I Морозова В.Д. Введение в анализ (1081368), страница 11
Текст из файла (страница 11)
Если рассуждения приводят к тому, что при таком предположении условие А невыполнимо, т.е. возникает противоречие, то теорему считают доказанной. Пример 1.6. Используем метод доказательства от противного, чтобы убедиться в справедливости второго закона де Моргана (1.7) АЙВ = АОВ. Если это равенство верно, то каждый элемент х Е Ай В должен принадлежать и АОВ, т.е. х Е АОВ. Предположим противное. х ~ А О В. Тогда по принципу двойственности (см. 1.4) х Е А й В, т.е. х ~ А П В, а это противоречит исходному условию х Е Ай В, что доказывает справедливость имплика ции высказываний х Е АПВ=~х Е АОВ. Наоборот, каждый элемент х Е А О В должен принадлежать и АПВ, т.е. х Е АйВ.
Снова предположим противное: хф ф АПВ, т.е. х Е АПВ, или (х Е А) Л(х Е В). Тогда (хф А)Л Л (х ф В) и х ф ЛОВ, а это опять противоречит принятому условию х Е АО В, что доказывает справедливость обратной импликации высказываний хЕАПВС=хЕАОВ. В итоге справедливость второй формулы (1.7) доказана полно- стью. ф 63 1.6. Крути Эйлера Пример 1.7. Докажем справедливость формулы (1.8) для суммы первых а членов геометрической прогрессии 2 и-Ъ а~, а~ — — а~у, аз — — а~у, ..., а„= а~у со знаменателем прогрессии д ф. 1. Ясно, что формула верна для а=1 н а=2.
Предположим, что она верна н для а=1, т.е. 1-д й 8~ = а~ —. 1-д' Тогда (1.9) Если в (1.9) обозначить й+ 1 = п, то снова придем к (1.8), что доказывает справедливость этой формулы. 1.6. Круги Эклера Кругами Замера называют фигуры, условно нзображаю'4не множества и наглядно ыллюстрнрующые некоторые свойства операций над множествами. В литературе круги Эйлера Прн доказательстве предложеный, справедливых для пронзвольного натурального числа н Е Я, иногда прыменяют метод ~явпъематической имдука1аи: непосредственной проверкой устанавлывают справедливость предложении для нескольких первых значений н (и = 1, 2, ...), а затем предполагают, что оно верно для е = Й, н если нз этого предположения следует справедливость данного предложения для и = Й+ 1, то его считают доказанным для всех и Е Я.
64 1. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ МНОЖЕСТВ иногда называют диаграммами Венна (или диаграммами Эйлера — Венна). Круги Эйлера, иллюстрирующие основные операции над множествами, представлены на рис. 1.2 (множества, полученные в результате этих операций, отмечены штриховкой). АОВ АЙВ Рис. 1.2 Пример 1.8. При помощи кругов Эйлера установим снача ла справедливость первого соотношения, выражающего свойство дистрибутив ности операций объединения и пересечения множеств, АО(ВПС) = (АОВ) й(АОС).
(1.10) На рис. 1.3,а вертикально заштрихован круг, изображающий множество А, а горизонтально — область, отвечающая пересечению множеств В и С. В итоге тем или иным способом заштрихована область, изображающая множество А О (В П С). На рис. 1.3,б вертикально заштрихована область, соответствующая объединению множеств А и В, а горизонтально — объединению множеств А и С, так что обоими способами заштрихована область, изображающая множество (АОВ) П(АОС) и совпадающая с областью, заштрихованноЙ каким-либо способом на рис. 1.3,а. Таким образом, круги Эйлера позволяют установить справедливость (1.10). 65 1.6. Круги Эйлера .4и(ВПС) (лов)о(лис) Рис.
1.3 Теперь рассмотрим второй закон де Моргана (1.7) АПВ = АОВ. (1.11) Заштрихованная на рис. 1.4,а область изображает множество АП В, а незаштрихованная часть прямоугольника Й (внешняя по отношению к заштрихованной) соответствует множеству АОВ. На рис. 1.4,о части прямоугольника Й, заштрихованные вертикально и горизонтально, отвечают соответственно А и В. Тогда множеству АО В отвечает область, заштрихованная хотя бы одним из указанных способов. Она совпадает с областью, не заштрихованной на рис, 1.4,а и отвечающей множеству А АП В, что устанавливает справедливость (1.11). АТЛ) ЮВ АПВ ЛоВ Рис.
1.4 1. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ МНОЖЕСТВ Вопросы и задачи 1.1. Запись т~и, где т,и Е Е, означает, что число т нацело делит число и (т — делитель и). Описать заданные множества при условии, что х Е И: а) (х: х~12)П(х: х~8); б) (х: х]12)0(х: х~8); в) (х: 12!х)П(х: 8]х3 г) (х: Щх)П(х: 81х). 1.2. Доказать следующие соотношения и проиллюстрировать их кругами Эйлера: а) А~ВЙ(АОВ) =А; б) А~В= АОВ; в) (А о В) й (А и В) = А Ь В; г) А ~ В с С с~ А с В 0 С; д) АЬВ с (АЬС)0(ВЬС); е)АЬВ=С=~В=АСС; ж) А~(А~В) = АЙВ; з) (А~В) 0(В~А) = (АОВ) ~(АЙВ); и) Ао(В~С) э (АоВ)~С; к) (АОС) ~Вс (А~В)ОС; л) (А~В) ~С= А~(ВОС); м) (А~В) ОС= (АОС) ~(ВПС).
1.3. Установить, в каком отношении (Хс У, Х ) У или Х=У) находятся множества Х и У, если: а) Х=АО(В~С), У=(АОВ)~(АОС); б) Х=(АПВ)~С, У=(А~С)й(В~С); в) Х=А~(ВОС), У=(А~В)О(А~С). Использовать для иллюстрации круги Эйлера. 1.4. Пусть А — множество точек, образующих стороны некоторого треугольника, вписанного в заданную окружность. Описать объединение и пересечение всех таких множеств, если треугольники: а) произвольные; б) правильные; в) прямоугольные. 67 Ващюсы м эадвчи 1.б.
Найти 0" П" для заданных семейств множеств: а) А;=(юЕЕ: -у(х<,о; б) А~=(З,у — 2,3у — 1); в) А = (1, 1/2, 1/3, ..., 1Я. 1.6. Указать, какие из представленных ниже соотношений неверны, и объяснить, почему: а) (1, 2) б (1, 2, (1, 2, 3)); б) (1, 2) С (1, 2, (1, 2, 3)); в) (1, 2) Е (1, 2, (1, 2)); г) (1, 2) С (1, 2, (1, 2)); д) 3 Е (1, (2, 3), 4); е) ж Е (3, сова); ж) з Е (1, Ь, ж). 1.Т. Указать, какие из множеств равны между собой: а) (2, 5, 4); б) (1, (5,2), 6); в) (1, 5, 2, 6); г) (1, (2,5), 6); д) (5, 4, 2); е) (1, (2,5,6)) .
1.8. Найти множества АОВ, АЙ В, А~В, В~А и изобразить их на числовой прямой, если А = (-1, 2] и В = = ~1, 4). 1.В. Считая отрезок ~0, 1] универсальным множеством, найти и изобразить на числовой прямой дополнения множеств: а) (О, Ц; б) (1/4, 1/2); в) (О, 1/2]; г) (0)0~3/4, 1). 1.10. По приведенным ниже описаниям множеств людей подберите для каждой записи высказывания на языке множеств подходящую пословицу или поговорку. Надеемся, что это по- зволит лишний раз проанализировать смысл народных изрече- ний. Например, если 8 — множество людей, которые сами как следует не знают того, о чем говорят, то запись ж б Я' можно отнести к пословице „Слышал звон, да не знает, где он", по- скольку именно так говорят о человеке, наделенном указанным свойством (в данном случае — характеристическим свойством множества 2, см. 1.1).
Множества людей Й вЂ” универсальное множество всех людей, А — добрые, $$ 68 1. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ МНОЖЕСТ  — незаурядные, с большими способностями, С вЂ” глупые, .0 — умные, Š— поступающие по своему, не слушающие советов, à — связанные корыстными отношениями, б — много обещающие, Н вЂ” не выполняющие своих обещаний, .7 — злоупотребляющие своим служебным положением, К вЂ” слишком важничающие, задающиеся, Ь вЂ” вмешивающиеся не в свое дело, М- предприимчивые, ловкие, умеющие устраиваться, Р— берущиеся за несколько дел сразу, Ч вЂ” плодотворно работающие, Я вЂ” ошибающиеся, Т вЂ” чувствующие вину и возможность расплаты, У вЂ” не добивающиеся результатов, У вЂ” выдающие себя своим поведением, И~ — недальновидные, Х вЂ” действующие заодно, не предающие друг друга, У вЂ” бывалые, опытные люди.
Запись высказываний на языке множеств хЕК; Афо; хЕОЛН; хбВОЯ; хЕ 7ПУ; хб 7; хбМ; хбСОЕ; хбТПУ; хбРЛЮ; х ЕЕ; х ЕРШАХ; хЕУПЯ; хЕ0ПФК Пословицы и поговорки Бодливой корове бог рог не дает. Большому кораблю — большое плавание. Вольному воля. Ворон ворону глаз не выклюет. Дуракам закон не писан. За двумя зайцами погонишься, ни одного не поймаешь. Знает кошка, чье мясо съела. Знай сверчок свой шесток. И на старуху бывает проруха. Курице не тетка, свинье не сестра. Во.просы и звдвчи — Кто смел, тот и съел. — На всякого мудреца довольно простоты.
— Наделала синица славы, а море не зажгла. — Свет не без добрых людей. 1.11. Доказать справедливость соотношений (1.2). 1.12. Доказать справедливость второго из соотношений свойства дистрибутивности операций объединения и пересечения непосредственно и методом от противного. 1.13. Применив метод математической индукции, дока--,1ать, что для любого натурального числа а справедливы неравенства я<2" ' и (1+х)" >1+ах, Чх>-1 (неравенство Бернулли). 1.14. Доказать, что среднее арифметическое и положительных действительных чисел не меньше их среднего геометрического, т.е.
Х1+ Х2+ ° ° ° + ХВ /,1/В > (х1х2"''хя) в 1.16. Брауну, Джонсу и Смиту предъявлено обвинение в соучастии в ограблении банка. Похитители скрылись на поджидавшем их автомобиле. На следствии Браун показал, что это был синий „Бьюик", Джонс — голубой Крайслер", а Смит — „Форд Мустанг", но не синий. Какого цвета был автомобиль и какоЙ марки, если известно, что, желая запутать следствие, каждыЙ из них указал правильно либо только марку машины, либо только ее цвет? 1.16. Для полярной экспедиции из восьми претендентов А, В, С, .О, Е, Г, 0 и Н надо отобрать шесть специалистов: биолога, гидролога, синоптика, радиста, механика и врача. Обязанности биолога могут выполнять Е и С, гидролога— В и Р, синоптика — Г и О, радиста — С и .О,механика— С и Н, врача — А и Р, но каждый из них, если будет в экспедиции, сможет выполнять лишь одну обязанность. Кого и кем следует взять в экспедицию, если Р не может ехать без  Π— без Н и без С, С не может ехать с С, а А — с В? 2.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
