I Морозова В.Д. Введение в анализ (1081368), страница 19
Текст из файла (страница 19)
Рис. 3.10 3.3. Сложная и взаимно обратные функции Нередко приходится сталкиваться с заданием либо описанием „функции от функции", или, как говорят, суперпозииии (наложения) фуняций, называемой также сложной фуня®ией. В этом случае аргумент и у функции у = Ь(и) не является независимым переменным, а сам зависит от другого аргумента (положим, от аргумента х в виде зависимости и = у(х) ). Тогда для задания зависимости у от х нужно вместо промежутпочного переменного и подставить его выражение через х, записав у = Дх) = Ь(у(х)). Вместо такой записи иногда пишут у = Дх) = Ь о у(х) и говорят о композиции Функций.
При вычислении значения сложной функции сначала по зна чению х вычисляют значение промежуточного переменного и, а лишь затем — ее значение у. Функции у = Ь(и) и и = у(х) могут образовать суперпозицию у = Ь(у(х)), если только пересечение области определения первой из них с областьто значений второй не является пустым множеством, т.е. 3.3. Сложыва и взаииыо обрвтыые фУыиции 119 рис. 3.11 иллюстрирует построение области В® оТ) и графиКа СЛОЖНОЙ фуНКцнн Я и Т(8). Функцию у= Дх) называ- т, ют инъентивной (или просто ат~ инъекцией), если различным щтумщ> — — щ значениям аргумента х соот- ЩТ т, ветствуют различные значения функции У(х) Е И. 0 Предположим, что функция о~тя ~ инъективна и имеет область 0 определения,0(~) = Х С В.
Тогда для любой точки уЕВ(~)= Рис. 3.11 = ДХ) можно найти такую точ. ку х Е Х, что у = ~(х). В силу инъективности функции ~ не существует другой точки х1 Е Х, удовлетворяющей условию у = ~(х1). Поэтому если каждой точке у Е ДХ) поставим в соответствие ту однозначно определенную точку х б Х, для которои у = ~(х), то на множестве ДХ) определим функцию, называемую обратной н Яуняции (или обратной дмл фуннции) ~ н обозначаемую ~' 1.
Функции ~ и ~ 1 называют взаимно обратными. Обратную функцию ~ ' можно определить на множестве ~(Х) только для инъективной функции ~. Функция У ' отображает множество ~(Х) на множество Х (см. 2.3), т.е. каждый элементп х Е Х является образом элементпа ~(х) б ДХ) при отпображении ~ '. Из определения обратной функции следует (~ 1) =~, ~ 1(Дх)) =х ЧхбХ, У(У '(у)) =у ФуЕУ(Х) Пример 3.6. Функция Ч(Т) в примере 3.5 инъективна по физическому смыслу: для нагрева тела до различных значений температуры Т необходимо затратить различные количества теплоты ц.
Поэтому можно определить функцию Т(ц), 120 3. ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ обратную к Я(Т) и характеризующую изменение температуры тела в зависимости от количества подведенной к нему теплоты. Пример 3.7. Областью определения функции Дх) = х~ является вся числовая прямая В. Эта функция не инъективна на В, поскольку Дх) = ~(-х). Но если функцию ~ рассматривать только на множестве Х = (х б В: х > О), то получаем инъективную функцию. Обратная функция У 1(р) = ~/у определена на множестве У = ~(Х) = (у Е В: у > О).
Ясно, что функция ~' 1(у) = — /у также будет обратной к функции Дх) = х~, рассматриваемой на множестве Х = =(х ЕВ: х <О). ф Заметим, что обозначение аргумента функции ~ буквой х, а аргумента функции ~ ' буквой р целесообразно, но, разумеется, несущественно. По традиции, аргумент любой функции чаще обозначают буквой х. Если функция х =~ '(у) является обратной к функции у= = Дх), то множество точек плоскости, определяющих график той и другой функции, одно и то же.
Поэтому в зтом случае говорят, что графики обеих функций совпадают. Но если потребовать, чтобы аргумент обратной функции был также обозначен буквой х, то надо вместо функции х = ~ 1(р) рассматривать функцию у= ~ 1(х). Теперь при традиционном расположении координатпных осей (ось Ох горизонтальна, а ось Оу У вертикальна) графики взаимно х2 У=~ обратных функций будут различными (один будет зеркаль! х ным отражением другого относительно биссектрисы у = х о х 1-й и 3-й четверти координат- 1/2 ной плоскости). Графики взаимно обратных функций, рассмотренных в примере 3.7, изоРис.
3.13 бражены на рис. 3.12. 3. ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ 122 Монотонные функции Пример 3.8. Функции у = х и у = хз являются возрастающими на всей числовой пря кой Е, а функция у = х~— убывающей на интпервале (-оо, О) и возрастающей на.интервале (О, +со), но не является монотонной на любом интервале, содержащем точку х = О. Функцию у = с = сопвФ, согласно определению, можно считать одновременно и неубывающей, и невозрастающей. 'Четные и нечетные функции Пусть функция Дх) имеет областпь определения О(~)= = Х С Е, симметричную относительно точки О начала отсчета на числовой прямой Е (рис. 3.14), т.е.
если х Е Х, то и -х Е Х. В общем случае О(~) может быть обьединением промежутпков, попарно симметричных относительно точки х = О, и не обязана содержать эту точку. Определение 3.4. Функцию Дх), определенную на множестве Х С Е, называют чешмой, если Д-х) = ~(х) тх (.= Х, и мечетиой, если Д-х) = -У(х) тх Е Х. Пусть функция ~(х) определена на множестве Х С Е и х1 и хг — любые две точки этого множества, для которых выполнено неравенство х1 < х~. Функцию ~(х) называют на этом мможестттве 1) возрастиающей, если Дх1) < У(хр); 2) меубывающей, если Дх1) < Дх~); 3) убывающей, если Дх1) > Дхг); 4) мевозрастиающей, если ~(х1) > ~(х~).
Во всех четырех случаях функцию называют монотомиой ма мможествве Х, причем в случаях 1) и 3) говорят, что функция стеклово моиоттвонма, а в случаях 2) и 4) — просто монотонна. Ясно, что строго монотонная функция инъектпивна и поэтому существует обратпная к ней функция, тоже строго монотонная. 124 з. ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ что доказывает возможность и единственность представления ~(х) в виде суммы четной и нечетной функций.
~ Отметим, что смена знака перед функцией не меняет ее четности, а при сложении только четных или только нечетных функций их сумма сохраняет свойство четности своих слагаемых. Произведение любого числа четных функций есть четная функция, а четность произведения нечетных функций зависит от четности числа сомножителей: при четном числе сомножителей имеем четную функцию, а при нечетном — нечетную. Функцию, не обладающую свойством четности или нечет- ности, называют фуннцией общего вида. Ограивченные фувкции Определение 3.6. Функцию ~: Х -+ У С Е называют на множестве Р С Х: а) ограниченной сверху, если множество ДР)=шх): хЕЩСЕ значений функции как подмножество в Е ограничено сверху, т.е.
существует констпанта М е Е, такая, что Дх) < М Чх Е Р; б) ограниченной сниэу, если множество ДР) ограничено снизу, т.е. существует константа т Е Е, такая, что Дх) > т Чх ЕР; в) ограниченной, если существует константа С > О, такая, что Щх)~ ( С И Е Р. Ясно, что функция будет ограниченной на множестве Р в том и только в том случае, если она ограничена и сверху, и снизу. Если множество Р совпадает с областью определения функции и она ограничена на этом множестве, то такую функцию называют просто ограниченной.
Функцию, не являющуюся ограниченноЙ на множестве Р, называют неограниченной на этом множестиве. Это означает, что 125 3.5. Осиавиые злеиентврные фуипа~ии ~С > О За Е В: ~У(а)~ > С. Очевидно, что такая функция будет неограниченной на любом множестве, которое включает мно- ъкество О. Пример 3.10. а. Функция ограничена на множестве О = й, так как О < Дх) < 1 Ух Е ~ В. Графиком этой функции (рис.
3.15,а) является кривая, называемая локомолв .4мьеза по имени итальянского математика, профессора Болонского университета Марии Аньези (1718-1799). б. Функция д(х) = 1/х ограничена на полуинтпереаае [1, +оо), так как О < д(х) < 1 Чх Е ~1, +оо). Эта же функция не ограничена на интервале (О, +оо), поскольку ЧЫ > О За Е Е (О, +оо): д(а) > Ы (рис. 3.15,б). На этом интервале данная функция является лишь ограниченной снизу. У -2 -1 О 1 2 х О ЯМ 1 2 х Рис. 3.1б 3.5.
Основные элементарные функции Среди огромного числа функций в ходе развития матема тики постепенно была выделена небольшая совокупность сравнительно простых функций, особенно часто встречающихся в самых разнообразных приложениях математического анализа и потому подвергнутых наиболее подробному исследованию. 126 3. ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ Функции, входящие в эту совокупность, называют основными элемектварными фрюециями, хотя они и не имеют какого- либо общего принципиального признака. При изучении других, более сложных функций, как правило, широко используют уже известные свойства основных элементарных функций, большинство из которых рассматривают в школьном курсе математики.
Поэтому ограничимся перечислением этих функций с небольшими комментариями. Стиепенную функцию обозначают (3.14) где з ŠŠ— любое постоянное действительное число. Поведение этой функции существенно зависит от иоказатпеля стевени з. Если з Е 2, то (3.14) — рациональная фуннция. Если же з=Ь/пе Я (Й Е2, пЕ М, причем Й и и не имеют общих делителей и поэтому несократимы), то ха — хй! — ФР. (3.15) Функцию (3.15) относят к иррациональным фуннциям. Вычислить ее значения уже не столь просто по сравнению со зна; чениями рациональной функции. Еще труднее это сделать для функции (3.14), когда иррационально само число з (например, з = 42), но этот вопрос потребует специального рассмотрения.
Область определения Х)(у) функции (3.14) также существенно зависит от множества, к которому принадлежит число з. Если зЕ Х, то 0(у) =Е. Если же з — целое отрицательное число, то О(у) = Е~(0), т.е. иэ числовой прямой следует исключить точку х = О. В случае з = 1/п, п Е Х .О(у) =Е при и нечетном и В(у) =(х ЕЕ: х >О) при п четном. Теперь нетрудно установить, что при з = й/и б (~, й б 2, п Е И (Й и и несократимы): 1) О(у) =Е, когда и нечетно и й) 0; 2) .0(у) =Е~(0), когда и нечетно и 1 <0; 127 3.$.
Основные элементарные функции 3),0(у) = (х ~ Е: х > О), когда н четно и Й > О; 4) Р(у) = (х Е Е: х > О), когда и четно и Й < О. Случай иррационального в рассмотрен ниже (см. логариф,мическую функцию). Показательной называют функцию у=а~, а>О, аф.1. (3.16) Логарифмическро функцию обозначают (3.17) у=1оц,х, где а — постоянное положительное отличное от единицы число, и определяют как обратную по отношению к показательной Функции. Это означает, что из (3.17) следует х = аэ, а подробнее: для любого числа х > 0 существует единственное число у, Областью определения этой функции служит вся числовая прямая.
Эта функция положительна, монотонно возрастает, если а >1, и монотонно убывает, если О < а <1 (рис. 3.16). При любом а > 0 выполняется равенство а~ = 1, но для произвольных значений х эту функцию не удается вычислить при по- х мощи конечной последовательах а>1 ности алгебраических операций (сложения, вычитания, умноже- а<1 ния, деления и возведения в це- 1 х лую степень). Поэтому дан- а<1 ную функцию относят к неаагебраическим, или транс- 1ояех цендентным, функиилм (от Рис. 3.1В латинского выражения апой а1- КеЬгае йгез Фгапвсепй$ — то, что превышает силы алгебры).
Впервые термин „трансцендентный" использовал Г. Лейбниц в '1686 г., а на функции этот термин в 1724 г. перенес И. Бернулли. 3. ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ 128 удовлетворяющее соотношению ат = х. Именно это число у ц называют логарифмом числа х пооснованию а и обозначают 1ои,х, так что а~'з ' =х.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
