I Морозова В.Д. Введение в анализ (1081368), страница 22
Текст из файла (страница 22)
В нашу задачу не входит подробное знакомство с этими структурами; ограничимся лишь их классификацией и рассмотрением наиболее часто используемых в дальнейшем примеров (табл. 4.1). При этом если на множестве определены два закона композиции, то второй закон дистрибутивен относительно первого, а нейтральный элемент относительно первого заКона не имеет симметричного элемента относительно второго закона. Отметим, что в эту таблицу включены лишь наиболее употребительные на практике алгебраические структуры.
Этот минимум информации, несомненно, принесет пользу читателю, повысит его эрудицию, будет способствовать пониманию дальнейшего материала, поможет работе с научной литературой. Более подробную информацию о представленных в таблице алгебраических структурах можно найти в литературе по теории групп, теории колец и т.п.
145 4.2. Основные алгебраические структуры симметпричный (обратпный, иротпивоположный) эле- ментп; наличие укаэанного свойства или элемента. Таблица 4.1 Классификация алгебраических структур Н А К Н С А 2 Ассоциативное кольцо 2 Абелево кольцо 2 Тело 2 Поле 10-644 п Алгебраическая структура Полугруппа (аддитивная) Полугруппа (мультипликативная) Полугруппа (аддитивная с нулем) Полугруппа (мультипликативная с единицей) Группа (аддитивная) Группа (мультипликативная) Абелева группа (аддитивная) Абелева группа (мультипликативная) Ассоциативное кольцо (с единицей) Абелево кольцо (с единицей) 1 закон— аддитивный П закон— мультипли- кативный 14б 4.
ОСНОВНЫЕ ЗАКОНЫ КОМПОЗИЦИИ Пример 4.9. а. Множество И действительных чисе4 образует поле. б. Множество Е целью чисел образует абелеву группу относительно сложения, а также абелево кольцо с единицей. От носительно умножения множество Е не является группой, хотя нейтральный элемент (единица) существует, но для произвольного целого числа обратное число не является целым. ь. Множество 9+ положительных рациональных чисел и множество Й+ положительных действительных чисел — примеры абелевых групп относительно умножения (с нейтральным элементом — единицей).
г. Рассмотрим множество 0 = (а, 6, с) с внутренним законом композиции т, действующим согласно таблице Из приведенной таблицы ясно, что 1) закон т ассоциативен, поскольку ат(6тс) =(ат6)тс и т.д. ~ 2) относительно этого закона существует нейтральный элемент, им является элемент с; 3) для каждогоэлемента хай существуетсимметричный: для а им будет элемент 6 (т.е. а'=6), для 6, наоборот, а (6'= а), для с — сам элемент с (с'=с); 4) закон т является коммутативным, так как таблица симметрична относительно главной диагонали, проходящей через верхнюю левую и нижнюю правую клетки таблицы.
ф Остановимся более подробно на-нескольких часто используемых алгебраических структурах. 147 4.3. Повв комамксных чжеа 4.3. Поле комплексных чисел (а, Ь)+(с, а) =(а+с, Ь+Ы). (4.1) 9та операция ассоциатпивна и коммутпатпивна; она облада. ет (в соответствии с определением 4.5) недтпральным элементпом (О, 0), и, по определению 4.6, для каждой пары (а, Ь) можно указать симметпричны6 (протпивоположный) элемент (-а, -6).
Действительно, Ч(а, 6) Е Й~ (а, Ь)+ (О, 0) = (О, 0) + (а, Ь) = (а, Ь), (а, Ь) + (-а, -Ь) = (-а, -Ь) + (а, Ь) = (О, 0). Кроме того, (а, Ь) = (а, Ь) + (О, 0) = (а+ О, Ь+ 0) = (а+ О, О+ Ь), или (а, Ь) =(а, 0)+(О, 6). Умножение определим равенством (4.2) (а, Ь) (с, а) = (ас - Ы, аа+ 6с). (4.3) Легко проверить, что введенная таким образом операция ассо- циативна, коммутативна и относительно сложения дистприоу- тпивна. Эта операция обладает нейтральным элементом, кото- рым является пара (1, 0), поскольку (а, Ь) ° (1, 0) = (1, О) ° (а, Ь) = (а, Ь). Итак, относительно введенных операций сложения и умножения множество Е~ является абелевым кольцом с единицей (см. табл.
4.1). ~о Рассмотрим множество Ез всевозможных упорядоченных ,ар (х, у) дейстпвитпельных чисел х,у Е Е. Для таких пар (а, Ь) =(с, а) тогдаитолькотогда, когда а=с и Ь=а. Введем на этом множестве Й~ внутпренние законы композиции в виде операций сложения и умножения. Сложение определим-равенством 148 4. ОСНОВНЫЕ ЗАКОНЫ КОМПОЗИЦИИ Между множеством пар (х, 0) е Е~ и множеством действи тельных чисел х Е Е нетрудно установить взаимно однознач ное соответствие (х, 0) ь-ь х, из которого следует, что (х1, 0)+ (хр, 0) ++ х1+хр и (х1, 0) '(хя, О) ++ х1х2, т.е. сложение и умножение таких пар выполняются так же, как и действительных чисел. Заменим пары вида (х, 0) действительными числами, т.е.
вместо (х, 0) будем писать просто х, в частности вместо (1, 0) — просто 1. Особое место в множестве й~ занимает пара (О, 1). Со гласно (4.3) она обладает свойствами и получила специальное обозначение ~, причем Тогда с учетом (4.2) и (4.3) любую пару (х, р) б И~ можно представить в виде (х, р) = (х, 0) + (О, у) = (х, 0) + (у, 0) (О, 1) = х+ ь'у. Обозначим г = х+ ~у и У = х — щ. Элемент У называют комимеасно соарлженным элементу г. С учетом (4.3) (х +у )г =х — ~у.
Отсюда Р х — 3 х~+ у~ х~+ уз (4.4) Если х не совпадает с нейтральным элементом (О, 0), т.е. если х и р не равны 0 одновременно (обозначают х,-ЕО), то х~+ + у2 ф. О. Тогда обратным (симметричным, противоположным относительно операции умножения — см. 4.1) к элементу г=х+щ будеттакойэлемент г ', что гх '=1 или Ухх '=У, т.е. 4.3. Поле козшлексиых чисел Следовательно, всякий элемент л ф. 0 имеет обратный к вбе относительно операции умножения, а множество Е~ с веденными на нем в соответствии с (4.1) и (4.3) операция- и сложения и умножения является, таким образом, волем (см. табл. 4.1). Его называют полем (или мколсестпвом) комттлвяскых чисел и обозначают С В силу указанного выше взаимно однозначного соответствия (х, О) ЕЕ Ф+хЕЕ Поле комплексных чисел является расширением поля действительных чисел.
Любой элемент л Е С называют ттомплекскым числом, а егозапись в виде г=х+ту, где х,убЕ и т2=-1,— алнебраичесмой формой предстиавлекил комплексного числа. При этом х называют дейстпвитпелъкой частпью комплексного числа и обозначают пег, а у — мкимой частпью и обозна чают 1тл (т' именуют мкимой едикицей). Заметим, что мнимая часть комплексного числа есть действительное число. Название для у не совсем удачно, но как дань исторической традиции осталось и по сей день. Термин „комплексное число" ввел в 1803 г. французский математик Л.
Карно (1753-1823), но систематически этот термин стал употреблять с 1828 г. К. Гаусс, чтобы заменить им менее удачное „мнимое число". В русской математической литературе Х1Х в. испольэовали теРмин „составное число". Уже у Р, Декарта противопоставлены действительная и мнимая части комплексного числа. В дальнейшем первые буквы французских слов гее1е (действительный) и 1шафта1ге (мнимый) стали обозначениями этих частей, хотя многие математики считали сущность мнимых величин неясной и даже загадочной и мистической. Так, И.
Ньютон не включал их в понятие числа, а Г. Лейбницу принадлежит Фраза: „Мнимые числа — это прекрасное и чудесное убежище божественного духа, почти что амфибия бытия с небытием". Поскольку множество Е2 всевозможных пар действительных чисел можно отождествить с точками на плоскости, ка- 150 4. ОСНОВНЫЕ ЗАКОНЫ КОМПОЗИЦИИ ждому комплексному числу л = х+ ту соответствует точка М(х, у) (рис, 4.1), что позволяет говорить о геометприческоа форме предстпавлениа комплексного числа.
При отожде. щ2 ствлении комплексных чисел с точ- ками плоскости ее называют яом у — — М(к,у) тмеясной п,восяостпьто, или пмос- яостпью комп,неясных чисел. На О оси Ох располагают действитель-х х х ные числа, т.е. числа л, дли которых 1т л = у = О, а на оси Оу — числа л = = ~у, называемые чистпо мнимыми, длл которых Ке г = х = О.
ПоэтоРис. 4.1 му координатпные оси в комплексной плоскости называют соответственно де4стпвитпельной и мнимой. Точки плоскости, отвечающие комплексно соприженным элементам л и 7 (яомтмьексно сопр*женным числам), симметричны относительно действительной оси, а точки, изображающие л и -л, симметричны относительно начала координат.
Расстоиние (4.5) точки М(х, у), изображающей комплексное число х = х+ту на плоскости, от начала координат называют моду.лем ком~меясного чис.ла и обозначают ~л~ или г. Угол, который образует радиус-вектор точки М с положительным направлением оси Ох, называют аргументпом комплексного числа и обозначают Агцл или у (см.
рис. 4.1). Отсчет угла производит как в тригонометрии: положительным направлением изменении угла у считают направление против часовой стрелки. Ясно, что Агин определен не однозначно, а с точностью до слагаемого, кратного 2л. Единственное значение аргумента, удовлетвориющее условию -~г «р < г (иногда О < ~р < 2я ), называют главным и обозначают ахдг.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
