I Морозова В.Д. Введение в анализ (1081368), страница 20
Текст из файла (страница 20)
Итак, знакомое из школьного курса основное логарифмическое шождествво, по сути, является определением лога рифмической функции (3.17). Ее область определения .О(у) = = (х Е Е: х > 0~. Эта функция монотонно возрастает при а > 1 и монотонно убывает при О < а с 1; ее графюс в любом случае проходит через точку (1, О) координатной плоскости и симметричен графику функции а относительно прямой у = х (см, рис. 3.16). Поскольку 1о~,х = -1оц1~,х, графики функций 1ои,х и 1ои1~,х симметричны относительно оси Ох. Теперь общую степенную функцию (3.14) с любым действительным значением з Е Е определим равенством а х = (а~ а =а ~а'*, а 0(0, 1)11(1, +оо).
Область определения показательной и область значений логарифмической функций совпадают (это вся числовая прямая). Поэтому область определения их суоероозииии совпадает с областью определения логарифмической функции, т.е. при з Е Е ХЦх~) = (О, +со). Из тпригонометпрических функций рассмотрим синус з)пх, косинус созх, тпвнгенс ®~х = (з~пх)/созх и котивнгенс с®х = (созх)/з1пх. Характерной чертой этих функций является то, что они периодические, причем з1пх и созх имеют вериод 2я (рис.
3.17), а Фцх и с~~х — период (рис. 3.18). Областью определениядля з~пх и созх служит 3.5. Освоаиые злекеитарные фуикции 129 ®ся числовая прямал, причем совх =вш(х+л/2). Функция ф~х определена всюду на Й, кроме точек х = ~г/2+ Ьг, Й Е 3, так как в них совх = О, а функция сф~х — всюду на й, кроме точек х = Ьг, й Е Е, поскольку в этих точках вш х = О. При этом сфцх = М(х =Е т/2). Рис. 3.17 Рис. 3.18 К о6рашным тприаонометпричесним фуриям отнесем агсвш х, агссовх, агсф х и агссфх, называемые соотВетственно арнсинусом, арюеосинусом, арнчпанаенсом и арнношанеенсом.
Напомним, что функция у(х) является обратной по отношению к данной функции Дх), если из Р= у(х) следует х = Ду). Для функции а обратной является ~о ~, х. Но возможны случаи, когда данная функция имеет мхо- в-е44 130 3. ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ Агса1п х = Ьг+ (-1)" агс81п х, й Е Е. (3.18) Аналогично вводят функции, обратные к другим тригонометрическим функциям.
Например, агссозх — значение заключенного в [О, к) угла, косинус которого равен х, причем совокупность всех однозначных ветвей многозначной функции, обратной к совх, записывают в виде Агссовх = 2Ьг=Ьагссовх, Й Е Е. Запись у = агс~~х, по определению, означает, что аиду = = х при у Е (-~г/2, ~г/2).
Совокупность всех однозначных ветвей многозначной функции, обратной к ®~х, записывают в виде Агсфх = Ьг+агсСдх, Й Е Е. Наконец, запись у = агссфх означает, что сйцу=х при у б (О, л). Совокупность всех однозначных ветвей функции, обратной к с$~х, записывают в гозначнув обратную функцию.
Так, обратнал функции у = х~ имеет две однозначные ветви у =~Д и у = -~Д, поскольку из этих двух соотношений одинаково следует х = у~ (см. при мер 3.7). Для каждой из тригонометрических функций существует обратная, имею1цал бесконечное множество однозначных ветвей. На любом отрезке [-~г/2+Ьг, т/2+Ьг], й Е Е, функция в1пх строго монотонна, а значит, иньективна. Поэтому для каждого из таких отрезков существует обратнал з1пх функция.
Иначе говоря, для а1пх существует многозначнал обратная функция, имеющал бесконечное множество однозначных ветвей. Ее обозначают Агсв1п х . Иэ этого множества однозначных ветвей выделяют одну, соответствующую отрезку [-~г/2, лг/2), которую называют главным значением арксинуса х и обозначают агса1пх. Ясно, что областью определения функции агсв1пх является область значений з1пх, т.е. отрезок [-1, 1], а областью значений — укаэанный выше отрезок [-т/2, т/2).
Итак, агсв1п х — это заключенный в промежутке [-к/2, т/2) угол (в радианах), синус которого равен х. Тогда совокупность всех однозначных ветвей многозначной функции, обратной к в1пх, можно записать в виде 131 3.6. Неиоторые элементарные фуюпа~ни вине Агссйдх = Ьг+агсс®х, й б Е. На рис. 3.19-3.22 при- едены графики тригонометрических функций на выделенных „ромежутках и соответствующие им графики главных значе- ний обратных тригонометрических функций. Рис.
3.19 Рис. 3.20 Рис. 3.21 Рис. 3.22 3.6. Некоторые элементарные функции К элементпарным относлт функции, которые можно получить при помощи конечного числа алгебраических операций над основными элементпарными функииями и их суперпозичией $1 132 3. ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ В частности, такие операции над стиепеимо6 функцией, пока затиеяем стиепени которой является натиуральное чишо, дают рационаяънро функцию. Рациональной функцией является мнозочяен вида у= Р„(х) =аох" +а1х" '+...+а„1х+а„„ (3.19) где и Е М вЂ” стпепень мноаочлена и ар, а1, ..., а„1, а,1 ŠŠ— его ноэЯ3тифиентиы, причем ао ,-6 О.
Областиь определения многочлена (3.19), иногда наэавнемого поманомом,— вся числовая прямая. Значение многочлена можно найти при помощи только арифметических операций (сложения, вычитания, умножения и возведения в целую положительную степень). Именно поэтому для изучения более сложных функций часто используют их представление (хотя бы приближенное) в виде многочлена.
Многочлен первой степени Р1 (х) = аох+ а1, ао ф. О, Рг(х) = аох'+ а1х+ а~, ао ~ О часто называют нвадратпным тпрехчяеном и обычно запи- сывают в виде у = ах~+ Ьх+с. Тождественными преобраэовз пнями получим Ь Ь2 Ь2 у=а х +2 — + — — — +с=а(х — хо) +уо, 2а 4а~ 4а где хо — — -Ь/(2а) и уо = с — Ь2/(4а). График квадратного (иначе, бамом) является хорошо известной иэ школьного курса линейной фуннт~аей, которую иногда записывают в виде у = ' = йх+ Ь. Ее графиком будет прямая (см.
рис. 3.1). Многочлен второй степени 3.6. Некоторые аееыентарные функции Рис. 3.23 ,рехчлена длм случам а >О, хо >О и „~ < 0 представлен на рис. 3.23. Этот рафик можно получить сдвигом падбоды у = ах~ (см. рис. 3.1) вдоль си Ох на хо вправо, если хо >О, и влево, если хо < О, вдоль оси Оу на уо вверхпри ро>0 ивниэпри росО. К рациональным принадлежит и дробно-раииональнал функцим Р~(х) аох~+а1х~ +...+а~ 1х+а~ Я„(х) Ьох" + Ь1х"-'+... + Ь„1х+ Ь„ 133 (3.20) где Р, (х) и Я (х) — многочлены степени т и п соответственно. В частном случае, когда Р (х), как говормт, делитсм без остатка на Я„(х), рациональнам функции сама будет многочленом. Палому часто многочлен вида (3.19) называют иелой рациональной ~рмнцией.
Рациональную функцию, не приводимую к многочлену, называют обычно р~щиомальной дробью, причем при т>я рациональнуюдробьименуют неправильной, а при т < п — правильной. Значение дробно-рациональной функции (подобно значению многочлена) нетрудно вычислить, но это возможно лишь длм тех значений аргумента х Е В, которые не мвлмютсм коркями уравнения Я„(х) = О. Таким образом, областью определеним дробно-рациональной функции (3.20) будет множество Е всех действительных чисел эа исключением множества иудей многочлена Я (х) ° Широко используемым частным случаем (3.20) мвлметсм дробно-линейнал фрмнцил х+Ь сх+ а' Тождественными преобразованимми получим а(х+ а/с) + Ь- аа/с а Ьс- аа Ь У— с(х + И/с) с с~(х + Н/с) л — хо — — + = Ро+ 3.
ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ 134 Вопросы и задачи 3.1. Найти области определения функций, заданных формулами: а) ~(х) =41-хз; б ~ х) =1оизв1пх; В) ~(х) = ~/х — 1+ 4 — х; г) ~(х) =10$210$яху д) У(х) = ~/Т-~х; е) у(х) =)о3е(х+3); ж) ~(х) =1оц4(1 — 2совх); з) Дх) =агссов(1 — 2х). Построить графики этих функций. Ограничены ли эти функции в своей области определения? Явлиютси ли они монотонными? Здесь Ь = (Ьс- ай)/д, хо — - -фс н ! ! уо — — а/с.
Следовательно, графиком дробно-линейной функции будет гипербола р = Й~х (см. рис. 3.1), сдвххутеп вдоль осх Ох па хе ухе х вправо, если хо > О, и влево, если хо ( О, вдоль оси Оу — на уо вверх при уо > О и вниз при уо с О. На рис. 3.24 график представлен для случая й > О, хо > О и уо > О. Итак, рациональные элементарные функции — это результат арифметических действий со степенноЙ функцией (3.14) при в = п Е Я.
Если же использовать степенную функцию вида (3.15), то получим иррациональную фунна~ию. Рациональные и иррациональные функции образуют класс ааге6раичесяиа фурий. Элементарные функции, в которые входит хотя бы одна из тпрансцендентпных функций (степенная вида (3.15) с иррациональным значением з, показатпельная, логарифмическая, тпригонометприческая или обратпная тригонометрическая), относят к классу трансцендентных. Функции Дирихле (3.1), знака випх (3.3), Хевисайда (3.4), абсолютного значения ~х~ и целой части числа [х1 (см. Зе2) не являются элементарными. Ващюсы и эвдачи 135 3.2.
Показать, что для функции Дирихле (3.1) <р(х+ш/и) =у(х) Чх б И, Чт Е Е, Чи 6 Х. 3.3. Для а,ЬЕ И при а(0 построить графики функций ,1(х — а) и г~(х — а)+т~(х — 0), где ц(х) — единичная функция Хевисайда (3.4). Являются ли они монотонными? 3.4. Записать с помощью единичной функции Хевисайда (3.4) следующие функции (при условии а ( 0 < Ы): ~ О, хЕИ~[а,Ц, ~ а, хб[а,Ь~; О, х 6 И~[а, ф а, х Е [а, Ь), 0, хе[0,4. З.б. Выяснить, в каком из следующих случаев композиция до~=У(Дх)) заданных функций У(х) и у(х) имеет область определения, не являющуюся пустым множеством: а) Дх) =1цх Чхб (О, 1), у(х) =1дх Чх Е(О, +ос); б) Дх) =х Ух ЕИ, д(х) =соах Ух ЕИ", в) Дх) =®х Ух б (-~г/2, ~г/2), У(х) =2 Чх ЕИ.
3.8. Составить композиции ~о~=~(~(х)), ~од(х) = ~(у(х)), У' ~ = у(~(х)) и д од = д(д(х)) и указать их области определе- ния, если: а) Дх) = 2* Чх б И, д(х) = 1он, х Чх ~ (О, +оо); б) Лх) =2 ~х~=Иэ У(х) =х ~Ь Е И. З.Т. Построить графики композиций ~од=~~д(х)) и др ~— =у®х)) функций У(х) = х и у(х) = [х) (целая часть числа). Будут ли сложные функции ограниченными, монотонными? 3.8. Установить, какие из перечисленных ниже функций имеют обратные, найти соответствующие обратные функции и их области определения, построить графики: а) Дх) =ах+0; б) ~(х) =(х — 1)з; в) ~(х) =1п2х; г) Дх) = 2'(~; д) ~(х) = соя 2х; е) Дх) =(1 — х)/(1+х); ж) Дх) =х~+1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
