I Морозова В.Д. Введение в анализ (1081368), страница 12
Текст из файла (страница 12)
ОТОБРАЖЕНИЕ МНО:ЖЕСТВ. ~ФУНКЦИИ 2.1. Понятия отображения и функции Пусть заданы два множестпва Х и У. Определеиие 2.1. Отвображением ~ множества Х в множество У, или фуняцие4, определенной на множестве Х со значениями в множестве У, называют соответствие, которое каждому элементу х б Х соотносит некоторый единственный элемент у Е У. Множество Х называют областпъто определенил фуняиии ~ и обозначают .0(Д), элемент х Е Х вЂ” ареументвом фуняции, а элемент у Е У вЂ” зависимым переменным. При этом элемент у Е У, соответствующий элементу х Е Х, именуют образом злементпа х при отображении ~ или значением фунят4ии ~ в тпочяе х и обозначают ~(х). Областпъто значений фуняиии ~ (или образом множествва Х при отображении ~) называют множество У(Х) = Ь б У: у = У(х) ~х Е Я ~ обозначаемое В(~).
Множество Х = Ю(~) является прообразом множестпва ~(Х) = В(~) при отображении ~. При заданном элементе у Е У совокупность всех таких элементов х б Х, что ~(х) = у, называют прообразом злементпа у и обозначают ~ '(у), т.е. У (у) ( ~Х: Д(*)=у~. Факту задания отображения (или функции) соответствует запись ~: Х-+У, или ~: х-+ у, или просто у=Дх). Таким 2.1. Понятиа отобрахеыив и <~ункции образом1 ~: Х-~У:~Ф~ЬбХ 3!убУ: у=~(х).
Частофункцию ~ обозначают Дх). Обозначениефункции и ее значения в точке х Е Х одним и тем же символом Дх) обычно не вызывает недоразумений, поскольку в каждом конкретном случае, как правило, ясно, что имеют в виду. Обозначение . ~(х) часто удобнее, чем ~: х -+ у. Например, -при аналитических преобразованиях запись Дх) = х~ удобнее по сравнению с ~: х -+х~.
Чтобы отличать обозначение конкретного значения ~(х) функции при конкретном значении ее аргумента х от обозначения самой функции, в последнем случае иногда пишут ~(х), х ЕХ. Итак, понятие функции состоит из трех неотъемлемых частей: 1) области определения Х; 2) множества У, содержащего значения функции; 3) правила ~, которое для каждого элемента х 6 Х задает единственный элемент у = Дх) Е У. На множества Х и У определение 2.1 не накладывает никаких ограничений. В зависимости от того, какими являются эти множества, получим тот или иной класс функций.
Так, если У С Е, то Дх) называют дейстпвитпельной (или скаллрной) функцией, а если У С Е", то Дх) называют вектпорной функцией. Когдаобластьопределения Х функции ~(х) есть множество Е или некоторое его подмножество, ~(х) именуют функцией дейстпвитпельного (или вещестпвенного) переменного. Когда и Х С Е, и У С Е, ~(х) называют дейстпвитпельной функцией дейстпвитпельного переменного. Если областью определения функции является множество натпррааьяых чисел Я = (1, 2, ...), то ее называют последоватпельностпъю элементпов множестпва У и обозначают И) или (у„), имея ввиду, что у„=Д„=У(п) ЕУ при пе Я, а при У С Е вЂ” числовой последоватпельностпъю (или просто последов атпельностпью).
2.2. Сюръекциа, инъекциа и бмекциа 2.2. Сюръекция, инъекция и биекция Правило, задающее отпображение ~: Х-+У (или фурию ~), можно условно изобразить стрелками (рис. 2.1). Если в множестве У есть хотя бы один элемент, на который не указывает ни одна из стрелок, то это свидетельствует о том, что областпь значений фующии ~ не заполняет все множество У, т,е. ДХ) С У. Если же область значений ~ совпадает с У, т.е. ~(Х) = У, то такую функцию называют сюръеятиивной или короче — сюръеяциеб, и говорят, что функция ~ отображает множество Х на множество У (в отличие от общего случая отображения множества Х в множество У согласно определению 2.1). Итак, ~: Х -+ У есть сюръекция, если ту Е У Зх б Х: У(х) = у. На рисунке в таком случае к каждому элементу множества У ведет хотя бы одна стрелка (рис.
2.2). При этом к некаторым элементам из У могут вести несколько стрелок. Рис. 2.1 Рис. 2.2 В случае А СХ отображение ~: Х-+У порождает отображение Л~ . 'А -+ У, определяемое формулой ~',~(х) = Дх) для х Е А. Это отображение называют сужением отиобраттсеяиа (функции) У на множество А. Говорят также, что ~ является продолжением отпображения (фуяяции) множества А в множество У на множество Х, но обычно продолжают писать ~ вместо Д,~., 74 2. ОТОБРАЖЕНИЕ МНОЖЕСТВ. ФУНКЦИИ 1() у Отображение ~: Х-+У именуют баенпзавным, или би- У енцие4, если каждый элемент у Е У является образом некото- Х рого и при~ом единственного эле- ЛХ) мента из Х, т.е. ЧуЕДХ) =У 31х Е Х: У(х) = у. По сути, функция У в этом случае устанавливает взаимно однозначное соответствие между множествами Х Рис.
3.3 и У, и потому ее часто называют взаимно однозначно4 фунюцие4. Очевидно, что функция ~ биективна тогда и только тогда, когда она одновременно инъективна и сюръективна. В этом случае стрелки (рис. 2.4) соединяют попарно каждый элемент из Х с каждым элементом иэ У. При этом никакие два элемента из Х не могут быть соединены стрелкой с одним и тем же элементом из У, ибо ~ инъективна, и никакие два элемента из У не могут быть соединены стрелками с одним и тем же элементом из Х из-за требования единственности образа в определении 2.1 отображения. Каждый элемент из Х участвует в попарном соединении, поскольку Х вЂ” область определения функции ~.
Наконец, каждый элемент из У тоже участвует в одной иэ пар, ибо ~ сюръективна. Роли Х и У в этом случае как бы совершенно одинаковы, и если повернуть все стрелки вспять (рис. 2.5), то получим иное отображение Если клюбому элементу убУ ведет не более одной стрелки, то ~ называют анъеншавно4 фумнцие4, или анъениае4. Эта функция не обязательно сюръективна, т.е. стрелки ведут не ко всем элементам множества У (рис. 2.3). Итак, функция ~: Х-+У представляет собой инъекцию, если двалюбых различных элемента из Х имеют своими образами при отображении У два различных элемента из У, или Чуб ~(Х) С У 31хЕХ: х = 75 2.3. Обратимое отображение у.
У -+ Х (или иную функцию у), которое тоже и инъективно, и сюръективно, Рис. 2.4 Рие. 2.6 Отображения (функции), допускающие такое обращение, будут играть большую роль в дальнейшем. В частном случае множества Х и У могут совпадать (Х=У).
Тогдабиективная функция будет осуществлять отображение множествва Х на себя. Биекцию множества на себя называют также нреобраэованием. 2.3. Обратное отображение Пусть ~: Х-+У вЂ” некоторал биения и пусть уб У. Обозначим через ~ 1(р) единственный элементп х Е Х, такой, что У(х) = д. Тем самым мы определим некоторое отображение у: У -+ Х, которое является снова биекцией. Ее называют обратиным отиображением, или обратпной биенцией п Часто ее также называют просто обрапьной фуннцией и обозначают У 1. На рис. 2.5 функция у как раз и является обратной к,~, т.е.
у= ~ 1. Отображения (функции) ~ и У 1 являются взаимно обратпными. Ясно, что если функция не является биекцией, то обратной к ней функции не существует. Действительно, если ~ не ииъек~вивна, то некоторому элементу у Е У могут соответствовать несколько элементов х иэ множества Х, что противоречит 76 2. ОТОБРАЖЕНИЕ МНОЖЕСТВ.
ФУНКЦИИ определению функции. Если же ~ не сюрьективна, то в У найдутся элементы, для которых в Х нет прообразов, т.е. для этих элементов обратнал функция не определена. Пример 2.1. а. Пусть Х = У =  — множество действитпельных чисел. Функция ~, определяемая формулой у = Зх — 2, х,у Е В, является биекцией. Обратной функцией будет х = (у+2)/3. б. Дейстпвительная функция ~(х) = хз действительного оеременного х не является сюръективной, поскольку отрица тельные числа из У = В не являются образами элементов из Х=В при ~: Х-«У.
Пример 2.2. Пусть Х = В, а У = В+ — множество положительных действительных чисел. Функция Дх) = а~, а ) О, а у~ 1, является биекцией. Обратной функцией будет '(у) = 1оф,у. 2.4. Композиция отображений Если ~:Х-«У и д:У-«Я', то отображение ~р: Х -«Я', заданное для каждого х Е Х формулой ~р(х) = д(~(х)), именуют композы~ией (суаериоэицией) отпображений (фунвций) ~ и д, или сложной фуювцией, и обозначают до~ (рис. 2,6). Таким образом, сложная функция до~ реализует правило: „Применяй сначала ~, а затем д", т.е. в композиции операций до~ надо начинать с операции ~, расположенной справа.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
