I Морозова В.Д. Введение в анализ (1081368), страница 27
Текст из файла (страница 27)
Таким образом, пересечение конечной совокупности открытых множеств вместе с любой своей точкой хо содержит и некоторую е-окрестность этой точки, что отвечает определению 5.3 открытого множества. ~ ЗС> О: Ухо ЕМ Чаб А р(хо, а) <С. (5.5) Если выполнено (5.5), то ограничены расстояния между любыми двумя точками а1 и а2 из А.
Действительно, вследствие неравенства треугольника р(а1, а2) < р(а1, хо) + р(а2, хо) < С+ С = 2С Уа1,а2 Е А. Ясно, что множество А С М будет неограииченным, если для любого сколь угодно большого действительного числа С > > О в А существует пара точек а1, аз, для которых р(а1, ар) > > С. В этом случае и для любой фиксированной точки хо Е М при любом С > О можно найти точку а Е А, для которой р(хо, а) > С. Для ограниченного множества А рассматривают величину Йат А = зир р(а1, ар), «1,«тЕА которую называют диаметиром этого множестиеа.
Итак, все точки ограниченного множества А С М содержатся внутри шара конечного радиуса с центром в некоторой точке хо метрического пространства М. Поэтому можно сформулировать определение, эквивалентное определению 5.5. Определеиие б.б. Множество А С М метрического пространства М называют оврамичеммым, если расстояния от какой-либо точки хо Е М до каждой из точек этого множества ограничены некоторой постоянной С > О, т.е. если 184 5.
НЕПРЕРЫВНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ Определение б.В. Множество А С М называют огракачеккым, если все его точки содержатся в некотором шаре конечного радиуса (или если множество А включено в такой шар). Отметим, что для множества А С И точек числовой прямой сформулированные определения ограниченности равносильны определению 2.5 ограниченного подмножества упорядоченного ,множества. Определения 5.5 и 5.6 означают, что ограниченное множество А С Е включено в некоторый конечный отрезок числовой прямой.
5.3. Характерные точки множеств Определение 6.7. Точку а Е А именуют вку~вреккей точмок множества А, если у нее есть включенная в А е-окрестность, т.е. если 30(а, е): 0(а, е) С А. Из определений 5.3 и 5.7 ясно, что множество является открытым, если каждая точка этого множества является внутренней. Определаиие 5.8.
Точку а б М называют изояироваккой точкой множества М, если у этой точки существует е-окрестность, в которой нет других точек данного множества. Например, точка а Е М будет изолированной для некоторого множества М точек числовой прямой И, если существует интервал, содержащий а и несодержащийболеени одной точки из М. Определение 5.9. Точку а Е М называют гракичкой твочкой множества А С М, если в любой ее е-окрестности есть точки как принадлежащие А, так и не принадлежащие А. Так, для множества А = [а, 6] С Е точки а и 6 являются граничными.
Эти точки будут граничными и для множества А = (а, 6). Множество всех граничных точек некоторого 6.3. Характерные точки мнсикесзз 185 множества А С М называют границей этого мномсества и обозначают дА. Множество без своей границы иногда называют его внутпренностиъю. Определение 5.10. Точку а Е М называют тзредельиоб ~рочкой множества А С М, если в любой е-окрестности этой точки можно указать точку х б А, отличную от самой точки а. Пример 5.2. Пусть множество А С Й точек числовой прямой ограничено сверху (снизу) и пусть точка ('= вцрА (п=1пГА) не входит в множество А. Покажем, что ~ (и) есть предельная точка множества А.
Проведем доказательство для точки (' = вир А. Согласно свойствам точной верхней грани для любого е > О существует точка х' Е А, такая, что ( — е < х' < ~, причем х„ ф (, поскольку по условию ~ не входит в А. Итак, в любой е-окрестности точки ~ содержится точка х' б А, отличнал от (', т.е. ~ является предельной точкой для множества А. ~ Иэ определений 5.9 и 5.10 следует, что как граничная, так и предельная точки множества могут либо принадлежать этому множеству, либо не принадлежать ему. Для суждения о существовании предельных точек полезна следующая теорема Теорема 5.4 (принцип Больцано — Вейерштрасса).
Каждое бесконечное множество точек отрезка [а, 61 С И имеет хотя бы одну предельную точку. ~$ Заметим прежде всего, что если на отрезке [а, Ь~ имеется бесконечное множество А точек, то хотя бы на одной из двух половин [а, (а+ 6)/2~ и [(а+ 6)/2, 6~ этого отрезка имеется бесконечное подмножество множества А. Пользуясь этим соображением и обозначая отрезок [а, 6~ через Ь1, построим последовательность вложенных отрезков Ь1 3 Ь2 Э ..., где каждый последующий составляет половину предыдущего и включает в себя бесконечное подмножество множества А.
186 5. НЕПРЕРЫВНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ Согласно принципу вложенных отпрезков у этих отрезков имеется общая точка хо. Покажем, что она является пр~ дельной для множества А. Возьмем любую е-окрестность 0(х0, е) точки хо. Пусть натпуральное число и таково, что длина отрезка Ь„меньше е (достаточно выбрать и из не.
равенства (Ь вЂ” а)/2" 1 < е). Этот отрезок целиком включен в 0(хо, е) и содержит точку щ. Поскольку выбор значения е > 0 произволен, в силу свойства отрезка Ь„получим, что любая е-окрестность точки хо содержит точку из А, отличную от хо. Следовательно, согласно определению 5.9, хо есть предельнал точка множества А. > 5.4. Замкнутые множества Оиределеиие 5.11. Множестпво Р С М называют замяяутпым, если оно содержит все свои предельные тпочки. Пример 6.3.
а. Отпрезок ~а, Ь| С И числовой прямой является замкнутым множеством, а полуинтпервал ~а; Ь) не замкнут, поскольку его предельная точка Ь не принадлежит этому полуинтервалу. б. В любом метприческом простпранстпве М шар 0 = (х Е М: р(а, х) ~ ~T) с центром в точке а Е М и радиуса г является замкнутым множеством, и поэтому его называют замкнутпым шаром. Действительно, возьмем любую точку х1, не принадлежащую этому шару, т.е. р(а, хь) = г1 > г, и покажем, что х1 не может быть предельной точкой для О. Очевидно, что в шаре с центром в точке х1 и радиуса (г1 — т')/2 нет точек шара О.
Если бы нашлась такая точка, то, обозначив ее через х, мы имели бы, согласно аксиоме в) из 187 определения 5.1, г~ — Г $ +3~ р(а, х~) < р(а, л)+ р(л, х~) < г+ — = — ( г~, а зто находится в противоречии с равенством р(а, з~) = г~. ф Связь замкнутых множеств с открытыми устанавливает следующая теорема. Теорема 6.6. Если множество Р С М замкнуто, то его дополнение М ~ Р открыто, и если множество С С М открыто, то его дополнение М~6 замкнуто.
° Пусть Р— замкнутое множество и ОМ~ Р. Докажем, что б открыто. Для этого достаточно показать, что Допустим противное, т,е. что в любой такой е-окрестпности есть хотя бы одна точка из Р. Она отлична от мо, поскольку зо ф Р. Но тогда, по определению 5,10, мо является предельной точкой множества Р. Так как Р замкнуто, хо, согласно определению 5.11, должна принадлежать Р, что противоречит предположению юо Е О. Следовательно, множество С вместе с любой своей точкой мо содержит некоторую е-окрестность этой точки и, по определению 5.3, является открытым. Для доказательства второй части теоремы предположим, что 0 открыто и Р= М~С. Согласно определению 5.3 открытого множества любая точка юо Е 0 входит в С вместе с некоторой е-окрестностью этой точки.
Таким образом, у точки жо существует е-окрестность, в которую не входит ни одна точка, принадлежащая Р, т.е. с учетом определения 5.10 жо не может быть предельной точкой множества Р. Следовательно, предельными точками Р могут быть лишь точки, принадлеЖащие этому множеству, которое, согласно определению 5.11, будет замкнуто. ° 188 б. НЕПРЕРЫВНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ Из свойств открытых множеств в метрическом простран стве и теоремы 5.5 следует утверждение. 'Утверждение 6.1.
Ообьединение конечного числа замкнутых множеств и пересечение любой совокупности замкнутых множеств являются замкнутыми множествами. 5.5. Компактные множества Пусть М вЂ” некоторое метрическое простпранстпво и А— подмножестпво в М. Множестпво В подмножеств К С М, 1Е,У С Х, таких, что ясак, образует покрыттиюе множестпеа А С М. Покрытие называют коиечмым, если оно состоит из конечного числа 1 подмножеств К;. Покрытие является отамрытвым, если все подмножества У; открыты в М. Любое подмножество множества В, образованное из У; Е В и включающее А, именуют иодиокрыпьием данного покрытия В.
Пример б.4. а. Множество интпервадов (п-1, а+1) СЙ числовой прямой при целых значениях а б Е образует открытое покрытие множества Е. У этого покрытия не существует подпокрытий, поскольку достаточно удалить какой-либо интервал (п — 1, а+1) и соответствующал точка а не будет покрыта. б.
Множество интервалов (и — 3/4, и+ 3/4) С В при и Е У также является открытым покрытием Е. Оно образовано из открытых подмножеств, каждое из которых меньше соответствующего подмножества предыдущего покрытия, однако оно не является подпокрытием первого покрытия, поскольку состоит из подмножеств, отличных от входящих в это первое покрытие.
189 б.Б. Коыпактные мыожества Определение б.12. Множество А С М называют комкапеткым (или просто компакчпом), если иэ любого его открытого покрытия можно выделить хотя бы одно конечное подпокрытие. Теорема 5.6. Отрезок [а, 6] С И числовой прямой является компактным множеством. ~ Пусть  — открытое покрытиеотрезка [а, 6] и с — центр этого отрезка. Предположим, что из В невозможно выбрать конечное покрытие для [а, 6]. Тогда это невозможно сделать, по крайней мере, для одного из отрезков [а, с] или [с, 6], который обозначим [а1, 61].
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
