6.33) справедливо для а > 1 при 8 > 1, а справедливость (6.33) при 8 < 1 следует из неравенства а"/п' > а"/и. Дополнение 6.1. Предельные точки последовательности Определеиже 6.7'. Точку х б Ж числовой прямой называют преде,аьноб тпочкой последоватпельноспьи (х„~, если для любой окрестпностпи 0(х) и любого натпурольного числа У можно найти принадлежащий этой окрестности элементп х„с номером, большим У, т.е. х Е Й вЂ” предельная точка, если Я1(х) УЖ Е Х Зп > У: х„б 13(х). Иначе говоря, точка х будет предельной для (х„~, если в любую ее окрестность попадают элементы этой последовательности с произвольно большими номерами, хотя, возможно, и не все элементы с номерами и > У.
Поэтому достаточно очевидно следующее утверждение. Утверждение 8.6. Если 1ип(х„) = 6е Е, то 6 — единственная предельная точка последовательности (х„). Действительно, в силу определения 6.3 предела последовательности все ее элементы начиная с некоторого номера попадают в любую сколь угодно малую окрестность тонки 6, а Д.б.2. Предельные точки послеловвтелыюости 243 потому в окрестность никакой другой точки не могут попасть элементы с произвольно большими номерами. Следовательно, условие определения 6.7 выполнимо лишь для единственной точки Ь. Однако не всякая предельная точка (иногда ее называют фвочяоб сауценил) последовательности является ее пределом. Так, последовательность (6.6) не имеет предела (см.
пример 6.5), но имеет две предельные точки х = 1 и х = -1. Последовательность ((-1)"и) в качестве предельных имеет две бесконечные точки +оо и -оо расширенной числовой прямой, объединение которых обозначают одним символом оо. Именно поэтому можно считать, что бесконечные предельные точки совпадают, а бесконечная точка оо, согласно (6.29), является пределом этой последовательности.
Пусть задана последовательность (х„) и пусть числа к1 < ( Йр ( ... ( Й„< ... образуют возрастающую последовательность целых положительных чисел. Тогда последовательность (у„), где и„= х~„, называют иодпоследоватпельнрспьъю исходной последовательности. Очевидно, что если (~„~ имеет пределом число Ь, то любая ее подпоследовательноать имеет тот же самый предел, поскольку начиная с некоторого номера все элементы как исходной последовательности, так и любой ее подпоследовательности попадают в любую выбранную окрестность точки Ь.
В то же время любая предельная точка подпоследовательности является предельной и для последовательности. Теорема 6.В. Из любой последовательности, имеющей предельную точку, можно выбрать подпоследовательность, имеющую своим пределом эту предельную точку. Пусть Ь вЂ” предельная точка последовательности (х„). Тогда, согласно определению 6.7 предельной точки, для каждого и существует элемент х~„, принадлежащий окрестности 0(Ь, 1/а) точки Ь радиуса 1/в. Подпоследовательность, составленная из точек х~„, х~„, ..., х~„, ..., где х~„Е 0(Ь, 1/и) Чп б Х, имеет пределом точку Ь.
Действительно, при произ- 1В' 244 6. ЧИСЛОВЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ вольном е > 0 можно выбрать У, такое, что 1/У < е. Тогда все элементы'подпоследовательности, начиная с номера Йщ, по падут в е-окрестность 0(6, е) точки 6, что соответствует условию определения 6.3 предела последовательности.
Э Справедлива и обратная теорема. Теорема 8.10. Если некоторая последовательность имеет подпоследовательность с пределом 6, то 6 есть предельная точка этой последовательности. ~ Из определения 6.3 предела последовательности следует, что начиная с некоторого номера все элементы подпоследовательности с пределом 6 попадают в окрестность 0(6, е) произвольного радиуса е. Поскольку элементы подпоследовательности являются одновременно элементами последовательности (х„~, внутрь этой окрестности попадают элементы х„со сколь угодно большими номерами, а это в силу определения 6.7 означает, что 6 — предельная точка последовательности (х„~.
~ Замечание 6.2. Теоремы 6.9 и 6.10 справедливы и в случае, когда предельная точка является бесконечной, если при доказательстве вместо окрестности 11(0, 1/и) рассматривать окрестность У(оо, и) =(х Е И: ~х~ > в~ (или окрестности О(+оо, п)=(хай: х>я~ и ٠— оо, а)=(хай: х<-я~) 4~ Условие, при котором из последовательности можно выделить сходящуюся подпоследовательность, устанавливает следующая теорема. Теорема 6.11 (Бальцано — Вейерштрасса). Всякая ограниченная последовательность содержит подпоследовательность, сходящуюся к-конечному пределу. ~ Пусть все элементы последовательности (х„~ заключены между числами а и 6, т.е. х„Е ~а, Ц Уяб Х. Разделим отрезок ~а, Ц пополам. Тогда хотя бы одна из его половин будет содержать бесконечное множество элементов последовательности, так как в противном случае и весь отрезок [а, 6] содержал Д.6.2.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
