I Морозова В.Д. Введение в анализ (1081368), страница 34
Текст из файла (страница 34)
Если же Чв > У Е Х а < х„< Ь, то а < Йп(х„) < Ь, или (311ш(х„~)Л(Ча>ФЕИ х„Е~а, Ь]) =Ф 1пп(х„3б~а, Ь1. (6.22) Замечание 8.1. Если в условии следствия 6.3 х„< Ь, то тем не менее возможно, что 11ш(х„~ = Ь. Например, для последовательности х„< 1 Чя б Я, но с учетом (6.12)-(6.14) 1 — — = 1 — 1ип Ит( М =1 ° Аналогично при х„> а Чп б Х тем не менее возможно, что 1ип(х„~ = а. 6.$. Признаки существования предела последовательности Теорема 6.8.
Если сходящиеся последовательности (х„) и (х„~ имеют общий предел и начинаи с некоторого номера У+ 1 х„< р„< г„, то существует предел последовательности (р„~ и он совпадает с пределом первых двух последовательностей, или (эпш(~п1=~Йш(~в3=6ей) л (чв) кем х„~(у~~а„) ю~ =~ З11 Ь„)=Ь. ~ Рассмотрим последовательность (р„) при условии у„а Ь Чи б Х. Тогда Ча > У ~„> х„и, учитываи (6.9), согласно теореме 6.5 имеем 1пп(у„) =Ь> Бш(х„). > о.$. Признаки существование арелела послеловательности 231 < Согласно определению 6.3 предела последовательности, Чг > О ЗФ~, Ф, Е Х: (Уп > Жв 6- г < хл < Ь+ г) Л (Чп > И, 6- г < ли < Ь+ г). Тогдадля Чп> У=шах(Ф, Ф,) имеем 6 — е < хп ~< уп < хп < Ь+ г) т.е.
Ф > О ЗЖ б Х: (п > У =~ ~у„— Ь~ < г), что в силу определения 6.3 означает, что 3 1ип(х„) и 1пп(л„) = =Ь. ф Эту теорему часто называют теоремой о „зажатой" или „промежуточной" последовательности, а иногда — теоремой о двух милиционерах (на рис. 6.3 х и л — милиционеры, у — нарушитель, 6 — отделение милиции). В силу теоремы 6.2 ~л Ул ~л х всякая сходящаяся последовательность ограиичека, но обратное невер- Рис. 6.3 но. Однако сочетание свойств монотпомности (в частности, стпрогой монотоииости) и ограниченности последовательности достаточно для ее сходимости. Утверждение 8.1 (признак Вейерштирасса).
Ограниченная монотонная последовательность сходится. Доказательство утверждения 6.1 приведено в конце главы (см. Д.6.2). Здесь лишь подчеркнем, что это утверждение (как и теорема 6.6) устанавливает только достаточные (но не необходимые) условия сходимости последовательности. Так, 232 6. ЧИСЛОВЫЕ ПОСЛЕДОВА ТЕЛЬНОСТИ ограниченные и монотонные последовательности (6.3) и (64) сходятся, однако сходящаяся последовательность (6.5) ограни чена, но не монотонна.
Признак существования какого-либо свойства математиче ского объекта, содержащий как необходимые, так и достаточ ные условия, называют обычно критерием. Например, можно сформулировать критерий сходимости монотонной (в частности, строго монотонной) последовательности. Утверждение 6.2. Для сходимости монотонной последовательности необходимо и достаточно ее ограниченности.
Действительно, достаточность следует иэ утверждения 6.1, а необходимость — из теоремы 6.2 об ограниченности сходящейся последовательности. Естествен вопрос: нельзя ли указать критерий сходимости любоЙ (не обязательно монотонноЙ) последовательности? Для этого предварительно дадим следующее определение. М > 0 ЗМ = М(е) Е Х: Чт, и > ~ ~х„— х~~ ( 8. Пример 6.9. Проверим фундаментальность последовательностей (6.5) и (6.6), приняв (не ограничивая общности) т=п+й, йбХ. а.
Все элементы последовательности (6.5) положительны. Поэтому 2+ ( 1)~ 2+ ( 1)а+й 2+ (-1)" 3 ~х„— х т.е. условие определения 6.4 будет выполнено, если взять Ф = = ~3/е]. Итак, последовательность (6.5) фундаментальная. Определение 6.4. Последовательность (х„) называют фундаментпальиоб, если для любого положительного числа е можно указать натуральное число Ф, такое, что абсолютное значение разности любых двух ее элементов с номерами, большими Ж, меньше е, т.е.
если 6.5. Признаки сузцествованна нредеаа посведователыностн 233 б. Для последовательности (6.6) имеем ( 1)в~ ( 1)в+«(и+ ~ ) 1 ха хеба!— и+1 а+1+1 и (-1) «(а+ Й) и+1 и+В+1 Если Й четное, то нетрудно установить, что ~х„ — х ~ < 1/н, и достаточно выбрать И=~1/е), но если й нечетное, то Чн б Х ~х„— х ~ > 1. Поэтому условие определении 6.4 будет нарушено при выборе е Е (О, Ц, т.е.
эта последовательность не явлиетсл фундаментальной. Теорема 6.7. Любая сходкщаясл последовательность фундаментальна, или 31пп(х,Д =Ф Че>0 ЗУ=Ф(е)ЕХ: Чт,а>Ф ~х„-х~~<е. 4 По определению 6.3, для сходищейса к пределу Ь Е В последовательности имеем М>0 ЗУЕХ: Чп>Ф ~х„— Ь~<-. Тогда с учетом свойства (1.4) абсояютпного значения Чт > У получим ~х„-х ~ = ~(х„— Ь) — (х -Ь)~ < ~х„— Ь|+~х -Ь! < — + — =е, Г Я что соответствует определению 6.4 фундаментальной последо- вательности. Ь Теперь сформулируем следующее утверждение. Утверждение 6.3 (критерий Коши). Для сходимости последовательности необходимо и достаточно, чтобы она была фундаментальной. Необходимость следует из теоремы 6.7, а доказательство достаточности дано в Д.6.2.
234 6. ЧИСЛОВЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ 6.6. 'Чксло е Рассмотрим иоследоватпельностпь (х„) рациональных чисел х„= (1+ 1/и)", и Е Х. Покажем, что эта последовательность возрастпаюи4ая и ограниченная. Длн вычислении ее элементпов используем формулу (2.8) бинома Ньютпона 1" и п-1 х„= 1+ — =1+-+и — +...+ и и 2!и ( — 1)" ( -1+1) ( — 1)" (и-и+1) +и ь +...+и = 1+1+ — 1- — + + — 1 — — ° ° 1- — + +...
+ —, 1- — ° ° 1- —, (6.23) причем в (6.23) й = 3, и-1. С возрастанием и на единицу в (6.23) растут и число слагаемых, каждое из которых положительно, и каждое слагаемое (кроме первых двух), так что последовательность (х„) ивлиетсл возрастающей и х„~ 2 Уи б Я. Поскольку (1 — (й — 1)/и) < 1 И > 1, заменив в правой части (6.23) все выражения в скобках на единицу, получим 1 1 " 1 х < 1+1+ — +...+ — +...Ф вЂ”, 21 "' И "' и!' (6.24) Замена для Й = $, и 1/И на 1/2~ 1 > 1/И лишь усилит это неравенство: 1 1 1 1 х„< 1+ 1+ — + — +...+ — +...+— 2 2~ 2ь-1 2" 1 где при О! = 1 С~' = и.'/(И(и — Й)1) — число сочетпаний из и элементов по Й.
Тогда 3 скобках стоит сумма первых п членов геометрической прогрессии со знаменателем д = 1/2 и первым членом а~ —— 1, согласно (1.8) равная ~» 1 (1/2)» 1» з„= а~ — — 1 ° =2 — 2 — <2. 1- д 1-1/2 2 Тогда (6.25) 2<а„<3 ЧаЕИ, 1ип(х») = 1пп 1+ — = е. (6.26) Согласно (6.22), замечанию 6.1 и (6.25) 2 < е < 3. С точностью 5 ° 10 ~ е т 2,71828. Отметим, что последовательность (а,Д при 1 Ъ=1+ — + — +" + — +" + — =,, Я 2! ''' Ц ''' р! ~Ц й-~ (6.27) имеет тот же предел е.
В самом деле, при й < и из (6.23) ~„> 1+1+ — 1 — — +...+ — 1 — — ° ° ° 1— и после перехода (согласно теореме 6.5) в этом неравенстве к пределу при и-+ оо получим с учетом (6.26) и (6.27) 1 1 1пп(ю„) = е Ъ 1+ 1+ — +... + — = л~. 2. 'й'. т.е., по определению 6.2, рассматриваемая последовательность ограничена. Поскольку возрастающая последовательность, по определению 6.1, — частный случай монотонной, в силу яризиака Веберииврасса (см. утверждение 6.1) ограниченная последовательность ((1+1/а)"~ сходится.
Предел этой последовательности, следуя Эйлеру, традиционно обозначают латинской буквой е." 6.7. Бескоиечио маиые и бескоиечио болыпие последозвтелыюсти 237 при н -+ оо) соответственно. Элементы б.м. монотонной последовательности не меняют знака: они неположительны для неубывающей и неотрицательны для невозраспюющей последовательности. В силу свойств (6.10) и (6.11) суммы и произведения сходящихся последовательностей (см. теорему 6.4) сумма или произведение б.м. последовательностей есть б.м. последовательность. Теорема 6.8.
Произведение б.м. последовательности (а„) и ограниченной (х„) есть б.м. последовательность, или с учетом определения 6.2 ограниченной последовательности (1Н~(йв) = О) Л (:-3М > О: Чн Е Х ! хе! ~ (М) =Ф Йп(йихв) = О. Согласно (6.28) для произвольного числа е/М > 0 существует такой номер Ф, что ~а„~ ( е/М при н > У. Тогда с учетом условия теоремы ~а„х„~ = ~о„~ ~х„~ < — М = е, а это, по определению 6.5, означает, что последовательность (а„х„) б.м. Ь Эта теорема дает воэможность сделать, например, заключение о пределе последовательности ((в1пн)/а). В самом деле, ~в1пи~ < 1 Уи Е Х, а согласно (6.8) (1/а) — б.м. последовательность.
Поэтому ((з1п а)/а) — б.м. последовательность и Йп — = О. Определение 6.6. Последовательность (и„,) называют бесконечно большой (б.б.) (или стремящейся к бесаокечиомр пределу) и используют обозначение !ип(и„) = оо (или и„-+ оо при и -+ оо), если для любого сколь угодно больаого положительного числа М можно указать натуральное число У, такое, что начиная с номера У+1 все элементы 238 6. ЧИСЛОВЫЕ ПОСЛЕ,ц ОВА ТЕЛЬНОСТИ этой последовательности по абсааотному значению превыща ют число М, или 1пп(ид) =оо:С~УМ > О ЗУ(М) Е Х: (а > Ф =~ ~и„~ > М). (6.29) Если последовательность (е„) к тому же еще и монотонна (в частности, строго монотонна), то начинал с некоторого номера ее элементы знакопостоянны, причем для неубывающей (в частности, возрастающей) они положительны, а для невозрастающей (в частности, убывающей) — отрицательны.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
