I Морозова В.Д. Введение в анализ (1081368), страница 33
Текст из файла (страница 33)
Последовательность (6.6) не имеет предела, т.е. (-1) "и При произвольном с>0 предположим, что ~1/и — 0~ <е. Тогда и > 1/е. Если принять У = 11/е) (целая часть числа 1/е), то (6.8) будет верно по определению 6.3. б. Убедимся, что для (6.5) 222 6. ЧИСЛОВЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ У(-1,1) У(1,1) 2 х Рис. 6.2 6.4. Свойства сход,ищихся последовательностей Теорема 8.1. Вслкан сходлщался последовательностпь имеет только один предел.
~ Пусть у сходящейсл последовательности (х„~ по меньшей мере два предела Ь1 и Ьг, причем Ь1 ф Ьг. Тогда, по определе- нию 6.3 предела последовательности, в > О ЗЖ1 Иг б Х ° (~х„— Ь1~ < е Уп > И1) Л (~х„— Ьг1 < е ~п > ~г). Примем е = 1Ьг-'Ь1!/3 и при и > шах(У1, Уг~ с учетом свойства (1.4) абсолютного эначения получим ~Ьг-Ь1~ = ~х„-Ь1+Ьг-х4 ~ 2 ( ~х — Ь1~+ ~х„— Ьг~ < г+~ = -~Ьг — Ь1 !. 3 не существует. В самом деле, если выбрать е = 1, то все ее четные элементы попадают в г-окрестность 0(1, 1) точки х = 1, а все нечетные элементы — в е-окрестность 0(-1, 1) совсем иной точки х = -1, причем эти окрестности не имеют общих точек (У(1, 1) П 0(-1, 1) = И) (рис.
6.2). А по определению 6.3 если бы одна из точек х=1 или х=-1 была пределом этой последовательности, то все ее элементы, начинаи с некоторого номера, должны были попасть в выбранную окрестность этой точки. 6А. Свойства сходлщихсв аосщдоввтельыостей 223 В итоге приходим к противоречию ~Ьр — Ьд~ < 2~Ьз — Ь|~/3. Поэтому Ь| — — Ь~, что означает единственность предела сходящейся последовательности (это очевидно, если вспомнить геометрический смысл предела последовательности; в самом деле, нельзя, начиная с некоторого номера, уложить все последующие элементы последовательности в две непересекающиеся окрестности двух точек).
Ь Теорема 6.2. Всякая сходящаяся последовательность огра ничена, т.е. ЗИВА(~в~ Е Е ~ ЗМ > 0: Ча ~ Х ~х„~ < М. М Из определения 6.3 следует, что для сходящейся последовательности с пределом ЬЕ Е в его е-окрестность ~Ь-е, Ь+е) попадают все элементы ю„начиная с определенного номера Ф+ 1. Выберем М = пих(~х~~~ ~хз~, ° ° °, ~хж~, ~Ь вЂ” е~, ~Ь+е~~. Тогда ~х„~ < М Уа Е И, что отвечает условию определения 6.2 ограниченной последовательности. в Теорема 6.3.
Если последовательность сходится к пределу, отличному от нуля, то начиная с некоторого номера ее элементы принимают значения только того знака, каков знак ее предела, или 31ип(ю„) = Ь ф 0 ~ ЗМ Е Х: Чи > Ж х„Ь > О. Выберем е = ~Ь| > О. Тогда, согласно определению 6.3 для сходящейся последовательности с пределом Ь Е Е, в его окрестность (Ь вЂ” ~Ь~, Ь+ ~Ь!) попадут все элементы ж„начиная с некоторого определенного номера Ф+ 1, т.е.
с учетом ~1,1) при Ь < О -2~Ь! < ю„< О, а при Ь > О О < ю„< 2Ь. Отсюда а„Ь>0. 3~ 224 6. ЧИСЛОВЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ Следствие 6.1. Сходящмся последовательность, элементы которой знакопостолнны, не может иметь предел другого знака. Л В самом деле, если бы предел последовательности имел иной знак, то, согласно теореме 6.3, начинал с некоторого номера ее элементы принлли бы знак предела, что противоречит исходному условию.
° Пусть даны две последовательности (х„) и (у„). Их срммо4, произведением и часшиым называют последовательности (х„+уп), (х„уд) и (хд/у„), а ОбрОпънОЙк (ул) — последовательность (1/у„~, причем последовательности (х„/у„) и (1/у„) определены лишь при условии у„у6 О Чп б Х. Ясно, что (х„/у„) = (х„(1/у„)). Теорема 8.4. Если последовательности (х„) и (у„) сходлтсл соответственно к пределам а и Ь, то 1) аппп(х„+у„~ =а+6, (6.10) 2) ~1ш(х„у„) = аЬ, (6.П) 3) Йп( 1/у„~ = 1/Ь, если 6 ~ О. (6.12) Л Обозначим ~а — х„~ = Ьх„> 0 и ~Ь вЂ” у„~ = Ьуу > О и выберем произвольное е > О. Тогда: 1) длл сходящихся последовательностей, по определению 6.3, ЭМ~,ЦЕХ: Чп>М~ Ьх„< — Л Чп >Мд Ьу„<— и с учетом свойства (1.4) абсолютного значении ЧВ>и=Шахах, Ю 1(а+6) — (х +у )1= Е 6 = ~а — х„+6 — у„~ < Ьх„+Ьу„< -+ — =е, 2 2 что, согласно определению 6.3 предела последовательности, доказывает (6.10); 225 6.4.
Свойства скодлщихсл последовательностей 2) воспользуемся тождеством аЬ вЂ” х„у„= аЬ вЂ” х„у„+ ау„— ау„= у„(а — х„) + а(Ь вЂ” у„) и с учетом (1.4) запишем |аЬ вЂ” х„у„| < |у„|Ьх„+ |а|Ьу„; (6.13) по теореме 6.2 об ограниченности сходящейся последовательно- сти и определению 6.2 ограниченной последовательности, ЗМ>О: ЧаЕХ |у,| <М; (6.14) для сходящихся последовательностей, согласно определению 6.3, ЗйьИяЕ Х: в итоге из (6.13) -(6.15) имеем: Че > 0 ЗУ = шах(Ф1, У~~: Ые |а|е |у„| + |а! Уй>й |аЬ вЂ” хдуу~|< | |+ | | — | |е ЗМ~ЕХ: у„Е Ь вЂ” —,Ь+ — Чп>И~. |Ь| |Ь| 2' 2 Тогда у„Е (-3|Ь!/2, — |Ь!/2) при Ь< О и у„Е (Ь/2, ЗЬ/2) при Ь > О. Таким образом, ЗМ' е М: Чп > У' |у„| > —.
|Ь| (6.16) что, по определению 6.3, равносильно (6.П); 3) для последовательности (у„), сходящейся к ненулевому пределу Ь Е Е, при выборе е = |Ь|/2, согласно определению 6.3 .сходящейся последовательности, 226 б, ЧИСЛОВЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ По определению 6.3 для сходящейся последовательности ЭУ е Х: Чп > У Ьу„< е —. (6.17) В итоге из (6.16) и (6.17) с учетом свойства (1.3) абсолютного значения получим: Че > 0 ЭИ = тах(Ж', У"~: 1 1 ь у» что в силу определения 6.3 доказывает (6.12).
~ Следствие 8.2. При вычислении предела сходящейся последовательности один и тот же постоянный сомножитель в ее элементах можно выносить за символ предела. Полагая с = сопв$, из (6.11) и (6.9) получим 1пв(сз„) = = с1пп(ж„).
3~ Объединение этого следствия с (6,10) дает правило вычисления предела линейкой комбвкации сходящихся последовательностей, т.е. суммы конечного числа т Е Х слагаемых, каждое из которых является произведением сходящейся последовательности и постоянного сомножителя: если И = 1, т 1пп (ж»" ) = 6~ и В Э с~ = сопз1, то ® 11т~~~ сд(с1 1~ = ~ сд1!т(с~~1~ = ~ссдс. (6.18) Из (6.11) и (6.12) для сходящихся последовательностей при условиях у» у60 Чп Е М и !ип(у»~ ф.0 получим ю» 1ип(х») Ит у» 11~п(д»1 (6.19) Ясно, что (6.10) и (6.11) нетрудно обобщить на любое конечное число слагаемых или сомножителей, если в их качестве ° взять сходящиеся последовательности. 227 6А.
Свойсшв сходащихса поса~доввтельыостей ' ] 1оц,(1+ я) В случм а = 1 результат очевиден, поскольку а'/" =-1 Уа Е Я. При О< а<1 имеем 1/а>1, а потому с учетом (6.19) 1 (1/а) 1/ю Епп(а ~") = Ьп =1. 1 111пЦ1/а) 1!") (6.20) б. Сумма первых и членов геометрической прогрессии со знаменателем а и первым членом а1, согласно (1.8) (см. пример 1.7), равна в„= а1(1 — д")/(1 — у). Используя (6.10) и следствие 6.2, при 0< у<1 получим (6.21) поскольку с учетом примера 6.4, полагая 1/а= а > 1, имеем ь ~~")=11 р/а )=О. Пример 6.7.
Вычислим 2 — п+ 5тР Непосредственно использовать (6,19) не удмтся, так как последовательности (а~ + п — 1) и (2 — п+ 5и~) не являются сходящимися. Выполним предварительно тождественные пре- образования 1 1 1+ —— цз+и 1 в й 2- п+5~Р 2 1 -~ — — +5 и п 1$' Пример В.б. а.
Покажем, что Уа > 0 1нп(а11") = 1. Пусть сначала а > 1. Предположим, что ~а1~" — Ц < е при произвольном е > О. Отсюда а11" < 1+ е и с учетом определения логарифма 1/и < 1од (1+ е). Чтобы удовлетворить определению 6.3, достаточно в (6.7) выбрать 228 6. ЧИСЛОВЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ В силу (6.8) и (6.11) — =11ш — =О, н ( и из (6.18) 2 1 =1, 1пп — ~ — — +5 =5, и2 и 1 1 1+ — —— и ~Р а из (6.19) искомый предел равен 1/5. ь(з„+у„) < ьх„+ьу„, ь(х„у„) < ~д„~ью„+ ~х„~ьу„, Наибольшая возможная (максимальная) погрешность алгебраической суммы равна сумме погрешностей слагаемых, т.е. ~пньк(*ть+ Ув) = ~~а+ ~Ук Если в качестве погрешностей слагаемых рассматривать ошибки округления, то значение Ь „(х„+ у„) наиболее чувствительно к погрешности наименее точного слагаемого.
Поэтому, чтобы избежать лишних вычислений, не следует сохранять в более точном слагаемом лишние значащие цифры. Чтобы обеспечить при выполнении любого из рассмотренных действий абсолютную погрешность не более Ь, можно задать следующие погрешности исходных значений: при Пример 6.8. Введенные при доказательстве теоремы 6.4 величины Ьх„= ~а — з„~ и Ьу„= ~Ь-у„~ можно рассматривать как абсолютные погрешности приближенных значений х„ и д„соответственно величин а и Ь. Тогдаполученные входе доказательства теоремы соотношения, приближенно заменяя в них ~а~ на ~ж„~ и ~Ц на ~у„~, можно использовать для оценки погрешностей, возникающих при суммировании, умножении, обращении и делении приближенных значений, а именно: 230 6. ЧИСЛОВЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ Аналогичным образом, если для сходящейся последовательности (х„) имеем х„>а=сопвй Чп> ФЕИ, то Йп(х,Д >а.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
