I Морозова В.Д. Введение в анализ (1081368), страница 10
Текст из файла (страница 10)
де Моргана (1806-1871). Для симметрической разности отметим следующие свойства: АЬВ=ВЬА, (АЬВ) ЬС=АЬ(ВЬС), Ай(ВЬС) = (АПВ) Ь(АОС). Все приведенные соотношенил нетрудно доказать. В качестве примера докажем справедливость первого из соотношений свойства дистрибутивности и первого из законов де Моргана. 56 1.
ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ МНОЖЕСТВ Предположим сначала, что х Е АО(ВПС), т.е., согласно определению 1.1 операции объединения, возможно как х Е А, так и х Е ВПС. Если х Е А, то с учетом этого же определения х принадлежит объединению А с любым множеством, и можно считать, что х Е АОВ и х Е АОС. Если же х Е ВПС, то, по определению 1.2 операции пересечения, это означает, что одновременно х Е В и х Е С, т.е. снова можно считать, что * Е А'Ь В и х Е А ОС. Отсюда с учетом определения 1.2 следует, что х Е (А 0 В) П (А ОС), а исходное предположение приводит к включению АО(ВЙС) С (АОВ) й(АОС). Пусть теперь х Е (АОВ) Й(АОС).
Это означает, что одновременно хЕ АОВ и х ЕАОС, т.е. возможно как х ЕА, так и х ~ А. Если х Е А, то можно считать, что х Е АО (В ЙС). Если же х ф А, то обязательно х Е В и х Е С, т.е. х Е Е В ЙС, и снова имеем х Е АО (ВПС). Таким образом, второе предположение приводит к обратному включению АО(Вйб) Э :) (АО В) Й (А ОС), что и доказывает справедливость равенства Ао(ВпС) = (АОВ) О(АОС).
Перейдем к доказательству первого закона де Моргана. Пусть сначала х Е А О В, т,е. х ~ А О В. С учетом определения 1.1 операции объединения это означает, что одновременно х ~ А и х~ В, и поэтому одновременно х Е А и хЕ В. Отсюда, согласно определению 1.2 операции пересечения, получаем х Е Ай В, а исходное предположение приводит к включению АОВ С АПВ. Теперь предположим, что х Е Ай В. Тогда одновременно хЕА и хЕВ,т.е. одновременно жфА и х~В, аэтоозначает, что х ~ АОВ, и поэтому х Е АОВ. Таким образом, второе предположение приводит к обратному включению АОВ Э Э АЙ В, что и доказывает справедливость равенс гва АО В = = АПВ.
Рассмотренные свойства операций объединения и пересечеия и законы де Моргана отвечают вуимчаау деойстевнностви (или дуамькостви). Он состоит в том, что в каждой паре записанных выше соотношений одно можно получить из друго- 1.5, Некоторые оснааные жнмческие сюакмты 57 го заменой символов 0 и П соответственно на й и О. Если некоторое подмножество Е множества Й можно получить иэ других подмножеств А, В, ... применением в некотором определенном порядке одних только операций объединения, пересечения и дополнения, то, согласно этому принципу, дополнение Е можно получить заменой подмножеств А, В, ... их дополнениями и заменой символов 0, й на й, 0 соответственно. Каждый иэ законов де Моргана является частным случаем действия этого правила.
Аналогичным образом можно оперировать и символами включения (если А С В, то А ) В, а если ССу,то С ).0). 1.5. Некоторые основные логические символы Для математики характерно широкое использование символики, которая, по сути, является аппаратом формальной логики. Формальная, или символическая, логика — это специальный метод познания структуры мышления. Такой разработанный аппарат используют везде.
В математике многие важные положения удается записывать в виде символов. Запись логических рассуждений в символах придает доказательствам более краткий, простой вид. Формальная логика оперирует высказываниями (из них, кстати, состоит и наша речь). Высказыввмаак называют предложение, относительно которого имеет смысл утверждать, что оно истинно или ложно.
Пример 1.3. „Москва — столица России", „Петров И.И.— студент МГТУ", х~+ у~ = 1, х Е Ж вЂ” высказывания", хз — 2х+ + 9 — не является высказыванием. ф 2 Соединяя простые высказывания словами „и", „или", „не", если ..., то", мы получаем более сложные высказывания, ~оторые определяют нашу речь. В математике эти слова называют логическими связками, в формальной логике они 58 1.
ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ МНОЖЕСТВ соответствуют основным моеическим симво.вам, на которых мы кратко и остановимся. 1. Кокътоякцией равд высказываний р и д называют высказывание, которое истинно тогда и только тогда, когда оба высказывания (и р, и д) истинны. Логический символ конъюнкции Л заменяет в речи союз „и". Конъюнкцию обозначают также рй д. 2. Дизътоккцией рЧд высказываний р и д называют высказывание, которое ложно в том и только в том случае, когда оба высказывания ложны, а истинно, когда хотя бы одно из них (р или д) истинно.
Логический символ дизъюнкции Ч в речи заменяет слово „или". 3. Имтиаияацией у~ д высказываний у и д называют высказывание, которое ложно тогда и только тогда, когда р истинно, а д — ложно. Логический символ импликации используют при указании на последствия некоторого факта. Он заменяет слова „если ..., то". Можно также читать „р влечет д". 4. Логический символ эквива.лекции ~ означает, что высказывание р 4Ф д истинно тогда и только тогда, когда оба высказывания р и д истинны или оба высказывания ложны. Этот символ заменяет в речи слово „равносильно".
5. Отприцакием высказывания р называют высказывание - р, которое истинно, если р ложно, и ложно, когда у истинно. Логический символ - в речи заменяет слово „не". Для сокращения и уточнения записи высказываний вводят два знака т' и 3, называемых соответственно квактпорами общностпи и сущестпвованиа. Выражение „для всякого элементпа х множестива Е" записывают в виде Чх Е Е.
Эта запись означает, что утверждение, следующее за ней, будет выполнено для произвольного элемента множества Е. Запись Чх1, хр, ..., х„б Е означает: „каковы бы ни были элементы х1, хэ, ..., х„множества Е". Выражение „существует по крайней мере один элемент множества Е, такоЙ, что ..." записывают Зх Е Е: ... Все, что следует за этой записью, выпол- 2.6, Некоторые основные логические символы 59 няется хотя бы для одного элемента множества Е. Наоборот, ~х е Е: ... означает, что все следующее далее не выполняется ни для одного элемента из Е. Выражение „существует один и только один элемент иэ Е, такой, что ..." записывают в виде 3!х е Е"....
Запись Зх1, хз, ..., х„е Е: ... означает: „существуют такие элементы х1, х~, ..., х„множества Е, й что .... Введенными символами удобно пользоваться, например, при определении операций над множествами. Так, А О В ",~ (х: (х б А) Ч (х Е ВЦ, А й В:СФ (х: (х Е А) Л (х Е В)), А ~ В:сФ (х: (х Е А) Л (х ф В)), А:сФ (х: (х б й) Л (х ф А)), где символ:4Ф означает эквивалентность по определению.
Связь теории множеств и формальной логики достаточно широка. Исследованием этой связи впервые занимался английский математик Джордж Буль (1815-1864), работы которого положили начало одному из важнейших направлений современной алгебры, называемому 6у.аевой амебой. Ясно, что взятие дополнения тесно связано с отрицанием высказывания, операции обьединения и пересечекия множеств — с дизъюнкцией и конъюнкцией высказываний соответственно, включение подмиожесшва в множество — с имплика цией, а равенство множеств — с эквиваленцией высказываний.
В силу этой связи с помощью теории множеств можно решать некоторые логические задачи. Пример 1.4. Рассмотрим набор высказываний: 1) животные, которых не видно в темноте, серы; 2) соседи не любят тех, кто не дает им спать; 3) кто крепко спит, громко храпит; 4) соседи любят животных, которых видно в темноте", 5) все слоны крепко спят; 6) кто громко храпит, не дает спать соседям. 60 1. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ МНОЖЕСТВ Эти высказывания можно перевести на язык теории множеств, если ввести следующие обозначения: А — множество тех, кто будит соседей;  — множество тех, кто крепко спит; С вЂ” множество тех, кто громко храпит; П вЂ” множество животных, которых видно в темноте; Š— множество слонов; Р— множество тех, кого любят соседи; 0 — множество тех, кто серые.
Высказывание 1) означает, что элементы, не лежащие в .О, содержатся в О, т.е. 1) 0 С С. Остальные высказывания принимают вид: 2)АСТ'; 3)ВСС; 4)ВСР", 5)ЕСВ; 6)ССА, Взяв дополнения множеств,0 и Р, из 4) согласно аринииву двойстпеенности получим Р С 0 и затем соединим все выска зывания в цепочку ЕСССАСРСОСС. Из этой цепочки (с учетом свойства транзитпивностпи символа включения) следует, что Е С С, т.е. все слоны серы.
4~ Рассмотренные логические символы и кванторы существования и общности широко используют математики для записи предложений, в которых они, по сути, воплощают плоды своего творчества. Эти предложения представляют собой устанавливающие свойства математических объектов теоремы, леммы, утверждения и следствия из них, а также различные формулы. Однако следует отметить, что часть предложений приходится все же выражать словами. Любы твеорема состоит, вообще говоря, в задании некоторого свойства А, называемого усаовием, из которого выводят свойство В, называемое заммочением.
Коротко теорему „А влечет В" записывают в виде А=~ В и говорят, что А является достиатпочным условием для В, а  — необходимым 1.$. Некоторые основные лолгюеские симвоиы 61 условием для А. Тогда обратимая тиеорема имеет внд В =~ А (возможна запись прн помощи обратной нмплнкацнн А с= В), но справедливость прямой теоремы еще не гарантнрует справедливости обратной ей теоремы. Если справедливы данная теорема н обратная ей, то свойства А н В эквнва лентны, н такую теорему можно записать в виде А с~ В.
Эта запись соответствует фразам. "„Для того, чтобы А, необходнмо н достаточно, чтобы В", „А тогда н только тогда, когда В" нлн „А, если н только еслн В". Ясно, что в этих фразах А и В можно поменять местамн. Утверждение, противоположное утверждению А, запнсыва ют - А, что соответствует словам „не А". Если в символьную запись утверждения А входят кванторы 3, Ч н условие Р, то прн построении символьной запнсн протнвоположного утверждення - А квантор 3 заменяют на Ч, квантор Ч вЂ” на 3, а условие Р заменяют на условие - Р. Пример 1.6. Рассмотрим утверждение Зх Е Е: Р (существует элемент х множества Е, обладающий свойством Р) н постронм его отрицание. Если это утверждение неверно, то указанного элемента не существует, т.е. для каждого х б Е свойство Р не выполняется, нлн - (Зх Е Е: Р) = Ух б Е: Р.
Теперь построим отрицание утверждення ~Ь б Е: Р (для каждого элемента х множества Е имеет место свойство Р). Если данное утверждение неверно, то свойство Р имеет место не для каждого элемента указанного множества, т.е. существует хотя бы один элемент х б Е, не обладающий этим свойством, нлн - (Ух Е Е: Р) = Зх Е Е: — Р. Докаэательствво предложення представляет собой проводнмое по определенным правилам рассуждение, в котором 62 1.
ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ МНОЖЕСТВ для обоснования сформулированного предложения используют определения, аксиомы и ранее доказанные предложения. Примеры доказательств свойств абсолнипных значений дейстпвитпельных чисел приведены выше (см. 1.3), а первого из соотношений свойства дистри6утпиеностпи операций объединения и пересечения и первого из законов де Моргана (1.7) — в 1.4. Одним из используемых приемов является метод докаэатие,кьстивв опт иротиемоао. Для доказательства таким ме тодом теоремы А =~ В предполагают, что верно - В.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
