I Морозова В.Д. Введение в анализ (1081368), страница 17
Текст из файла (страница 17)
2.15,в), т.е. число особей в популяции периодически повторяется; 4) для А > 4 итерационный алгоритм (2.12) неработоспособен и может при некоторых и давать значения х„ф Х. Иэ этого примера видно, насколько важно располагать общим признаком наличия у отображения неподвижных точек и устанавливать еще до реализации итерационного алгоритма его работоспособность. 103 Воиросы и зедвчв ~(х) = х/(2х — 1), Х = [0,1); ~(х) = з~п я'х, Х = ~0, 3/4); Дх) = 1о~эх, Х = (1/3, 27~", Дх) =~/х — Р, Х=(0, Ц.
Для каждой функции найти график отображения и построить его. 2.3. Доказать, что ~Я А~) = й ДА~), 1=1 1=1 если ~: А~ -+ У вЂ” взаимно однозначное отображение (й = =Т, а). 2.4. Пусть множества Х и У содержат соответственно т и я элементов. Найти число отображений множества Х в множество У, в том числе сюръекций, инъекций и биекций. 2.5. В каком случае справедливы равенства ДА й В) = = ~(А) й ~(В) и ДА ~ 8) = ~(А) ~ ~(В), где А и  — множества из области определения функции ~? 2.6. Доказать дистрибутивность произведения произвольных множеств по отношению к операциям объединения, пересечения и разности. 2.7.
Являются ли отношениями порядка: а) „х тяжелее у" в множестве гирь; б) „х старше у" в множестве людей; в) „х подчинен у" в множестве должностей; г) „х не превосходит Р в множестве номеров домов на улице; д) „иэ х следует Р" в множестве высказываний; е) „х находится внутри у" 2.2. Верны ли равенства ~ '®А)) = А и ~(~ '(5)) =5, где А — множество иэ области определения функции ~, а Я вЂ” множество из области значений этой функции? 104 г. ОТОБРЛЖЕНИЕ МНОЖЕСТВ.
ФУНКЦИИ в множестве окружностей на плоскости? Какие из этих множеств являются частично упорядоченными? 2.8. В хоккейной команде 2 вратаря, 7 защитников и 10 нападающих. Сколькими способами тренер может образовать стартовую шестерку игроков, состоящую иэ вратаря, двух защитников и трех нападающих? 2.9. Замок сейфа имеет пять дисков с цифрами О, 1, 2, ..., 9 на каждом диске. Замок можно открыть при наборе на дисках шифра в виде определенной комбинации цифр. На набор одной комбинации цифр уходит пять секунд. Достаточно ли пяти суток для того, чтобы открыть сейф, не зная шифра? 2.10.
Найти сумму квадратов биномиальных коэффициентов для Уи б 1Ч. 2.11. Существует ли система вложенных интервалов (а1, Ь1) 3 " Э (а, Ь ) ) (а +1, Ь +1) 3 "., и Е М, имеющая общую точку? Всякая ли система вложенных интер- валов имеет непустое пересечение? 2.12.
Доказать, что для конечного множества А, содержащего и элементов, мощность сагдР(А) множества Р(А) всех подмножеств множества А равна 2". 2.13. В каких случаях справедливы равенства: сагд(АОВ) =сагдА; сагд(Ай В) =сагдА; сагд(А~В) =сагдА; сагд(А х В) =сагс1А? 2.14. Для изображения цифр почтового индекса используют множество из девяти элементов, которые на рис. 2.16,а обозначены буквами а, Ь, ..., ~ (сами цифры изображены на рис.
2.16,б). 105 Вопросы и эвдачи БИРАН ИЕП Рис. 2.16 а. Записать множества А~, (й = О, 9) элементов, использу.емых для иэображения каждой иэ десяти цифр. Есть ли среди этих множеств непересекающиеся? б. Записать для каждого из элементов 8 (8= а, 6, ~) множество В, цифр, в иэображении которых использован элемент 8. Какие элементы использованы наиболее часто и наиболее редко? в. Указать цифры, наименее и наиболее близкие к цифре 3, считая мерой близости цифр число общих элементов в их изображении. Какой операции над множествами А~ соответствует множество, определяющее меру близости цифр? г. Сколько различных фигур можно построить путем комбинации элементов исходного множества, считая, что в каждой комбинации может участвовать от О до 9 элементов? 3. ДЕИСТВИТЕЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ ДЕЙСТВИТЕЛЬНОГО ПЕРЕМЕННОГО 3.1. Функция и ее график Пусть задано,множестпво Х С Е точек числовой прамой.
Определение 3.1. Дейстивитиелъмой функцией дейстпвитпелъного иеременного (далее просто функцией), определенной на множестве Х, называют соответствие ~, которое каждой точке х Е Х соотносит некоторую единственную точку у Е Е. При этом множество Х называют областиъю оиределенил (или областиъю сущестивованил) функции ~ и обозначают .0(~), точку х Е Х вЂ” аргументпом функции, точку у Е Е, соответствуюшую х, — значением функции в точке х и обозначают Дх). Множество У(Х) = (~(х) б Е: х Е Х~ называют областпъю значений функции ~ и обозначают В(~). Факту задания функции ~ соответствует запись у= = ~(х), х Е Х. Обозначение функции в виде ~(х) ввел Д. Эйлер. Итак, понятие функции состоит иэ трех неотъемлемых частей: 1) области определения .0(~) = Х С Е; 2) области значений В(~) = ~(Х) СЕ; 3) правила У, которое каждой точке х Е Х ставит в соответствие некоторую единственную точку у = Дх) б ДХ) С Е.
Определение 3.2. Множество точек плоскости с координатачи (х, Дх)), х Е Х называют графиком функции определенной на множестве Х С Е. 107 3.1. Функцив и ее грвфик Напомним, что графиком У функции у = йх + Ь является з ~У прямая, графиком у = ах 2 кривая, называемая иауа6оЬ+~ „дна, а графиком у = Ь/х ! Ых вииербола (на рис. 3.1 даны графики этих функций при значениях Й=1/2, Ь=а=й= -2 -! 0 ! 2 х -! = 1). Нетрудно установить, что 0Ях+Ь) = П(ахи) =В= = (-оо, +оо), В(йх+Ь) = И, В(ах') = [О, +оо) при а > 0 и В(ах~) = (-оо, 0) при а < О, В(Ь|х) =й~~О~, ~(й| ) =~. Не для всякой функции график будет линией в обычном представлении. Характерным примером является фующам Дарите, носящая имя немец- кого математика П.Г.Л.
Дирихле (1805-1859). Она равна еди- нице, если аргументом является рациональное число, и нулю— в противном случае, т.е. ~ 1 при х Е(3), ~ 0 при хай~© (3.1) Ясно, что если à — график функции Дх), то графики функций -Дх) и Д-х) можнополучитьэеркальнымотражением Г относительно осей Ох и Оу соответственно, а графики функций ~(х — а) и ~(х)+Ь вЂ” сдвигом графика ~(х) соответственно вдольоси Ох на а вправо, если а>0 (влево, если а<0) и вдоль оси Оу на Ь вверх при Ь>0 (вниз при Ь<0).
Графики функций Дх/й), й >О, и с~(х), с>0, можно получить „растяжением" Г вдольоси Ох в й раз и вдольоси Оу в с раз. Таким образом, путем простых преобразований графика Г исходной функции Дх) нетрудно построить график функции вида раух — г)+з, р,д,г,8ЕЕ. з. дкйствиткдьныи Функиии 108 3.2. Основные способы задания функции Пример 3.1. Стержень длиной 1 опирается одним концом на тележку, а его другой конец скользит вниз вдоль вертикальной стены с постоянной скоростью ю (рис. 3.2). В некоторый момент времени 1е тележканаходилась на расстоянии 6 от стены. Найти момент времени 1, коо гда тележка находится на расстоянии х х от стены (д(х (Е).
Чтобы тележка прошла расстояние х — 6, верхний конец стержня должен Рис. 3.2 опуститься на расстояние /Р— Р— — т'1е — хх, равное о(С вЂ” Се). Отсюда следует эавнснмость от х в виде функции 1=~(х): Расстояния 1 от стены тележка достигнет к моменту времени /~~и Для изучения функции ее необходимо задать, т.е. указать правило, позволяющее по значению аргумента находить соответствующее ему значение функции. Это правило можно указать различными способами. Рассмотрим основные. Функция у=Дх), х ЕХ эаданалвным аиалитичесяим спосоБом, если дана формула, указывающая последовательность математических действий, которые надо выполнить с аргументом х, чтобы получить значение Дх) этой функции (например, у =х +Зх, х б В; у= ~Д, х > О; у=в1пх, х Е (О, я] ). Умение записать функцию в виде формулы уже само по себе может быть решающим при рассмотрении простейших задач.
3.2. Оснанные способы эаданиа функции 109 ансли в начальный момент времени 8о = 0 стержень вертикален (ь = 0), то функция 8 = ~(ж) примет вид а $' в этом частицам случае, очевидно, равно 1/о. Пример 3.2. Висячий мост длиной 6 подвешен на канате, закрепленном на одинаковой высоте на береговых опорах, расстояние между которыми 1 (рис.
3.3). Провисая, д, у канат принимает форму парабмы, причем точки А и В О Х подвеса моста к канату опус- Ь каются на расстояние Ь. Найти наибольшее провисание в Рис. З.З каната (стрелу провеса). Парабола, описывающая форму каната, имеет уравнение р = ах2 при выборе начала координат в точке наибольшего провисания каната (см. рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
