I Морозова В.Д. Введение в анализ (1081368), страница 8
Текст из файла (страница 8)
Можно затем рассматривать Р(Р(Е)) н т.д. Пример 1.1. Если Е=(а, Ь, с), то Р(Е) = (И, (а), (Ь~, (с~, (а,Ь~, (а,с), (Ь,с), (а,Ь,сЦ. В общем случае, если множество Е содержит п элементов, то множествоего подмножеств Р(Е) содержит 2" элементов. Всякое непустое подмножество А данного множества Е называют собстввеккым иодмкожестпвом Е, нлн правнльной частью Е.
В этом случае запнсывают А С Е н говорят, что А включено в Е, нлн Е З А и говорят, что Е включа ет А (снмволы С н Э являются символами в~мюсеким; символы С н Э также являются символами включения, допускающимн совпадение множества н его подмножества). Ясно, что еслн одновременно А СЕ н А ЭЕ (нли АСЕ н А:) Е), то А = Е, а если А С В н В С Е (нлн А С В н В С Е), то согласно свойству изракзитивкостаи символа включення имеем 44 1. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ МНОЖЕСТВ А СЕ (или АС Е). Запись Аф Е (или Еф А) означает, что А не является подмножеством множества Е.
Для задания подмножеств данного множества Е могут служить свойства, присущие некоторым элементам множества Е. Свойство, отличное от всех свойств элементов Е, порождает пустые подмножества множества Е. Напротив, наибольшее подмножество, т.е. само множество Е, может быть задано любым свойством, присущим всем элементам основного множества. Например, свойство четности натурального числа порождает собственное подмножество В четных чисел в множестве Х натурааьных чисаа В С Я. Отметим, что очень важно не путать символы С и Е, поскольку соответствующие им понятия имеют много общего. Например, множеству Е = (а, (Ь,с~, Ы~ в качестве элемента принадлежит множество (Ь, с~, и поэтому наряду с записью а,Ыб Е в данном случае правомерна запись (Ь, с'~б Е. Но Ь и с, являясь каждый в отдельности элементами множества (Ь, с'~, т.е.
Ь,сб (Ь, с'~, не являются элементами Е (Ь,сф Е). В качестве одноэлементных подмножеств множества Е вместе с (а) и ® можно рассматривать и множество-(Ь, с~, записав наряду с (а) С Е и (4 С Е также и ЦЬ, сЦ СЕ. Однако, казалось бы, более простая запись (Ь, с~ С Е в данном случае будет неверна, так как из нее следует неверный вывод о том, что Ь и с являются элементами Е. 1.3. Множество действительных чисел.
Числовая прямая Действительные (вещественные) числа хорошо известны из школьного курса математики. Кратко остановимся на их свойствах, достаточно легко воспринимаемых каждым из нас. Дейстпвитеяьные чис,аа образуют множество элементов, обладающих следующими свойствами. 1. Свойство упорядоченности.
Для любых двух чисел а и Ь определено соотношение порядка, т.е. два любых действи- 1.3. Мнаиество действите»ыиах чисе». Чис»овал ир»ма» 45 тельных числа а и 6 удовлетворяют одному из следующих соотношений: а<Ь, а=Ь или а) Ь; при этом если а<Ь и Ь < с, то а < с (тпранзитпивностпь упорядоченности). 2. Свойства операции сложения. Для любой пары чисел а и Ь определено такое единственное число, называемое их суммой и обозначаемое а+ 0, что выполняются следующие свойства: 1" а+ 0 = Ь+ а ( коммцюиатиивностиь); 2' а+(Ь+с) = (а+Ь)+с для любых чисел а, Ь и с (ассоииативноствь); 3' существует такое число, называемое нулем и обознача емое О, что а+О= а для любого числа а; 4' для любого числа а существует такое число, называ емое иротивоположным а и обозначаемое — а, что а+ +(-а) =О; 5' если а < 6, то а+ с < 6+ с для любого числа с.
Нуль единствен, и для каждого числа единственно противоположное ему число. Для любой пары чисел а и 6 число а+( — 6) называют разносжьто чисел а и 0 и обозначают а-Ь. 3. Свойства операции умножения. Для любой пары чисел а и 6 определено такое единственное число, называемое их ироиэведением и обозначаемое а0 (или а 6), что: 1' аЬ = Ьа (коммутативность); 2' а(Ьс)=(аЬ)с для любых чисел а, Ь и с (ассоциативность); 3' существует такое число, называемое единит~ей и обозначаемое 1, что а 1=а для любого числа а; 4' для любого числа а, не равного нулю, существует такое число, называемое обратпным к данному и обозначаемое 1/а, что а (1/а)=1; 5' если либо а, либо 6, либо и а и Ь равны нулю, то аЬ вЂ” О' ) 6' если а<0 и с>О, то ас<6с.
Единица единственна, и для каждого ненулевого числа существует единственное обратное к нему. Для любой пары чисел а и 0 (ЬфО) число 1. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ МНОЖЕСТВ Рис. 1.1 а ° (1/Ь) называют частпмым от деления а на Ь и обозна чают а/Ь.
Число 1+1 обозначают 2, число 2+1 обозначают 3 и т.д. Эти числа 1, 2, 3, ... называют натпуральмыми числами. Числа, большие нуля, называют поможитпемьными, а числа, меньшие нуля — отприцатпельными. Числа О,:Ы, 3=2, называют целыми числами (вместо +а пишут а). Числа вида т/м, где т — целое, а п — натуральное, называют рациоюимьмыми числами. Они включают в себя все целые числа. Действительные числа, не являющиеся рациональными, называют иррациональными. 4. Свойство дистпри6ф~пивностпи умножения относительно сложения: для любой тройки чисел а, Ь и с (а+Ь)с= = ас+ Ьс.
5. Архимедово свойство: каково бы ни было число а, существует такое целое число а, что а > а. Прежде чем сформулировать последующее свойство действительных чисел, напомним, что на прямой задана систпема отпсчетпа, если на этой прямой фиксированы две различные точки (точки О и е на рис. 1.1). Левую из них (точку 0) называют началом отсчета, а длина отрезка Ое задает единицу масштаба.
Прямую с заданной системой отсче- О е та называют моордиматпмой осью. Ее обычно обозначают Ох. Точка 0 делит координатную ось на две части: положительную полуось, где лежит точка е, и отрицательную полуось. Коордиматпой тпочяи М на оси Ох называют длину отрезка ОМ, взятую со знаком +, если точка М лежит на положительной полуоси, и со знаком —, если точка М лежит на отрицательной полуоси. Очевидно, что каждой точке М на оси Ох соответствует действительное число ж, а именно, ее координата.
И обратно, 1.3. Множество действительных чисел. Чнсловав арлмаа 47 каждому действительному числу на оси Ох соответствует точка, для которой это действительное число является ее координатой. Всякий раэ, когда это потребуется, будем считать, что между действительными числами и точками некоторой прямой установлено такого рода соответствие. Таким образом, совокупность всех действительных чисел можно рассматривать как рис.новую прямую. Иногда вместо числовой прямой используют также термин „вещественная прямая". Отождествление действительных чисел с точками на числовой прямоЙ будет в дальнейшем чрезвычайно полезным, так как служит вспомогательным средством для понимания и мотивировки введения новых понятий.
Подмножество Х множества действительных чисел называют промеюрпном, если вместе с любыми двумя числами х1, х~ этоподмножествосодержитлюбое х, заключенное между ними. Используют промежутки следующих видов: (а, Ь) = (х: а < х < Ц вЂ” ошнрыпзыб промеасуюиом, или юпперва,я; [а, Ь] = (х: а < х < Ь) — замннртпый промежуток, или отпрезон (иногда используют термин „сегмент"); (а, Ь] = (х: а < х < Ь~ и [а, Ь) = (х: а < х < Ь) — подуинтерв азы. Если [а1, Ь1] З [а2, Ь2], то отрезок [аз, Ьз] называют вЯО- асенным в отрезок [а1, Ь1].
А теперь для множества действительных чисел сформулируем следующее свойство. 6. Свойство непрерывности. Для всякой системы вложенных отрезков [а1, Ь1] Э [аз, Ь~] Э [аз Ьз] 2 ° ° 2 [ав Ч 2 ' ' ' существует хотя бы одна точка, принадлежащая всем отрезкам данной системы. Это свойство называют также приниипом в яо всенных отпрезнов (принципом Кантпора). Из перечисленных свойств 1-6 действительных чисел можно получить, что 1 > О, а также правила действий с рациональны- 1. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ МНОЖЕСТВ 48 а, если а>0, ~а~ = -а, если а < О. (1 1) Отсюда следует, что абсолютное значение любого действитель- ного числа неотрицательно (~а~ > 0), а также ~а~ = ~-а~, ~а~ > а, ~а! > -а, -~а~ < а < ~а~. (1.2) Геометрически ~а~ соответствует расстоянию между точками числовой прямой, изображающими числа 0 и а.
Пусть справедливо неравенство ~а! < е, где е — некоторое положительное число (е > 0). Покажем, что это неравенство в силу условий (1.1) равносильно двойному неравенству -8 < а < 8. В самом деле, если а > О, то -е < а и )а~ = а < е. Если же а < О, то а < к и ~а~ =-а<я. Итак, в любом случае получаем, что -е < а < е.
Пусть теперь справедливо неравенство -е < а < е, или а <я и -а <е. Тогда если а >О, то ~а~ =а<я, а если а < О, то ~а~=-а <е, т.е. в любом случае справедливо ~а~ <а Равносильность рассмотренных неравенств будет сохранена, если строгие неравенства (<) заменить на нестрогие (<): ~а~ <е равносильно -я <а <я.
Для любых действительных чисел а и Ь справедливо равенство (1.3) ~аЬ| = ~а~ ° ~Ь| и выполняются неравенства (1,4) (1.5) ~а+Ь~ < ~а~+ ~Ь!, (а — Ь( > ) )а) — )Ь( ). ми дробями; правила знаков при умножении и делении действительных чисел; правила преобразования равенств и неравенств; свойства абсолютного значения действительного числа. Абсолютным эначением (или модулем) ~а~ любого действительного числа а называют действительное число, удовлетворяющее условиям 1.3. Множество лействнтееьных чисм.
Чысюавв .прекаа 49 Убедимся сначала в справедливости (1.3). Если аЬ > О, то либо а >О, Ь> О и с учетом (1.1) !аЬ! = аЬ = !а! !Ь!, либо а<0, Ь< 0 и согласно (1.1) и (1.2) !аЬ! = аЬ = (-а)(-Ь) = !-а! ° !-Ь! = !а! ° !Ь!. Если же аЬ< О, то либо а > О, Ь<0 и с учетом (1.1) и (1.2) !аЬ! = -аЬ = а(-Ь) = !а! ° [-Ь! = [а! ° !Ь!, либо а < О, Ь> 0 и снова согласно (1.1) и (1.2) !аЬ! = -аЬ = (-а)Ь = !-а! ° !Ь! = !а! ° !Ь!. Случай аЬ=О возможен, когдалибо а=О, либо Ь=О, либо и а = О, и Ь = О.
Тогда обе части (1.3) будут равны нулю. При помощи (1.1) и (1.2) докажем неравенство (1.4): если а+Ь~>0, то !а+Ь|=а+Ь< !а!+!Ь|, аесли а+Ь<0, то !а+ Ь! = -(а+ Ь) = (-а) + (-Ь) < !а! + !Ь!. Используя (1.4), преобразуем !а! — !Ь! = !(а — Ь)+Ь! — !Ь! < !а — Ь!+ !Ь! — !Ь! = !а — Ь! и аналогичным образом !Ь! — !а! < !Ь вЂ” а!, или с учетом (1,2) -(!а! — !Ь!) < !а — Ь!. Согласно(1.1) однонз чисел !а! — !Ь! или -(!а! — !Ь!) совпадает с 1!а! — !Ь!~, что доказывает (1.5). Свойства 1-6 полностью описывают множестпво всех ~ейстпвитпедьных чисел. Иначе говоря, если зти свойства 4-е44 50 1. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ МНОЖЕСТВ назвать аксиомами, то окажется, что действительные числа — это совокупность элементов, удовлетворяющих аксиомам 1-6.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
