I Морозова В.Д. Введение в анализ (1081368), страница 15
Текст из файла (страница 15)
Пусть е — любое положительное число. При достаточно большом пЕ Х 6„— а„<е, атак как [6„, а„) содержит точку 6, все точки этого отрезка лежат во всяком случае правее точки Ь-е. По построению [а„, 6„) содержит хотя бы одну точку из А, которая, следовательно, лежит правее Ь-е. Итак, как бы мало ни было е > О, существует точка из А, лежащая правее 6 — е.
Это означает, что Ь обладает и вторым свойством точной верхней грани, и поэтому 6 есть точная верхняя грань множества А. Если бы у множества А существовали две точные верхние грани 6' и Ь" (Ь'< Ь"), то по первому свойству грани Ь' между 2.7. Ограниченыые мкомества Ь~ и Ь" не могут лежать точки из А, а по второму свойству грани Ь" это должно иметь место. Такое противоречие доказывает единственность точной верхней грани множества А Аналогичным образом можно доказать существование точной нижней грани непустого ограниченного снизу множества числовой прямой. Пример 2.10.
а. Пусть А = (х Е Е: а < х < Ц вЂ” интервал (а, Ь) числовой прямой. Для него вирА=Ь, ЫА=а, причем ни точная верхняя, ни точная нижняя грани не принадлежат заданному множеству. б. Для отрывка В = [а, Ц = (х б Ж: а < х < Ь) точная верхняя грань вирВ = Ь и точная нижняя грань ЫВ = а принадлежат заданному множеству и являются соответственно его наибольшим и наименьшим значениями. в.
Пусть С С Е вЂ” множество всех правильных дробей. Тогда имеем зирС=1 и ЫС=О. ф Для числовых множеств из Ж приведем нижеследующие утверждения. 'Утверждеиие 2.1. Если множества А и В ограничены сверху и АС В, то вирА <зирВ; если А и В ограничены снизу и А С В, то иКА> ЫВ. 4 Действительно, в первом случае зирВ является верхней границей для В и тем более — для АС В. Поэтому зирА < ~ ~вирВ. Во втором случае аналогично первому Ы В является нижней границей для В и тем более — для АС В. Поэтому а~В < ЫА.
° Утверждение 2.2. Если для Чх Е А и Чуб В выполнено неравенство х < у, то А ограничено сверху,  — снизу и вирА < ЫВ. Действительно, множество А ограничено сверху любым элементом уЕ В. Поэтому вирА существует и вирА< у для 92 2. ОТОБРАЖЕНИЕ МНОЖЕСТВ. ФУНКЦИИ Чу б В. Отсюда следует, что В ограничено снизу числом зцр А, а значит, вар А < 1пГ В. > Понятие ограниченного числового множества тесно связано с понятием ограниченной действительной функции. Дополнение 2.1.
Мощность множества Первым вопросом, возникшим в связи с бесконечными множествами, был вопрос о возможности их количественного сравнения между собой. Ответ на этот и близкие вопросы дал в конце 70-х гг. Х1Х в. Г. Кантор. В основе сравнительной количественной оценки множеств лежит понятие биективного (взаимно однозначного) отображения, когда каждому элементу а иэ множества А соответствует один и только один элемент Ь иэ множества В, а с каждым элементом 6 Е В может быть соотнесен один и только один элемент а б А (обозначают а++ 6). Определение 2.8. Множества А и В называют зявиеа,аентпными, или равкомощяыми (имеющими одинаковую мощностиь), и записывают А ° В, если между ними можно установить взаимно однозначное соответствие.
Очевидно, между двумя конечными множествами можно установить взаимно однозначное соответствие тогда и только тогда, когда оба множества состоят из одного и того же числа элементов. Мощность конечного множества А определяют его яврдина.вькым числом, равным количеству ЖА элементов этого множества, и записывают сагд А = Ф„~. Пустое множество И имеет мощность, равную нулю, т.е. сагдИ =О. Для равномощных множеств А и В обозначения А В и сагд А = сагд В равносильны. Бесконечные множества могут отличаться по мощности.
Для характеристики их мощности также используют обозначение кардинального числа. Бесконечное множество Е, равно- Д.2.1. Мощность моожествв 93 мощное множеству Х натурааьных чисел, называют счетп®авм и записывают сагдЕ = сагйХ= Ио (произносят „алефиуль" по названию буквы И („алеф") древнееврейского алфа вита). Чтобы установить счетность некоторого бесконечного множества, надо указать, каким образом его элементы могут быть занумерованы без повторений с помощью множества натуральных чисел, каждое иэ которых служит номером (индексом) только одному элементу данного множества. Такой бесконечный перечень элементов множества, а по сути взаимно однозначное соответствие между элементами рассматриваемого множества и натуральными числами, называют пересчетом элемеювое мкожестввю. Счетным является, например, множество четных чисел, хотя оно составляет лишь подмножество множества натуральных чисел, а четных чисел, казалось бы, вдвое меньше, чем натуральных.
Тем не менее эти множества равномощны, поскольку каждому четному числу 2п взаимно однозначно соответствует его номер пай. Пример 2.11. Докажем счетность множестпва Е целых чисел. Для этого установим взаимно однозначное соответствие между множеством Х= (1, 2, 3, ...) и множеством Е = =(..., -2, -1, О, 1, 2, ...) следующимобразом: 1ф+О; 2~+1; З~+-1; 4н 2; 5н-2 и т.д., расположив при пересчете элементы из Е по мере возрастания их абсолютных значений: О, 1, -1, 2, — 2... п, -и,, ..., (пЕ И). Возможность такого пересчета элементов множества Е и доказывает его равно- мощность множеству Х натуральных чисел, т.е.
множество Е является счетным, сагдЕ=Ио. ф~ Теперь рассмотрим более сложный пример. Пример 2.12. Докажем счетность множества Я+ рациональных положительных чисел, каждое иэ которых представи"о рациональной дробью т/и Чт,п Е Х. Расположим все эти 2. ОТОБРАЖЕНИЕ МНОЖЕСТВ. ФУНКЦИИ чиаа в бесконечной таблице с номером столбца т и номером с60кв и: 1 2 1/2 2/2 1/3 2/3 1/4 2/4 1/и 2/и 3 4 3/2 4/2 3/3 4/3 3/4 4/4 3/и 4/и т/2 т/3 т/4 ° ° Ф ° ° ти/и Очевидно, что с учетом возможности сокращения числителю и знаменателя рациональной дроби на натуральное число иеюторые числа, стоящие на различных местах в этой таблицв; 0Удут Равны между собой.
В частности, равны единице все челси, стоящие на главной диагонали таблицы. Расположим ч$яа вэ таблицы, начиная с ее верхнего левого угла и далее псяЧ0вательно по диагонали, пропуская уже встречавшиеся 1,2, 1/2, 3) 1/3,4, 3/2, 2/3, 1/4,..., т/и,... Тле Расположение позволяет эанумеровать все рациональные п0дожвтельные числа, что доказывает счетность множества ф,т.е.
сагЩ+ — ~ . у В пРимерах 2.11 и 2.12 необходимо обратить внимание на тО ~т0 в каждом из бесконечных множеств 3 и ©+ имеется оЬменн0е иодяножестпво М, равномощное всему множеству, 00ск0льку элементы любого бесконечного подмножества счетнк0 иножества можно пронумеровать с помощью натуральна чисел, такое подмножество равномощно множеству М, т.е.
смтв0 Оказывается, любое бесконечное множество включает сМственное подмножество, равномощное (или эквивалентное) ка7 этому множеству, но ни в одном конечном множестве м Фьзл нанти равномощного собственного подмножества. Д.2.1. Мощность множества Ценность понятия мощности множества связана с существованием неравномощных (или неэквивалентных) бесконечных множеств. Для двух бесконечных множеств А и В возможны лишь три следующие ситуации: 1) в А есть собственное подмножество, равномощное В, но в В нет собственного подмножества, равномощного А (в этом случае говорят, что мощность А больше мощности В и записывают сагд А > сагс1В); 2) в В есть собственное подмножество, равномощное А, но в А нет собственного подмножества, равномощного В (тогда говорят, что мощность В больше мощности А, и пишут сагйВ > сагдА); 3) в А есть собственное подмножество, равномощное В, и в В есть собственное подмножество, равномощное А (тогда можно доказать, что А и В равномощны, т.е.
А ° В, или сагй А = сагй В). Следует заметить, что для бесконечных множеств ситуа ция, когда в А нет собственного подмножества, равномощного В, и в В нет собственного подмножества, равномощного А, не имеет места. Мощность счетных множеств есть наименьшая мощность, которую может иметь бесконечное множество. Такое заключение можно сделать на основании следующей теоремы. Теорема 2.2. Всякое бесконечное множество включает счетное подмножество. 4 Пусть А — бесконечное множество. Так как оно непустое, выберем среди его элементов какой-нибудь один; пусть им будет а1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
