I Морозова В.Д. Введение в анализ (1081368), страница 21
Текст из файла (страница 21)
Монотонны ли исходные функции и обратные к ним? Вопросы и эедечи 137 3.13. Являются ли периодическими функции: а) Ыпх+сов(х/2)+1; б) вш~х+Сдх; в) сумма единичной функции Хевисайда и целой части числа? 3.14. Приведите примеры и постройте графики периодических функций с периодами: а) Т =1; б) Т=1/2; в) Т = 3. 3.1б. Определены композиции ~ о д = ~(д(х)) и д о ~ = -д(~(х)). Будут ли они периодическими функциями, если Дх) периодическая? 3.18. Показать, что если функция ~ периодическая с периодом Т, то У~ также периодическая функция с периодом Т, < Т. Привести пример функции,~, когда Т~ < Т.
3.17. Функции ~ и д периодические с ненулевыми периодами Ту и Тя. Показать, что если Ту,Тя ЕЯ, то функция ~+д периодическая. Каков ее период? 3.18. Выяснить четность определенных на Е функций: а) совх+в~п х; б) х +апх; в) 2 +х. 3.19. Может ли монотонная на Е функция быть четной или нечетной? 3.20. Указать определенную на Е функцию Дх), такую, что функция в~п~(х) монотонна на Е.
3.21. Найти функцию, обратную к дробно-линейной. При каком условии эти функции совпадают? 3.22. Найти функцию, обратную к х+ ~х], и построить ее график. 3.23. Доказать, что агсв~пх+ агссовх = л/2. 4. ОСНОВНЫЕ ЗАКОНЫ КОМПОЗИЦИИ И АЛ1ГЕБРАИЧЖСКИЕ СТРУК'ГУРЫ 4.1. Законы композиции На практике обычно используют множества, над элементами которых могут быть выполнены определенные операции, или, как говорят, на множестве заданы внутренние законы композиции.
Оцределение 4.1. На множестве Е задан втупьренмий 6ииариый замом момиозиции т, если каждым двум элементам а,0Е Е поставлен в соответствие элемент с'б Е, называемый комиозицией этих зяементпов и обозначаемый с= ат0. Иначе говоря, внутренним бинарным законом композиции т на множестве Е называют отображение множества Е х Е в Е. Пример 4.1. а. На множестве Ж действительныж чисел сложение и умножение являются внутренними бинарными законами композиции, обозначаемыми а+0 и а 0 соответственно (умножение обозначают также а х 0 или просто а0). б. На множестве Р(У) всех подмножеств некоторого множества У бинарными законами композиции будут операции объединения и пересечения. ф Полезными для использования являются те законы композиции, которые обладают определенными свойствами. Определение 4.2.
Бинарный закон композиции т на множестве Е называют ассоциашивиым, если Ча,0,сб Е ат(0тс) = (ат0) тс. 139 4.1. Законы компоэнции (а) фа Так, например, (2з) =84=21~, а 2з =281. Замечание 4.1. Если закон ассоциативен, то можно по индукции определить композицию конечной последовательности элементов е а1тазтазт ...та„= т а;, или т а;,,7=(1,2, ..., и). 1=1 ~6,7 Определение 4.3. Бинарный закон композиции т на множестве Е называют воммутиатвивмым, если Ча,ЬЕ Е атЬ=Ьта. Пример 4.3. а. На множестве Х сложение и умножение являются коммутативными законами. б.
На том же множестве возведение в степень не будет коммутативным законом, так как в общем случае а'~ Ь'. Определение 4.4. Элемент а Е Е называют реауаарным относительно закона т, если Чх,уб Е (атх=ату)Л(хта=ута) =«х= у. Пример 4.4. а. На множестве И всякий элемент регулярен относительно закона сложения и умножения. б. На множестве Е ие.аю чисел элементОне регулярен относительно умножения (например, О 3=0 8, но 3,"68). Пример 4.2.
а. На множестве Я натпурааьных чисел ~ложение и умножение являются ассоциативными законами композиции. б. На том же множестве М возведение в целую положительную степень неассоциативно, так как в общем случае 140 4. ОСНОВНЫЕ ЗАКОНЫ КОМПОЗИЦИИ Замечание 4.2. Регулярность элемента дает возможность сокращать на него. Например, выражение атх = а ту в случае регулярности элемента а может быть записано как х = у. Различают регулярность слева, когда атх = ату можно сократить на а, и регулярность справа, когда хна = ута также влечет х = у. Очевидно, что элемент а регулярен относительно закона т тогда и только тогда, когда он регулярен справа и слева одновременно. Определение 4.5.
Нейтпрааьным элементиом относительно бинарного закона композиции ~ на множестве Е называют такой элемент е Е Е, что Чх б Е хте=етх=х. Если такой элемент существует, то он единственный. Действительно, предположим, что существуют два нейтральных элемента е и е'. Тогда имеем е=е'те =ете'=е'. Нейтральный элемент является регулярным. Пример 4.5. а. На множестве Е действительных чисел 0 — нейтральный элемент относительно сложения; 1 — относительно умножения. б.
На множестве Р(Е) всех подмножеств множества Е пустое множество является нейтральным элементом относительно объединения, основное множество Š— относительно пересечения, так как ао А = А ма = А, Аи Е = Еи А = А УА Е Р(Е). Определение 4Я. Пусть внутренний бинарный закон т задан на множестве Е, имеющем нейтральный элемент е. Симметричным к элементу х б Е (иногда говорят: обратным, нрошивоаоложным) называют такой элемент х' Е Е, что хтх'= х'тх = е. В этом случае х называют симметриэуемым элементпом. 4.1, Законы козшоэиции 141 Пример 4.8.
а. На множестве Е симметричным к некоторому числу х при сложении будет то же число, взятое с обратным знаком. б. При умножении на множестве (~ рациональиых чисел симметричным относительно х ,-Е О будет 1/х. 4 Для множества Е, обладающего нейтральным элементом е относительно внутреннего бинарного закона композиции т, справедливы следующие две теоремы. Теорема 4.1. Если т — ассоциативный закон и симметризуемый элемент, то он обязательно регулярен относительно т и имеет единственный симметричный элемент.
° Предположим, что в множестве Е существуют два симметричных относительно х элемента х' и х". Тогда, согласно определениям 4.2, 4.5 и 4.6, имеем х! х~те х~т(хтх~~) ратх) т и етхи и т.е. симметричный относительно х элемент — единственный.- Для обоснования регулярности симметризуемого элемента х предположим, что хта=хтд. Тогда х'т(х та) — х'т(х тб) и, используя свойство ассоциативности т, получаем (х'тх) та = = (х'тх) т Ь, или, согласно определениям 4.6 и 4.5, е та = е т О и а = 0, т.е., по определению 4.4, элемент х регулярен относительно т. ° Теорема 4.2. Если т — ассоциативный закон, а х, у— симметризуемые элементы, то хту также симметризуемый элемент.
4 Если х' — симметричный элемент для х, а у' — для У, то у'тх' будет симметричным для хту, так как в силу ассоциативности (х ту) т(у'тх) — хт(уту) тх'= хтх' = е 4. ОСНОВНЫЕ ЗАКОНЫ КОМПОЗИЦИИ 142 (у'т х~) т (х ту) — у'т (х~тх) ту = ут у' = е, что соответствует определению 4.6. ~ (х~.у) тх — (хту) ь(утх) и хт(х~.у) = (ратх) ь(хту). Пример 4.Т.
а. На множестве Е умножение дистрибутив- но относительно сложения, т.е. (а+ Ь)с = ас+ Ьс и с(а+ Ь) = са+ сЬ, б, На том же множестве Е сложение не является дистрибутивным относительно умножения, так как (аЬ)+сф. (а+с)(Ь+с). в. На множестве Р(Е) всех подмножеств множества Е пересечение и объединение, согласно свойствам этих операций, взаимно дистрибутивны относительно друг друга. Замечание 4.3.
Если в определении 4.7 выполнено лишь первое соотношение, то говорят о дистрибутивности т относительно ~ только справа, а если выполнено лишь второе— о дистрибутивности т относительно ~ только слева. Так, на множестве Х возведение в степень относительно умножения дистрибутивно только справа: (ху)' = х'у', однако при х ф 1 и Чх,у Е Х х~" ф З~х". Определение 4.8.
Если в подмножестве Р С Е множества Е композиция любых двух элементов из Р также принадлежит Р, то Р называют замямутвым относительно рассма триваемого закона т на Е, или устойчивым иодмножеством множества Е относительно закона т. Определение 4.7. Пусть на множестве Е заданы два внутренних бинарных закона композиции т и ~. Говорят, что т дистрабутвевем относительно ~, если Ух,у,х Е Е 4.1. Законы коинозиции В этом случае говорят, что на подмножестве Е определен индуцированныб на Е законом т внутвренниб закон комноэищии тр. Пример 4.8.
а. Множество В четных чисел является эа мкнутым подмножеством относительно сложения и умножения на множестве Х натуральных чисел. б. Множество Е' регулярных элементов множества Е, снабженного ассоциативным законом т, устойчиво относительно т, так как если два элемента множества Е регулярны, то ® их композиция регулярна. и. Множество Е" симметризуемых элементов множества Е, снабженного ассоциативным законом т, устойчиво относительно этого закона. Определение 4.9. Пусть дано множество Г, снабженное законом тр.
Если существует множество Н ) Р, снабженное законом тв, таким, что тр совпадает с законом, индуцированным на Р законом тв, то Н называют расширением множестпеа Р, а закон тн — распростпранением на Н закона тр, определенного на Р, или говорят, что Р вложено в Н. Надо сказать, что не так уж много законов композиции приносят ощутимую практическую пользу. Для наиболее распространенных используют аддитивную и мультипликативную формы записи. В аддитивной форме записи закона композицию двух элементов а и 6 обозначают с=а+6, нейтральный элемент (в тех случаях, когда это не вызывает путаницы) часто обозначают О, симметричный относительно а обозначают -а.
Если для закона композиции т используют такие обозначения, то т, как правило, называют аддитиеным законом ттомеозит4ии. В мультипликативной форме записи закона композицию элементов обозначают с= а:т0 (нли с = ао), нейтральи ими и симметричный элементы соответственно 1 и а ' (в тех 4. ОСНОВНЫЕ ЗАКОНЫ КОМПОЗИЦИИ случаах, когда это не приводит к путанице).
При таком обо- значении сам закон т называют мультик вияотвивяым. 4.2. Основные алгебраические структуры В табл. 4.1 обозначено: число законов, заданных на множестве; свойство ассоциативности рассматриваемого закона композиции; свойство хоммутативности' нейтральный элемент; К— Н— В зависимости от того, определен ли на множестве только один захон композиции (аддитиеный или мультиплихатиеный) или оба, а также от того, какими свойствами эти законы обладают, множества имеют одно из специальных названий: иохугрупиа, групиа, яольцо, тпехо, поле. Все эти множества относят к основным амгебраичесяим стпрутпурам (иногда их также называют аюгебраичесяими системами).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
