I Морозова В.Д. Введение в анализ (1081368), страница 4
Текст из файла (страница 4)
Известные математические работы первого тысячелетия нашей эры в основном содержат комментарии теоретических достижений древних, а главное внимание в них уделено вычислительным аспектам. Так, у китайских математиков этого периода описаны способы извлечения квадратных и кубических корней иэ целых чисел и исключения неизвестных в системе линейных уравнений, указаны достаточно близкие границы для числа гг: 3,1415926 < < я < 3,1415927 . Индийские математики ввели в широкое употребление десятичную позиционную систему счисления, обо- Ф значаа нулем отсутствие единиц данного десятичного.'разряда; пользовались операциями не только с дробями, но и с отрица тельными числами, умели освобождаться от иррациональности в знаменателе дроби.
В 1Х вЂ” ХУ вв. завоевание арабами обширных территорий привело к заметному влиянию арабской культуры и.на развитие математики, причем это влияние не ограничивалось сохранением и передачей европейским математикам достижений античного мира. Работавший в багдадском „Доме мудрости" (своего рода академии) аль-Хорезми (787-850) изложил индийскую по- 2~ 20 КРАТКИЙ ИСТОРИЧЕСКИЙ ОЧЕРК эиционную систему счисления в трактате, который был в Х11 в. переведен с арабского на латинский язык и стал известен в Европе.
Он же в книге, название которой содержало слово „аль-джебр", обозначавшее операцию перенесения слагаемого с изменением его знака из одной части уравнения в другую, впервые выделил в качестве самостоятельной ветви матема тики ее раздел, получивший впоследствии название алгебра (латинизированное от „аль-джебр"). В латинизированной форме (А1догВЬш1) имя аль-Хорезми дало название (алгоритм) всякой системе вычислений, выполняемой по строго определенным правилам.
Известный поэт Омар Хайям (1048-1131), прославившийся своими рубаи (четверостишиями), изложил способ решения уравнений до третьей степени включительно, используя пересечение двух конических сечений (эллипса, параболы или гиперболы). Он же в комментариях к „Началам" Евклида обсуждал вопрос о доказуемости У постулата (постулата о параллельных).
Узбекский астроном и математик Улугбек (1394-1449) в Са маркандской обсерватории собрал более ста ученых и организовал долго остававшиеся непревзойденными по точности астрономические наблюдения. Он разработал алгебраический метод, который позволил составить весьма точные для того времени тригонометрические таблицы. Его сотрудник аль-Каши в трактате „Ключ арифметики" изложил приемы извлечения корней с использованием формулы бинома для натурального показателя (впоследствии получившей название формулы бинома Ньютона), описаМ правила действий с десятичными дробями, предложил способ последовательных приближений для решения уравнения третьей степени, а в „Трактате об окружности", вычисляя периметры вписанного и описанного 3 228-угольников, нашел число ~г с семнадцатью верными десятичными знаками.
Для европейских математиков ХН-ХУ вв. являются в основном периодом усвоения достижений античного мира и Востока. 21 Главными центрами теоретической мысли в области матема тики становятся университеты (первые университеты были созданы в ХП1 в. в итальянских городах Болонья, Салерно, Неаполь, а также в Праге и Вене). В Оксфордском и Парижском университетах в Х1У в. объектом изучения и графического представления становятся переменные во времени величины, используются на интуитивном уровне понятия мгновенных скорости и ускорения.
В ХУ1 в. европейские математики сумели получить результаты, не известные ни в античном мире, ни на Востоке: были найдены алгебраические решения уравнений третьей и четвертой степеней, описаны правила действий с комплексными числами. Немецкий художник А. Дюрер (1471-1528) заложил основы ортогонального проектирования, развил математическую теорию перспективы, предложил способы построения эпициклоид.
Одним из его увлечений было составление магических квадратов. Французский математик Ф. Виет (1540-1603) стал основателем алгебраического буквенного исчисления (до него буквами в уравнениях обозначали лишь неизвестные). Он же применил алгебраические методы к анализу в4яможности геометрических построений (в частности, восстановил утерянное решение античной задачи о построении окружности, касающейся трех заданных окружностей), дал полное решение задачи об определении всех элементов плоского или сферического треугольника по трем известным элементам, нашел выражение для я' в виде бесконечного произведения. Среди своих открытий Ф.
Виет больше всего ценил установление зависимости между корнями и коэффициентами уравнений (формупы Виета). Развитие математики в России в 1Х-ХП вв. находилось на уровне наиболее культурных стран Восточной и Западной Европы, но затем было надолго задержано монголо-татарским нашествием и его последствиями. В Древней Руси была распространена сходная с греко-византийской система числовых 22 КРАТКИЙ ИСТОРИЧЕСКИЙ О ЧЕРК знаков — славянская нумерация, основанная на славянском алфавите, которая доходнла до 50-го десятичного разряда и встречалась в русской математической литературе до начала ХИП в., но уже с конца ХИ в. ее настойчиво вытесняла принятая ныне десятичная позиционная система. Первым известным по имени русским математиком был новгородский монах Кирик (ХП в.).
Его „Наставление, как человеку познать счисление лет" (1136 г.) посвящено хронологическим расчетам и показывает, что в то время на Руси умели решать довольно сложную задачу вычисления пасхалий (определения на каждый год дня наступления праздника пасхи). В математической форме эта задача сводилась к решению в целых числах неопределенных систем уравнений первой степени с числом неизвестных, превышающим число уравнений.
Наиболее нзвестной из русских математических руководств была изданная в 1703 г. „Арифметика" Л.Ф. Магницкого (1669-1739), с 1701 г. и до конца своей жизни преподававшего математику в Школе математических и навигацких на ук в Москве. Это руководство содержало знаменательное определение: „Арифметика, или численница, есть художество честное, независтное и всем удобопонятное, многополезнейшее и многохвальнейшее, от древнейших же и новейших, в разные времена живших изряднейших арифметиков, изобретенное и изложенное". В „Арифметике" наряду с нумерацией, правилами действий с целыми числами и дробями (в том числе десятичными) изложены элементы алгебры, геометрии и тригонометрии и ряд практических сведений о коммерческих расчетах и задачах навигации, введены термины „множитель", „произведение", „делитель", „делимое", „частное".
По существу, это руководство являлось русской математической энциклопедией того времени. Многие помещенные там сведения были приведены в отечественной литературе впервые. По этому руководству учился .М.В. Ломоносов, назвавший его „вратами учености ". 23 В ХИ1 в. была создана математика переменных величин, которую обычно называют высшей математикой. Одним из ее создателей был французский ученый Рене Декарт (1596-16бО).
Математические работы Декарта тесно связаны с его философскими и физическими исследованиями. Его ра бота „Рассуждение о методе", вышедшая в 1637 г,, содержала три приложения: „Диоптрика", „О метеорах" и „Геометрия". В последнем изложены основы аналитической геометрии, базирующейся на методе коордииат. Созданием метода координат Декарт осуществил взаимопроникновение алгебры и геометрии. Он ввел современные символы для независимых переменных, неизвестных величин и буквенных коэффициентов, а также общепринятое в настоящее время обозначение степеней.
Великого ученого обвинили в атеизме, в оскорблении церкви и возбудили против него верующих, Сочинения Декарта были внесены в список запрещенных книг. Независимо от Декарта к основам аналитической геометрии пришел и французский юрист Пьер Ферма (1601-1665), который знаменит формулировкой до сих пор еще полностью не доказанной „великой теоремы" иэ теории чисел, работами по нахождению максимумов и мииимумов и по теории вероятиостей. Яркой, но короткой была деятельность французского математика Блеза Паскаля (1623-1662), который впервые точно сформулировал и применил в доказательствах метод математической индукции, построил „арифметический треугольник", образованный бииомиальиыми коэффициентами и впоследствии названный треугольииком Паскаля, пРоводил выкладки с величинами разного порядка малости, установил закон передачи давления газами и жидкостями (за кон Паскаля).
Вместе с П. Ферма он заложил основы теории вероятностей. В последний период жизни у Б. Паскаля стали преобладать мистические и религиозные интересы, нашедшие отражение в его „Письмах к провинциалу" и в посмертно опу- 24 КРАТКИЙ ИСТОРИЧЕСКИЙ О ЧЕРК бликованных „Мыслях" — шедеврах французской и мировой литературы. Первый этап создания математики переменных величин завершился работами англичанина Исаака Ньютона (1643 — 1727) и немца Готфрида Вильгельма Лейбница (1646-1718).
Имя Ньютона известно всем наравне с другими именами, украша ющими историю рода человеческого. Его научные интересы относились к ведущим областям науки того времени — матема тике, механике, оптике. Математику Ньютон считал основным инструментом физических исследований и разрабатывал для них математические методы. Трудно переоценить значение творчества Ньютона и перечислить все полученные им результаты. С.И. Вавилов писал, что беэ Ньютона наука развивалась бы иначе, а по мнению Ж. Лагранжа, нет и не будет научной славы, которая превысила бы славу Ньютона.
Важнейшей заслугой Лейбница в области математики является развитие математического анализа, имевшего огромное значение для математики и естествознания. Ему принадлежат также многие результаты исследований в отдельных раз-делах математики: формула Лейбница для производной любого порядка от произведения двух функций, правило дифференцирования интеграла с переменным верхним пределом, признак Лейбница сходимости знакопеременных рядов, ряд Лейбница я'/4=1 — 1/3+1/5-1/7+...
и др. Он ввел много математических терминов и символов, которые сохранились до настоящего времени. Развитие дифференциального и интегрального исчислений нашло отражение в трудах Лейбница и Ньютона. Однако спор о том, кому из них принадлежит заслуга в открытии дифференциального и интегрального исчисления, не решен и по сей день.
Ньютон сформулировал свое открытие на языке механики, а Лейбниц — на языке геометрии. Более ста лет спустя после публикации Лейбницем своих работ английские математики отказывались пользоваться его результатами, а многие математики на европейском континенте не признавали достижений Ньютона. Влияние же Ньютона на математиков, его современников, трудно оценить, так как сам он постоянно сомневался в необходимости опубликования своих результатов. Научная школа Лейбница была гораздо более яркой по сравнению со школой Ньютона. Среди учеников Лейбница особенно известны братья Бернулли. Деятельность швейцарской семьи Бернулли, которая в ХИН в.
дала миру восемь профессоров математики, знаменует эпоху в истории науки. Якоба (1654-1705) и Иоганна (1667-1748) Бернулли по пра ву вместе с Ньютоном и Лейбницем относят к создателям математического анализа. Книга Я. Бернулли „Арифметические приложения бесконечных рядов и их конечных сумм" была первым учебником по теории рядов. Ему принадлежит изобретение полярных координат, он вывел формулу для радиуса кривизны произвольной плоской кривой, нашел форму „парусной кривой" и цепной линии, которые образуют наполненный ветром парус и закрепленная на концах цепь, установил форму упругой линии балки, защемленной одним концом и на груженной сосредоточенной силой — на другом.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
