I Морозова В.Д. Введение в анализ (1081368), страница 18
Текст из файла (страница 18)
3.3). Тогда искомая величина будет ордииатой точек крепления каната на опорах, т.е, а ордината и — Ь и абсциссы ~6/2 точек А и В должны тождественно удовлетворять уравнению параболы и — 6=а Исключив из двух последних равенств коэффициент а, найдем (~п- Ь)/а = (Ь/Е)2, или 3. ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ 110 а затем а = 4Ь/(Р— ог). В итоге получим уравнение 4~ г у= х, Р-Ьг описывающее форму каната.
4~ Иногда рассматриваемая функция может быть задана несколькими формулами, действующими на различных участках области ее оиределения, в которой изменяется аргумент функции. Например, хг — 1, если х <2, х+1, если х >2. (3.2) График этой функции изображен на рис. 3.4. Каждому значению х Е И отвечает одно единственное вполне определенное значение у б В. Поэтому (3.2) задает, согласно определению 3.1, функцию. Не следует думать, что если в (3.2) две формулы, то и речь идет о двух функциях.
Ведь к каждому значению х имеет отношение только одна из двух формул. Функции вида (3.2) иногда называют соствавиыма. К таким функциям относят, например, 1) у = ~х~ — абсолютпное значение числа х (рис. 3.5), Рис. 3.4 Рис. 3.5 3.3. Осиоииые способы задании фуииции 2) фцмкцию знака — „сигнум х" (рис. 3.6,а) -1 при х< 0, 0 при х=О, 1 при х>0, (3.3) У =ВИПХ = 3) единичную футечию Хевисайда (рис.
3.6,б) ц(х) = 0 при х<0, 1 при х>0. (3.4) Рис. 3.6 На рис. 3.6 точками отмечены значения функций при х = = О, а стрелка на конце линии указывает на то, что конечная точка не принадлежит линии. Составные функции нередко встречаются в технике. ю = ай, Ф б ~О, Т~, (3 5) Пример 3.3. Ракета, запущенная с Земли в вертикальном направлении, движется с постоянным ускорением 2у в течение времени Т работыее двигателя. Пренебрегая сопротивлением Вхздуха и изменением с высотой ускорения у земного тяготения, определим зависимость скорости о ракеты от времени $ ее полета. Время 1 полета ракеты будем отсчитывать от момента старта, когда ее скорость была равна нулю. Тогда во время Работы двигателя скорость ракеты 3.
ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ 112 е = 2дТ вЂ” д(8 — Т) = д(ЗТ вЂ” 1), (3.6) а высота (~ — Т)~ Ь=Ь + У-Т)-д 2 Установим, до какого момента времени справедлива формула (3.6). Наибольшей высоты Ь' ракета достигнет в момент времени 1', когда будет равна нулю ее скорость, т.е. с учетом (3.6) 1'=ЗТ, а Ь' = Ьт+иТ(С вЂ” Т) — д =ЗдТ . (8'- Т)2 2 2 При свободном падении с высоты Ь' ракета достигнет Земли к моменту времени 1. = 1'+-42Ь'= (3+46)Т 1 д со скоростью ю.
= -~~7дР = -4бдТ (знак „минус" означает, что направление скорости противоположно принятому в (3.5) и (3.6) за положительное). В итоге после объединения (3.5) и (3.6) и формул для высоты Ь получим о(й) = 2д1 при 1Е [О, Т~, д(ЗТ вЂ” 1) при $ б (Т, $.) д~2 при ~~ [О, Т1, д(6Т~ — Р— ЗТз)/2 при 1 Е (Т, 1,]. Значение о в момент времени ~, зависит от условий взаимодействия ракеты с поверхностью Земли, и поэтому в (3.7) а высотаее подъема Ь=д~Р. В момент времени Т выключения двигателя скорость и высота ракеты соответственно равны оу = 2дТ и Ьт = дТ~.
После выключения двигателя ракета движется с ускорением -д, ее скорость 113 3.2. Осыовные способы задания фупкции функция и(1) определеналишь при 8 Е ~0, ~,). На рис. 3.7 при- 3 ведены графики зависимостей ~ — п~(дТ) и ~ = Ь/(дТ~) от 2 7 =ОТ. У ! Л(х) прн х < а, Д= ~'2(х) при х >а является множество Х = (Х1 П ( — оо, а)) О (Х2 й (а, +оо)), где Х1 и Х2 — области определения функций ~~(х) и Ях) соответственно.
Отметим, что явный аналитический способ задания функции достаточно компактен (формула, как правило, занимает немного места), легко воспроизводим (формулу нетрудно записать) и наиболее приспособлен к выполнению над функциями математических действий и преобразований. Некот~ Рые из зтнх действий — алгебраические (сложение, умножение и др.) — хорошо известны из школьного курса математики, я-ви Если функция задана явным О аналитическим способом с помощью формулы, но область определения функции в виде множества Х не указана, то под Х будем всегда подра- Рис. З.Т зумевать множество значений аргумента х, при которых данная формула имеет смысл.
На пример, для функции у = хз областью определения служит множество Х = Е = (-оо, +со), поскольку аргумент х может принимать любые значения на числовой ирямой. Для функции у = ~4 — х~ областью определения будет множество значений х, удовлетворяющих неравенству 4 — х~ > О, т.е. Х = [2, 2). Ясно, что областью определения функции з. дяйствительнык функции 114 другие (дифференцирование, интегрирование) будем изучать в дальнейшем.
Однако этот способ не всегда нагляден, так как не всегда четок характер зависимости функции от аргумента, а для нахождения значений функции (если они необходимы) требуются иногда громоздкие вычисления. Функция у = Дх) задана келвкым акалитичесяим сиособом, если дано соотношение Р(х,у) =О, (3.8) х +у~=1, связывающее значения функции у и аргумента х. Если задавать значения аргумента, то для нахождения значения у, соответствующего конкретному значению х, необходимо решить уравнение (3.8)относительно у при этом конкретном значении х.
При заданном значении х (3.8) может не иметь решения или иметь более одного решения. В первом случае заданное значение х не принадлежит области определения неявно заданной функции, а во втором случае (3.8) задает мкогозкачкую фукяа~ию, имеющую при данном значении аргумента более одного значения. Рассмотрение многозначных функций неудобно, и его стараются избежать, разбивая такую функцию на несколько однозначных, которые часто называют одкозкачкыми ветпвлми многозначной функции.
Здесь не будем рассматривать условия, при которых (3.8) задает однозначную функцию, поскольку этот вопрос является далеко не простым. Отметим, что если (3.8) удается явно разрешить относительно у = Дх), то получаем ту же функцию, но уже заданную явным аналитическим способом. Так, уравнение х — уз+ 1 = О и равенство у = (х+ 1)'~э определяют одну и ту же функцию, график которой изображен на рис. 3.8.
Если же, разрешая явно (3.8) относительно у, получаем несколько выражений, то приходим к нескольким однозначным явно заданным функциям. Например, из уравнения 3.2. Основные способы э~данна функции 115 ,оторое, как известно, задает в плоскости хбу окружность ~иничного радиуса с центром в начале координат (рис. 3.9), получаем два выражении у = жч 1 — ххзз, которые соответствуыт двум однозначным евно заданным функцвлм у = ~/1 — хз (веркине полуокружиость) и р = -~/1 Зх (нижвлл полу- окружность). Рис. 3.6 Рис.
Зе9 Когда зависимость у от х не задана непосредственно, а вместо этого даны зависимости обоих переменных х и у от некоторого третьего вспомогательного переменного 1 в виде (3.10) то это — парамешрачесмай способ заданам фуаяцаа; тогда вспомогательное переменное $ называют параметром.
Если из (3.10) удастся исключить параметр 1, то придем к функции, заданной явной или неявной аналитической зависимостью у от х. Например, из соотношений х =41+6, у = 21+4, ~ей, (3.11) исключением параметра 1 получим зависимость у = з/2+1, которая задает в плоскости хОУ прямую (см. рис. 3.1). Таким образом, (3.11) можно рассматривать как параметрическое в. 116 3. ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ задание прямой. Исключая 1 из соотношений ю =сов8, у =з1п$, $ Е ~0, 2~Г), (3.12) придем к уже знакомому уравнению (3.9), т.е. (3.12) является параметрической формой задания окружности, причем на рис. 3.9 параметр соответствует углу 8 (в радианах).
Приведенные выше примеры показывают, что аналитическому способу задания функции соответствует ее графическое изображение, которое можно рассматривать как удобную и наглядную форму описания функции. Иногда используют графичесяий способ задания функции, когда зависимость у от х задают линией на плоскости хОу. Однако при всей наглядности он проигрывает в точности, поскольку значения аргумента и соответствующие им значения функции можно получить из графика лишь приближенно, Возникающая при этом погрешность зависит от масштаба и точности измерения абсциссы и ординаты отдельных точек графика.
В дальнейшем графику функции отведем роль только иллюстрации поведения функции и поэтому будем ограничиваться построением „эскизов" графиков, отражающих основные особенности функций. Отметим табличный саособ задания функции, когда некоторые значения аргумента и соответствующие им значения функции в определенном порядке размещаются в таблице. Так построены известные таблицы пьригоиомепьрических фуксий, таблицы логарифмов и т.п. В виде таблицы обычно представляют зависимость между величинами, измеряемыми при экспериментальных исследованиях, наблюдениях, испытаниях. Недостаток этого способа состоит в невозможности непосредственного определения значений функции для значений аргумента, не входящих в таблицу. Если есть уверенность, что не представленные в таблице значения аргумента принадлежат области определения рассматриваемой функции, то соответствующие им значения функции могут быть вычислены приближенно при помощи интерполяции и экстраполяции. 117 3.3.
Сломснав.и взаимно обратные функции Функцию можно задать амгоритпмичесяим (или программным) способом, который широко используют при вычислениях на ЭВМ. Наконец, можно отметить описатвемьный (или словесный) способ задания функции, когда правило соответствия значений функции значе виям аргумента выражено словами. Например, функцию ~х) = тп Чх Е (тп, тп+ 1), т Е Е, называемую целой частиью х (или „витье от х"), описывают обычно словами: „Наибольшее целое число, не превосходящее х". График этой функции показан на рис. 3.10.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
