I Морозова В.Д. Введение в анализ (1081368), страница 29
Текст из файла (страница 29)
Но поскольку хо является произвольной точкой множества Х, эта функция непрерывна в каждой точке из Х, и, по определению 5.14, она непрерывна на данном множестве Х. В частности, на В непрерывна действительная функция действительного переменного р(х, а) = ~х — а~, в том числе при а = О функция р(х, 0) = ~х~ (см.
рис. 3.5). 195 Б.б. Определенне непрерывного отобрахениа 1х хо! < !хо!. (5 13) Далее имеем 1х - хо! 1х - хо! !х - хо! 1*о*! 1*о(о -*о)+*о! 14- 1зо) 1*-*о11' 1 1 хо так как в силу свойств абсолютпного значения числа )оо!о — *о)+оо! Э 1оо — 1оо) 1о — оо!1. С учетом (5.13) 1*о — 1оо1 1о — оо11=*о 1*о! 1* — оо) Если !х — хо! будет удовлетворять неравенству !х — хо! 2 <8 хО !хо! ' !х хо! (5.14) и условию (5.13), то условие (5.12) непрерывности функции 1/х в точке хо ф- О будет выполнено.
Иэ (5.14) имеем ~хо г !х — хо! < Нетрудно проверить, что для х, удовлетворяющих этому огра иичению, выполняется и (5.13). Таким обраэом, если положить о = ехо~/(1+я!хо!), то выбранная е-окрестность точки 1/хо будет включать о6раз соответствУющей 0-окРестности любой точки хо ф- О, что, согласно 13о' ограничения на величину !х — хо1, ибо она как раэ и определяет расспьояние между точками х и хо. Ясно, что искомая ~ окрестность не должна содержать точку х = О, поскольку в этой точке рассматриваемая функция не определена. Отсюда следует первое ограничение на такую окрестность с центром в точке хо в виде неравенства 196 б. НЕПРЕРЫВНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ определениям 5.13 и 5.14, свидетельствует о непрерывности функции Дх) = 1/х на множестве ЩО).
В частности, согласно замечанию 5.1, эта функция будет непрерывна в любом интер вале (а, Ь), в том числе в интервалах (-оо, О) и (О, +со) и на любом отрезке ~а, Ь), не содержащих точки х = О. 5.7. Свойства непрерывного отображении множеств Теорема б.7. Для непрерывности отображения (функции) ~: Х-+У на множестве Х необходимо и достаточно, чтобы при отображении ~ прообраз ~ 1(В) любого описрытоео множества В С У был открытым множеством в Х. 4 Для доказательства необходимости условия теоремы предположим, что  — открытое множество в У и отображение ~ непрерывно на Х. Пусть А= ~ 1(В) и точка аЕ А.
Тогда У(а) Е ДА) С В. По определению 5.3 открытого множества, В содержит некоторую окрестность Ч точки ~(а). Благодаря непрерывности ~ иэ определения 5.13 следует, что у точки а существует окрестность О, такая, что ~(11) С Ч. Значит, ~(У) С В и в силу свойства (2.3) прообраза отображения У С ~ 1(В) =А. Итак, множество А вместе с каждой своей точкой содержит некоторую окрестность этой точки, а это означает (по тому же определению 5.3), что А — открытое множество. Для доказательства достаточности условия теоремы предположим, что а — произвольная точка Х и Ч вЂ” е-окрестность точки Да) Е У.
Тогда прообраз ~ 1(Ч) является открытым множеством в Х и содержит точку а. По определению 5.3, ~ 1(Ч) содержит некоторую Ю-окрестность точки а. Итак, для любой е-окрестности Ч точки ~(а) существует 8-окрестность 0 точки а, такал, что Д0) С Ч, а это, согласно определению 5.13, означает непрерывность ~ в точке а. ° 5.7. СЪойстза непрерывного отобрахенна мнан:еств 197 Следствие 6.1. Функция ~: Х -+ У непрерывна на Х тогда и только тогда, когда при отображении ~ прообраз ~ 1(В) каждого замкнутого мможестпва В С У является замкнутым множеством в Х.
Действительно, если множество В С У замкнуто, то в силу теоремы 5.5 его дополнение У~В в метприческом просщранстве У открыто и по теореме 5.7 для непрерывности ~ необходимо и достаточно, чтобы ~ 1(У~В) было открытым множеством в метрическом пространстве Х. Но из свойства (2.2) прообраза отображения ~ ~(У~В)=~ ~(У)~~ 1(В)=Х~~ 1(В), (5.15) и, согласно той же теореме 5.5, множество ~ '(В) будет замкнутым. Обратно, если и В С У, и ~ '(В) С Х являются замкнутыми множествами, то по теореме 5.5 и У ~ В С У, и его прообраз ~ '(У ~ В) С Х (с учетом (5.15)) будут открытыми множествами, т.е. в силу теоремы 5.7 функция ~ непрерывна на множестве Х. $» Следствие б.2.
Если функция ~: Х -~ У С Е непрерывна на Х, то при любом .с Е Ж множества (хЕХ: ~(х) <с~ и (хЕХ: Ях)>с~ открыты, а множества (хЕХ: Дх) <с) и (хбХ: Дх) ~с) замкнуты. Действительно, множество (х б Х: Дх) < с) есть прообраз открытого множества (-оо, с) С В и, согласно теореме 5.8, открыто, а множество (х Е Х: ~(х) < с) есть прообраз замкнутого множества (-оо, с] С Е, а потому в силу следствия 5.1 замкнуто. Для двух других множеств аналогичные 198 б. НЕПРЕРЫВНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ рассуждения приводят к сформулированным выше утвержд~. ниям.
~ Пример б.9. Множество (х Е Е\(О~: 1/х ~ (1) = (-оо, О) 0 ~1, +оо) замкнуто в ЕЦО), но не является замкнутым в Е, а множество (х Е Е~ЯО~: 1/х < 1~ = (-оо, 0) 0 (1, +оо) открыто и в ЕЯО~ и в Е. Следствие 6.3. Если функции ~~(х), Ях), ..., Д„(х) непрерывны на Х и отображают Х в Е, то при любых а1, аг, ..., а„, д1, Ьг, ..., Ь„б Е множество (х Е Х: а1 < ~~ (х) < Ь1, аг < Ь(х) < Ьр, ..., а„< Ях) < Ь„) открыто, а множество (хЕХ: а1 <~1(х) <~Ь1, аз~(~г(х) ~~Ьз, ..., а ~<У~(х)(~Ьв1 замкнуто. 4 Действительно, это утверждение справедливо в силу след- ствия 5.2 с учетом теоремы 5.4 и утверждения 5.2 об объеди- нении и пересечении открытых и замкнутых множеств.
° Теорема б.в. Композиция двух непрерывных отображений непрерывна (или более подробно: если отображение ~: Х -> -+ У непрерывно в точке а Е Х, а отображение д: У -~ Я непрерывно в точке Ь = Да) Е У, то их композиция (сложная функция) д о ~: Х -+ Я непрерывна в точке а). 4 Пусть Ь(х) = деДх) = д(~(х)) — композиция двух заданных функций ~ и д и с=д(Ь) =д(.~(а)) =й(а). Покажем, что функция и непрерывна в точке а. Для этого рассмотрим произвольную е-окрестность % С 8 точки с.
Поскольку 6.7. СЪойстзе ишрерывного отображении иножеств 199 у непрерывна в точке Ь, то, по определению 5.13, существует такая у-окрестность У точки Ь в У, что у(Ч) С%, а из непрерывности ~ в точке а следует существование такой ~-окрестности 0 точки а в Х, что ~(Б) СЧ, причем в силу свойства (2.1) о6раза отображения у(~(0)) С у(У).
Итак, какова бы ни была е-окрестность % точки с = Й(а) Е Я, существует такая 6-окрестность 0 точки аЕХ, что й(0) = у У(Б) = у(~Ж)) С у(У) С %, а это означает, согласно определению 5.13, непрерывность й в точке а. ~ Из этой теоремы вытекает следующее: если функция непрерывна на множестве Х, а функция у непрерывна на множестве ~(Х) С У, то их суперпозиция Ь=уо~ непрерывна на Х. Пример б.10. Пусть ~: Х -+ У вЂ” непрерывное отображение множества Х в метрическое пространство У с метрикой а и Ь б У вЂ” фиксированная точка.
Тогда действительная функция й(х) =Них), Ь), х Е Х, будет непрерывной на множестве Х как композиция непрерывной на Х функции и непрерывной на У действительной функции расстояния а' (см. пример 5.7). В частности, если на Е непрерывна действительная функция ~(х) действительного переменного х Е Е, то на Е непрерывна и композиция ~~(х)~=Них), О), Из непрерывности на Е~(0) действительной функции Дх) = 1/х (см. пример 5.8) следует непрерывность на Е ~(0) композиции !У(*)! = 11/.1 = 1Л*!.
Теорема 5.8. Образ компакта при непрерывном отобра аении является компактом. ~ Пустьотображение ~: Х-+У непрерывно на Х. Докажем, что если Х вЂ” компакт, то ДХ) С У тоже будет компактом. Обозначим через й любое покрытие множества ДХ). 200 5. НЕПРЕРЫВНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ По определению покрытия (см. б.б), образ Да) произвольной точки а б Х должен принадлежать хотя бы одному из открь« тых множеств покрытия Й, например Во, т.е. ~(а) Е В0 е О. Тогда, согласно определению прообраза множества (см.
2.1) имеем х Е~ '(В0), причем ~ '(В0) в силу теоремы 5.7 явля ется открытым. Итак, прообразы ~ «(В) всех открытых множеств В, составляющих Й, образуют открытое покрытие множества Х. Поскольку Х вЂ” компакт, для его покрытыя в силу опре деления 5.12 можно выбрать конечное подпокрытие (например, 3' '(В«), 3' «(Вз), ..., У-«(В„) ). Тогда совокупность множеств В«, Вр, ..., В„образует (открытое) покрытие множества ДХ).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
