I Морозова В.Д. Введение в анализ (1081368), страница 13
Текст из файла (страница 13)
Отметим, что композиция Рис. 2.6 отображений ассоциативна, т.е. З.б. Проызведеыые кыожеств. 73шфик отображеыиа 77 2.5. Произведение множеств. Г)рафих отображения Напомним, что две взаимно перпендикулярные коордикаткые оси с масштабом, одинаковым для обеих осей, задают на плоскости прамоуаолънуто деяартпоеу сис- у У тему яоординатп (рис.
2.7). Точку О пересечения координатных осей называют началом яоординатп. е Каждой точке М можно по- 'М Х ставить в соответствие пару (х, у) о действителькых чисел х,у Е Е, где х — коордиката точки М на ко- Рис. 2.7 если ~: Х -+ У, д: У -» 2 и й: .3'-» Н, то тогда (й о д) о ~ = — й о (д о ~), что проще записывают в виде й о д о ~. Проверим зто следующим образом: ЦЬ од) од)(х) = (Ьод)(Дх)) =Ь(д(Дх))), ~Ьо (до ~))~х) = ЬИдо ~Их)) = Ь(уЩх))).
На любом мкожестве Х определено отображение 1у: Х -+ Х, называемое тпождестпвенным, обозначаемое часто также Ых и задаваемое формулой 1х(х) = х ))Ь Е Х. Его -действие состоит в том, что оно оставллет все на своих местах. Так, если ~ 1 лвлиетсл биеюцией, обратной к биекции 1: Х-»У,то 1 'о,~=1х, а 1о1 1=1у, где 1'х и 1у — тождественные отображении множеств Х и У соответственно. Обратно, если отображении 1: Х-+У и д: У-+Х таковы, что до~= 1х и ~од= 1у, то функции ~ лвлиетси биекцией, а д — ее обратной биекцией. Очевидно, что если ~ — биекция Х на У, а д — биекцил У на 2, то до1 лвляетси биекцией Х на Я, а 1 1од 1 будет по отношению к ней обратной биекцией.
78 3. ОТОБРАЖЕНИЕ МНОЖЕСТВ. ФУНКЦИИ ординатной оси Ох, а у — координата точки М» на координатной оси Оу. Точки М и М» являются основаниями перпендикуляров, опущенных из точки М соответственно на оси Ох и Оу. Числа х и у называют яоординатпами тпочни М (в выбранной системе координат), причем х называют абсциссоб тпочяи М, а у — ординатпой этой тпочяи. Очевидно, что каждой паре (а, Ь) действительных чисел а,Ь Е Е соответствует на плоскости точка М, имеющая эти числа своими координатами. И обратно, каждой точке М плоскости соответствует пара (а, Ь) действительных чисел а и Ь.
В общем случае пары (а, Ь) и (Ь, а) определяют разные точки, т.е. существенно, какое из двух чисел а и Ь стоит в обозначении пары на первом месте. Таким образом, речь идет об упорядоченной паре. В связи с этим пары (а, Ь) и (Ь, а) считают равными между собой, и они определяют одну и ту же точку на плоскости, если только а = Ь. Множество всех пар действительных чисел, а также множество точек плоскости обозначают Из.
Это обозначение связано с важным в теории множеств понятием прямого (или деяартпова) произведения множестпв (часто говорят просто о произведении множеств). Определение 2.2. Произведением мноаеестпв А и В называют множество А х В возможных упорядоченных пар (х, у), где первый элемент взят из А, а второй — из В, так что Ах В=((х, у): х ЕА, уЕВ~. Равенство двух пар (х, у) и (х', у') определяют условиями х=х' и у=у'.
Пары (х, у) и (у, х) считают различными, если х у'- у. Это особенно важно иметь в виду, когда множества А и В совпадают. Поэтому вобщем случае Ах В ф-Вх А, т.е. произведение произвольных множеств не коммутативно, но оно дистрибутив но по отношению к обьединению, пе~есечению и разности множеств: А х (В П С) = (А х В) П (А х С), 2.$. Произведенае миоместв. Цжфик отобрахеыиа .де П обозначает одну иэ трех названных операций. Произведение множеств существенно отличается от укаэанных операций над двумя множествами. Результатом выполнения этих операций является множество, элементы которого (если оно не пустое) принадлежат одному или обоим исходным множествам. Элементы же произведения множеств принадлежат новому множеству и представляют собой объекты иного рода по сравнению с элементами исходных множеств.
Аналогично определению 2.2 можно ввести понятие произведения более чем двух множеств. Множества (А х В) х С и А-х (В х С) отождествляют и обозначают просто А х В х С, так что А х В х С = ((ж, у, л): ж Е А, у Е В, ~ Е С) . Произведения А х А, А х Ах А и т.д.
обозначают, как правило, через А~, Аз и т.д. Очевидно, плоскость Е~ можно рассматривать как произведение К х К двух экземпляров множества действительных чисел (отсюда и происходит обозначение множества точек плоскости как произведения двух множеств точек числовой прямой). Множеству точек геометрического (трехмерного) пространства соответствует произведение Е х Е х К трех экземпляров множества точек числовой прямой, обозначаемое Кз. Произведение и множеств действительных чисел обозначают К". Это множество представляет собой всевозможные наборы (м1, хр, ..., х„) из и действительных чисел х1, х~, ..., х„Е К, а любая точка ж' иэ К" есть такой набор (х1, х~, ..., х„') действительных чисел я1, х~, ..., х'„ЕК. Произведение и произвольных множеств есть множество упорядоченных наборов из и (в общем случае разнородных) элементов. Для таких наборов употребляют названия кортвеж или тв-ва (произносят „энка").
Пример 2.3. Пусть А=(1, 2) и В=(1, 2). Тогда А х В = В х А = ((1, 1), (1, 2), (2, 1), (2, 2)), 80 3. ОТОБРАЖЕНИЕ МНОЖЕСТВ. ФУНКЦИИ и множество АхВ можноотождествитьс четырьмя точками плоскости Й~, координаты которых указаны при перечислении элементов этого множества. Если С = (1, 2) и О = (3, 4), то С х О = ((1, 3), (1, 4), (2, 3), (2, 4)), В х С = ((3, 1), (3, 2), (4, 1), (4, 2)). Пример 2.4. Пусть Е=(х: 1(х(2) и Р=(х: 3(х(4).
Тогда Е х Р = ((х, у): 1 ( х» 2, 3 ( у ( 4) С й~, Р х Е = ((х, у): 3 «» х «( 4, 1 «» у «( 2) С И~. Геометрическая интерпретация множеств Е х Р и Р х Е представлена на рис. 2.8. ф Для отображения ~: Х -~ У можно составить множество Г = ((х1 у): х Е Х, у Е У, у = Дх)) С Х х У упорядоченных пар (х, у), которое является водмножеством прямого произведения Х х У.
Такое множество Г называют графиком отпобрааеенил ~ (или ерафиком функции П)) ° Пример 2.5. В случае Х С И и У=В каждаяупорядоченная пара задает координаты точки на плоскости Жз. Если при этом Х является иромежутпком числовой прямой И, то график функции может представлять некоторую линию (рис. 2.9). 81 2.6. Произведеыие миохеств. Г~~ефик отобрахении О 1 2 3 4 Рис. 2.8 Рис. 2.Е Пример 2.В. Ясно, что при Х СЕ~ и У=К график функции есть некоторое множество точек в Ез, которое может представлять некоторую поверхность (рис. 2.10). Если же Х СЕ, а У =Е~, то график функции также есть множество точек в Ез, которое может представлять некоторую линию, пересекаемую плоскостью х=соп8$ лишь водной точке М с тремя координатами х, у1, уг (рис.
2.1Ц. 4 Все упомянутые примеры графиков функции являются важнейшими объектами математического анализа, и в дальнейшем они будут подробно рассмотрены. х2 У1 Рис. 2.11 Рис. 2.10 2. ОТОБРАЖЕНИЕ МНОЖЕСТВ. ФУНКЦИИ 2.6. Упорядоченные множества. Элементы комбинаторики Определение 2.3. На множестпве Е введено оптошение пор*дка, если для некоторых пар х, у злементпов этого множества указано, какой из элементов за каким следует. Запись х )- у означает, что х следует эа у. Отношение порядка обладает свойствами: 1) х>-х; 2)если х>-у и у~ г,то х>-х; 3) если х >- у и у, 'х, то х=у.
Множество, на котором введено отношение порядка, называют частвичмо уяормдочеямым. Если для любых двух элементов х, у множества Е имеет место либо х >- у, либо у >- х, либо х = у, то зто множество называют упорядоченным. Иногда говорят: множество упорядочено (частично упорядочено) данным отношением порядка. Пример 2.7. а. В множестпве Е дейстпвитпельных чисел полагаем х , 'у, если х ) у. Указанное отношение является отношением порядка, и в силу свойства упорядоченности действительных чисел его называют ествествеккым. В дальнейшем, говоря об упорядоченности любого подмножестпва Е С Е, будем иметь в виду естественное отношение порядка.
Так, множество значений температуры на шкале термометра упорядочено естественным отношением порядка. б. В множестве Р(Е) всех подмножеств множества Е существует естественное отношение порядка Х ', У, если Х Э У. Множество Р(Е) будет частично упорядоченным.. в. Рассмотрим множество Е дейстпвитпельных функций, определенных на некотором множестве Е. Примем, что для ~,д Е .г' ~ >- д, если справедливо неравенство Дх) > у(х) Чх Е Е. Множество Р будет, по крайней мере, частично упорядоченным. 2.6.
Упопидочениые аакикествв. Эжкеиты нокбииаторики 83 г. Простейший пример упорядоченного множества— иарядочеиная пара (а, 6). По аналогии с ней можно говорить об УпоРЯдоченной тРойке (а, 6, с), УпоРЯдоченной и-ке (см. л.б). и- Конечные упорядоченные множества обычно задают перечислением элементов, располагая их в соответствии с введенным отношением порядка и заключая в круглые скобки. Например, запись А= (1, 2, 3), В= (3,2, 1) показывает, что А и  — различные упорядоченные множества, хотя они и содержат одни и те же элементы; в А отношение порядка х ~- р введено по условию х > р, а в  — по условию х < р. Из А и В можно образовать по три упорядоченных подмножества: (1, 2), (2, 3), (1, 3) и (3, 2), (2, 1), (3, 1). Нахождение количества различных упорядоченных подмножеств, которые можно образовать выборкой по определенным правилам элементов из некоторого множества, составляет одну из задач момбимато- рюш.
Пусть задано множество из и элементов. Каждое его упорядоченное подмножество, содержащее Й элементов, называют размещемием из и элементов по Й элементов. Число всех таких размещений обозначают А')' по первой букве французского (и английского) слова аггапиетепй, означающего размещение, приведение в порядок. Первый элемент размещения можно выбрать из и элементов заданного множества и способами. Поскольку элементы размещения не должны повторяться, для выбора второго элемента можно использовать лишь и — 1 способов и так далее вплоть до Й-го элемента размещения, который можно выбрать и — 1+1 способами. В итоге, используя символ произведения П, получаем А~ = п(в — 1)" (и-Й+1) = П(п-ш+1), Й ~ и.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
