I Морозова В.Д. Введение в анализ (1081368), страница 23
Текст из файла (страница 23)
Таким образом, Агах = ахцл+ 2тп~г, тп б Е. 4.3. Поле коиааексиых чисел х=гсоз~р=Цсоз~р, у=гз1пу=фз1п~р, ®р=-. х (4.6) С учетом ограничений, налагаемых на главное значение аргу- мента комплексного числа, получим агс$д-, Р х' л + агсФц-, Д х' -л + агс$ц —, Д х' если х>0; если х< 0 и у) О; еслих<Оиу<0; (4.7) агин = еслих=Оир>0; еслих=Оир<0. Из (4.6) следует, что правомерна запись х= г(созр+Ыпу), (4,8) иаэываемал тпригонометирической формой иредстпавленил комплексного числа. Для перехода от алгебраической дли я=О значение Агин не определено.
Соответствующую этому числу точку (начало координат) характеризуют лишь условием ~х~ = г = О. Итак, каждому комплексному числу х на комплексной плоскости отвечает радиус-вектор точки М(х, у), которую можно задать ее иоллрными координатиами помарным радиусом г > О, равным модулю комплексного числа, и номлрным иг,аом у, совпадающим с главным значением аргумента этого комплексного числа. Согласно известным иэ школьного курса тригонометрии определениям тпригонометпрических функций и обратных к ним (см. 3.5), при любом расположении точки х на комплексной плоскости имеем 152 4. ОСНОВНЫЕ ЗАКОНЫ КОМПОЗИЦИИ формы представления к тригонометрической используют (4.5) и (4.7), а для обратного перехода — (4.6).
Отметим, что два от личных от нчля комплексных числа равны тогда и только тогда, когда модули их равны, а аргументы отличаются на слагаемые, кратные 2к. Согласно (4.1) суммой комплексных чисел х1 и будет комплексное число х1+хг = (х1+Фу1)+(хг+Ьг) = (х1+хг)+1(у1+ уг) а их разностпьто— '1 — хг = (х1+ щ) — (хг+ щ) = (х1 — хг) + ~(у1 — уг) Из этих формул следует, что слог жение (или вычитание) комплексных чисел аналогично сложению (или вычитанию) векторов в комплексной плоскости по правилу параллелограмма (рис. 4.2) (при этом соответствующие координаты векторов складывают или вычитают). Поэтому для модулей комплексных чисел справедливы неравенстива тпреугольника в виде Рис.
4.2 х1хг — — (х1+ гу1) (хг+ щг) = (х1хг — у1уг) + ~(х1уг+ хгу1). ~х1+ хЯ ( ~х1~+ ~хг~ или ~х1 — хг~ ~~ ~х1~+ ~хг~ (4.9) (длина любой стороны треугольника не больше суммы длин двух его других сторон). Однако этим аналогия между комплексными числами и векторами исчерпывается. Сумма или разность комплексных чисел может быть действительным числом (например, сумма комплексно сопряженных чисел х+У = = 2х, х = й,е х (= Ж).
Согласно (4.3) произведением комплексных чисел х1 и хг будет комплексное число 153 4.3. Поле комплексных чисел Деление числа г1 на л2 ф 0 вводят как действие, обратное умножению т.е. под частным л1/г2 при Чл2 ф. 0 понимают КоМплексное число л, удовлетворяющее равенству л2л = л1. После умножения обеих частей этого равенства на 72, получим лР2 х1х2+ У1У2 .х2У1 — х1У2 Л вЂ” +1 Л2 Л272 Х2+ У2 х2+ у2 (4.10) Возведение комплексного числа л в степень об И является умножением л насебя а раз с учетом того, что при ЙЕ Х Ча =41, Чп = 4Й+1, Чп = 4й+2, Чтв = 4й+3. Тригонометрическая форма записи (4.8) дает возможность упростить умножение, деление и возведение в степень комплексных чисел.
Так, для л1 = г1(созу1+гз1п~р1) и л2 = г2(соз~р2+ +1зшу2) по (4.3) можно установить, что л1л2 —— г1гг(сов(<р1+ у2) + евифр1+ <р2)) (4.П) и в случае а2 у~ 0 (а значит, и г2 ф. 0) ,~д г1 — = — (соз(У1 — ~Р2) + Ып'(У1 — У2)), гг (4.12) т.е. ~г1л2~ = ~г1! ° ~л2~, Агцг1л2 = Аг~г1 + Агцл2 ~21~ Л1 — Аги — = Агил1 — Агин.
1Ы' Х2 На комплексной плоскости (рис. 4.3) умножению соответсТвует поворот отрезка ОМ на угол у2 (против часовой стрелки при у2 >О) и изменение его длины в г2 — — ~л2~ раз, а делению — поворот этого отрезка на тот же угол по часовой стрелке и'изменение его длины в 1/г2 — — 1/~г2~ раз. 154 4. ОСНОВНЫЕ ЗАКОНЫ КОМПОЗИЦИИ Рассматривая возведение в степень т2 б Х как умножение ~ на себя а раз, получаем ~" = (г(созе+ тз2п ~р))" = г"(созтнр+ тз1п тир). (4.13) Рис.
4.3 р (созпд+ зш таад) — г(созе+ з1п~р) и, учитывая равенство комплексных чисел, получим р" = г и пд=~р+2Ьг, Й Е Е. Отсюда р= ф7, д= (~р+2Ьг)/22 и ~р+ 2Ьг .. у+ 2Ьг фа= фг соз + 2З1П т2 т2 (4.14) Из выражения (4.14), называемого формулой Муавра извлечения кормя целой иоложитпельной стпепени из номилемсноао числа, следует, что среди возможных значений ~~а различными будут т2 значений, соответствующих Й = = О, 22 — 1.
Все п различных значений для ф~л имеют один и В честь английского математи ка А. де Муавра (1667-1754) это й) 82 соотношение называют форму. ~2 лоб Муавра воэведения ном~3~2 ~х племсноао числа в целую по- М ложитпельную стпепень. Возве- ~2 У~ дение комплексного числа в раци- О ю2 ~2, х опальную степень д = тп/т2, д Е Я, ~~с тп Е Е, т2 Е М, связано с возведениг! Ф2 1 ем этого числа в степень 1/п, или, как принято говорить, с извлечением корня т2-й степени из комплексного числа.
Извлечение корня — это операция, обратная возведению в степень, т.е. х1~" = и, если иР = 2. пусть х = г(соз р+ ип р), и = р(созд+з1пд). Тогда из (4.13) имеем 4.3. Пале комплаксиих чисел тот же модуль, а их аргументы отличаются на углы, кратные 2«Г/««. Значениям ф~» отвечают точки комплексной плоскости в вершинах правильного ««-угольника, вписанного в окружность радиуса фг с центром в начале координат. При этом радиус- вектор одной иэ вершин образует с осью Ох угол ~р/««. Иэ (4.13) и (4.14) следует формула для возведения комплексного числа»;60 в рациональную степень д Е Я. Если е= т/««, где «Г««= Е и ««Е Я, есть несократимая дробь, то Пример 4.10.
Пусть»1— = 1/2- «43/2, »э = 43+ «. Тогда, согласно (4.$), г1 — — 1 и гз = = 2. Анализируя действительные и мнимые части комплексных чисел»1 и»р (рис. 4.4), с учетом (4.7) получаем ф1=ыял~ =~сч(-\/3) = —— 3 1 «Г ~Рз = ахи»~ = ахсф~ — = —. ТЗ 6' Рис. 4.4 Поэтому в тригонометрической форме »1=сов — — +«з«п -- и»р=2 соз-+«в1п— 3 3 6 6 Согласно (4.11) и (4.12) найдем: з1зр =2(сов(--) +1в!п( — )) =~/3 — 1, — сов — — +«воп-- »р У «Г ., «Г~ — = 2 ~сов -+ «з1п -) = 2«.
2 2) 156 4. ОСНОВНЫЕ ЗАКОНЫ КОМПОЗИЦИИ Используя (4.13), возведем л1 в степень п = 4 4~г .. 4л 2~г, . 2~г 1 . ~/3 Л = С08 — — + 3 В1п — — = СО — + $81П вЂ” = — — + 3— 3 3 3 3 2 2 и, применив (4.14), извлечем иэ гр корень степени и = 3 -7г/6+ 2Ьг ., -~г/6+ 2Ьг ф,з~ —— у2 сов 3 +Ып 3 Результаты вычислений приведены на рис. 4.4. Трем значениям корня третьей степени из лр соответствуют вершины правильного треугольника АВС, вписанного в окружность радиуса ~2, причем полярные углы этих вершин уА = ~г/18, рВ =13к/18 и ус =25к/18 (или ус = -11~г/18) ° 4.4.
Кольцо многочленов Рассмотрим мноаочпен вида Р„(х) =аох" +а1х" '+...+а„1х+а„, иб И. Если коэффициенты ао, а1, ..., а„многочлена принадлежат множеству Е, причем ао ф. О, то Р„(х) носит название мноиочлена над иолем дейстпвитиельных чисел. Меняя значения коэффициентов или стеиени и, получаем различные многочлены, отличающиеся друг от друга или коэффициентами, или степенью, или тем и другим и образующие некоторое множество. Введем на множестве всевозможных многочленов обычные операции сложения и умножения алгебраических выражений с учетом действиЙ над степенями и приведения подобных членов.
Пусть, например, 157 4А. Кольцо иногочленов 'Когда р(х)+р( ) 3+ + 4 +1 4+ 3+1 рз(х)Р4(х) = (хз+ х)(х4 х+ 1) = х~+ ха — х4 — х2+ хз+ х. Введенные таким образом операции, очевидно, обладают свойствами ассоциативности и коммутативности и определяют алгебраическую структуру — яолъцо ммогочленов, которое в соответствии с табл.
4.1 является абелевым кольцом с единицей. Роль нейтрального элемента относительно операции сложения выполняет нуль, относительно умножения— единица, а 11ротивоволожным по отношению к операции сложения для любого элемента Р„(х) является элемент -Р„(х). Минимум понятий и положений, связанных с многочленами, известен иэ школьного курса математики. Рассмотрим свойства кольца многочленов несколько подробнее. Два многочлена равны, когда равны их коэффициенты при одинаковых степенях х. Пусть Р(х) и С(х);ŠΠ— многочлены. Если существует такой многочлен Я(х), что Р(х) = С(х)5(х), то говорят, что Р(х) делится на С(х), причем С(х) называют делитиелем мяоаочлена Р(х), а Я(х) — частным от деления ,г"(х) на б(х).
Теорема 4.3. Многочлен Р„(х) — Р„(с) делится на х — с. 1 Для доказательства необходимо показать, что существует такой многочлен ) Ь и-1+Ь п-2 что Р„(х) — Р„(с) = (х — с)Я(х). (4.16) Сравнивал коэффициенты при одинаковых степенях в левой и правой частях (4.16), имеем п+ 1 соотношений > ао=Ьв, а1=Ь1-Ьас, а2=Ь2-Ь1с, 158 4. ОСНОВНЫЕ ЗАКОНЫ КОМПОЗИЦИИ а„1 — — 6„1 — Ь„гс, а„— Р„(с) = — Ь„1с. Отсюда из первых и соотношений однозначно находим коэф. фициенты 6о=ао, 61 —- а1+аос, Ьг =аг+а1с+аос, г Ь -1=а -1+а -гс+...+агс" г+а1с" '+аос", что доказывает утверждение теоремы. > Верхняя строка этой таблицы и значение с заданы, а нижнюю, начиная с 61, последовательно заполняют по формуле 6;=а;+6; 1с, ~=1, и — 1.
Значение Р„(с) = а„+ 6„1с находят по той же формуле, определяющей схему (или аааоритвм) Горкера (по имени английского математика У, Горнера (1786-1837)). В этой схеме наряду с и+1 операциями сложения использовано лишь и операций умножения. Согласно теореме 4.3 для всякого многочлена Р„(х) существует и притом единственный многочлен Р„1(х), такой, что Р„(х) = (х — с)Р„1(х) + Р„(с). (4.17) В (4.17) Р„1(х) называют частным от деления Р„(х) на х — с, а Р„(с) — остатком. Справедливость (4.17) устанавли- вает теорема, доказанная французским математиком Э.
Безу (1730-1783). Из доказательства теоремы 4.3 следует, что формулы для коэффициентов частногоот деления многочлена Р„(х) на х-с однотипны. Результаты вычислений по ним удобно записывать в виде таблицы 159 4А. Кааьцо мкогочленов Теореме 4.4 (Безу). Остаток от деления многочлена р„(х) на х — с равен значению Р„(с) этого многочлена при х-с.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
