I Морозова В.Д. Введение в анализ (1081368), страница 16
Текст из файла (страница 16)
Множество А~(аД также непустое. Выберем в нем любой элемент и обозначим его а2 и т.д. После выделения таким способом и элементов множество А~(а1, аг, " а ) ~нова не будет пустым и можно будет выбрать еще один элемент а„+1 и т.д. В итоге придем к счетному подмноъкеству (а1, а2, ..., а„, а„+1, ...), которое включено в множество А. ~ 96 2. ОТОБРАЖЕНИЕ МНОЖЕСТВ. ФУНКЦИИ Бесконечное множество, мощность которого превышает мощность счетного множества, называют месче~вмым. Например, мощность множества точек интервала (О, 1) числовой прямой являющегося подмножеством множества И действительных чисел, вышемощности И0 множества Я натуральных чисел.
Это утверждает следующая теорема. Теорема 2.3. Множество (О, 1) несчетно. Допустим, что это множество счетно, т.е. все элементы интервала (О, 1) могут быть записаны в виде некоторого бесконечного перечня действительных чисел: хд, х2, х„, ... (п б Х). Каждое из этих чисел х д= (О, 1) может быть представлено в виде бесконечной десятичной дроби х = = О,ада2...а~...
(у 6 М), где а~ обозначает одну иэ цифр О, 1, 2, ..., 9 и является ~-м десятичным знаком данного числа. Рассмотрим теперь действительное число д„определяемое следующим образом: в качестве его у-го десятичного знака 6. выберем какую-либо цифру между 1 и 8, отличную от ~-го десятичного знака числа х, Чу Е Х. Тогда получим бесконечную дробь (' = 0,6д6р...6 ...6„... (у,п б Я), которая представляет собой число, отличное от любого из чисел х„, причем ~ б (О, 1). Заметим, что использование в качестве 6 цифр 0 и 9 может создать затруднении, поскольку число, в десятичном представлении которого с некоторого места стоят только нули, допускает иное десятичное представление, содержащее с последующего места одни девятки (например, 0,1020000...
= 0,1019999...). Итак, множество (хд, хр, ..., х„, ...) всех элементов интервала (О, 1) не содержит числа ~, принадлежащего этому же интервалу. Установленное противоречие и доказывает, что множество (О, 1) несчетно. > Покажем теперь, что множество Е действительных чисел тоже не является счетным. Функция ~(х) =1д —, х Е- "(О, 1), 97 Д,2.1. Мощыость иыожества г= ~Ь-а)/2 (а. Ь) Рис. 2.12 Таким образом, имеем композицию биективного отображения множества точек числовой прямой Е на множество точек открытой полуокружности и биективного отображения этого 7-щ$ эаимно однозначно отображает интервал (О, 1) на всю числовую прямую.
Поэтому, согласно определению 2.2 эквивалентности (равномощности) множеств, множество Е и его подмножество (О, 1) имеют одинаковую мощность, т.е. сагд (О, 1) = - сагйЕ. Мощность множества Е всех действительных чисел именуют мощмостпью монтпинуума и обозначают сагй Е = И. Иногда вместо И пишут 2"'. Ясно, что И) Ио, т.е. мощность континуума выше мощности счетного множества. Отметим,. что промемсутжи числовой прямой имеют с Е одинаковую мощность. Например, то, что для интервала (а, 6) С Е саго (а, 6) = саго Е, можно показать геометрически (рис.
2.12). Для этого из точки О радиусом г = (6 — а)/2 опишем открытую полуокружность (отсутствие концевых точек у полуокружности условно отмечено на рисунке стрелками) и проведем прямую (Е), перпендикулярную к лучу ОМ, проходящему через среднюю точку М этой полуокружности. Взаимно однозначное соответствие точек полуокружности и интервала (а, 6) можно установить параллельной проекцией (сплошные линии, параллельные лучу ОМ). Центральная проекция из центра полуокружности (штриховые линии, исходящие из точки 0) также устанавливает взаимно однозначное соответствие, но теперь уже точек полуокружности и всей числовой прямой.
98 2. ОТОБРАЖЕНИЕ МНОЖЕСТВ. ФУНКЦИИ последнего множества на множество точек интервала (а, о). В силу биективности композиции биектаеных отпображений устанавливаем однозначное соответствие множества В и его подмножества (а, Ь), т.е. их равномощиость. Примером множества, мощность которого превышает мощность континуума, является множество Р(Е) всех подмножеств множества Е действительных чисел, т.е. сагс1Р(В) > > сагой = И.
Мощность множества Р(й) иногда называют мощностиью гиаермонтинуума. Однако не существует множества с наибольшей мощностью (подобно тому как не существует наибольшего натурального числа), поскольку для любого множества Е мощность сахдР(Е) множества Р(Е) всех его подмножеств всегда больше см6Е.
Например, если саЫ л = Ир, то саЫ Р(Ж) = И > Ио. В 1878 г. Г. Кантор высказал так называемую континуум-гипотезу, впоследствии вошедшую под первым номером в список проблем Д. Гильберта. Согласно континуум-гипотезе И является кардинальным числом (мощностью множества), непосредственно следующим за Ио, или, иначе, не существует бесконечного множества, мощность которого больше мощности счетного множества, но меньше мощности континуума. В 1963 г. американский математик П. Коэн доказал, что континуум-гипотеза неразрешима в рамках существующей теории множеств — ее невозможно ни доказать, ни опровергнуть, можно лишь принять ее или противоположное ей утверждение как аксиому.
Дополнение 2.2. Неподвижная точка отображения Пусть заданы опюбражения ~: Х-+У и у: У-+Х. Теорема 2.4. Если ус~= 1х . Х-+Х, то у саръектиивно, а ~ инъекгпивно. Д.2.2. Неаодвилаюаа точка отобрахенка 99 .ф Если д несюръективно, то в Х найдется элемент. х ЕХ, такой, что х фд(У) Эд(~(Х)) =1х(Х) =Х. Это противоречие доказывает сюръективность д. Если х1,х2 6 Х и х1фх2, то по определению пюждественного отпобРаженил 1у(х1) ~~ 1у(х2). Но тогда дфх1)) у~ ф дфх2)). Отсюда с учетом определения 2.1 отображения имеем ~(х1):ф Дх2), т.е. отображение,~ инъективно. ~ Теорема 2.б.
Отображения 1: Х -+ У и д: У + Х биективны и взаимно обратпны тогда и только тогда, когда я о1 = 1х и У о д = 1г. ° По теореме 2.2 имеем сюръективность и инъективность каждого из отображений 1 и д, т.е. их биективность. Обратно, биективность отображений 1 и д означает вданном случае, что они взаимно обратны, т.е. их номнозиции являются тождественными отображениями. ° Обсуждение этих вопросов имеет определенное практическое значение, так как они связаны с разрешимостью уравнений вида (2.10) Дх) =у относительно х б Х при заданном у Е У. Если имеется отображение д: У -+ Х, такое, что 1 од = 11, то решение обяза тельно существует, но необязательно единственное. Наоборот, существование такого отображения д: У -+ Х, что до1 = 1х, означает: если решение существует, то оно единственно.
И лишь одновременное выполнение условий Уод= 1у и до~= 1х гарантирует существование и единственность решения не только (2.10), но и обратного к нему уравнения д(у) = х относительно у Е У при заданном х б Х. Итак, для однозначного решения (2.10) достаточно построить отображение д, такое, чтобы ~ и д были взаимно обратными отображениями. Но сделать это не всегда просто, а в случае, когда 1 небиективно, невозможно. Путем тождественных ~Ф 100 2. ОТОБРАЖЕНИЕ МНОЖЕСТВ. ФУНКЦИИ преобразованиЙ задачу можно свести к поиску так называемой неподвиасной точяи х' е Х отображения у: Х-+Х множества Х в себя (см.
2.2), для которой х' = у(х'). Отме тим сразу, что в отличие от врео6разования множества Х на себя, которое является биекцией, отображение у может быть произвольным. Особенность неподвижной точки отображения состоит в том, что при отображении она переходит сама в себя, то- У гда как прочие точки при отображении сдвигаются, наприх мер хд переходит в хг и т.д.
° ~~~ ° (рис. 2.13). Неподвижные точки отображения у образуют множество Х', каждый элемент х' Е Х' которого является решением уравнения Рис. 2.13 х = ~р(х). (2.11) (х„) = (хд, х~ = ср(хд), ..., х„+д = гр(х„), ...) элементов х„6 Х, п д= Х. Будут ли приближаться (или, как говорят, сходиться) элементы этой последовательности к неподвижной точке отобра жения? Ответ на этот непростой вопрос зависит от свойств В частности, это множество может быть пусковым (Х' = И) или содержать единственный элемент (Зд х' Е Х' С Х: х' = у(х') ), т.е. решение (2.11) может отсутствовать или быть единственным. Многие задачи вычислительной математики можно свести к отысканию неподвижных точек отображений, для чего используют метод последовательных прибли;жений, или метод итераций, суть которого состоит в построении итерационного алгоритма.
Если задать первое приближение хд Е Х, то можно построить так называемую итерационнро последовательность (см. рис. 2.13) Д.2.2. Неподвиинаа точка отобрамениа 101 множества Х, отображения ~р и выбора элемента х1Е Х в качестве первого приближения (см. Д.8.1 и Д.8.2). Здесь ограничимся лишь иллюстрацией. Пример 2.13. Пусть отображению у в (2.11) отвечает функция у(х)=Лх(1 — х), хЕХ=~О, Ц, Л>0.
Сразу видно, что одна из неподвижных точек этого отображения хо —— О, а вторал х' =1 — 1/Л имеет смысл лишь при -~ > 1. Но обратившись к методу итераций и выбрав в качестве первого приближения х1 Е (О, 1), получим итерационную последовательность (х„~, для которой х„+1 — — Лх„(1 — х„), а б Я, (2.12) Отметим, что (2.12) можно рассматривать как упрощенную математическую модель эволюции биологической популяции с коэффициентом Л размножения особей, относительнал численность х„которых уменьшается через равные промежутки времени пропорционально множителю (1 — х„) из-за ограниченности ресурсов при „перенаселении".
При Л < 1 и х Е Х график функции ~р(х) лежит ниже биссектрисы у = х координатного угла хОу (рис. 2.14) и Чх1 б (О, 1) элементы последовательности (х„) приближаются к точке „притяжения" хо —— О (ломаная со стрелками), т.е. популяция гибнет иэ-.за малости коэффициента размножения.
Если Л > 1, то, как бы у~х близко к точке хо=О ни было х1, элементы последователь- '4 ности (х„) „уходят" от этой „гибельной" точки (она стар (х) Новится точкой „отталкивания"), и популяция выживает, ПРичем возможны такие варианты: Рис. 2.14 102 2. ОТОБРАЖЕНИЕ МНОЖЕСТВ. ФУНКЦИИ 1) для 1 < А < 2 численность х„популяции приближается к х' монотонно, возрастал при х1 <х' (при 1 — х'<х1<1 с п=З) и убывал при х'< х~ <1 — х' (рис. 2.15,а); О х, О х1 х~ !/2 х~ Рис. 2.16 Вопросы и задачи 2.1. Найти множество, на которое отображает множество Х каждая из следующих функций: ~(х) = х2, Х = ~-1, 21; У(х) = ф, Х =(х: -1< х < 2); 2) для 2 < Л < 3 х„приближаетси к х' немонотонно, ломанаи спираль закручивается по часовой стрелке (рис. 2.15,6); 3) для 3< Л < 4 Ух1Е (О, 1) х„не приближается к х', причем в некоторых случалх итерационный алгоритм „зацикливается" (рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
