I Морозова В.Д. Введение в анализ (1081368), страница 26
Текст из файла (страница 26)
б) 3 6 2~ 15 14. в) 2х — 5хз — 2х — 2; г) х~+4хз — 25хз — 16х+84; д) хб 6хб+ 11х4 хз 18х2+ 4.20. Доказать, что каждый многочлен нечетной степени с действительными коэффициентами имеет по крайней мере один действительный нуль. 4.21. Найти многочлен наименьшей степени с действительными коэффициентами, нулями которого являются: а) 3 и 2 — г; б) ~ (корень кратности 2) и -1 — г; в) О, 1, ~. 4.22. Найти: а) многочлен с нулями х~+ хз, хз+ хз и хз+ х~ при условии, что числа х~, хз и хз являются нулями многочлена х -х — 1.
з з б) значение а, при котором нули многочлена хз+хз+2х+а образуют геометрическую прогрессию; в) сумму квадратов и сумму кубов нулей многочлена Зх4— — 5хз+ 2х+ 1; г) сумму всех коэффициентов многочлена: 1) (4х — 5)'е; 2) (4хз — 2х — 1) ~з(5х~ — 7)4« д) многочлен Р(х) наименьшей степени по условию: 1) Р(-3) = 13, Р(4) = 13, Р(5) = 21; 2) Р(-1) = 4, Р(О) = 3, Р(1) = О, Р(2) = 7; 3) Р(-1) = -1, Р(1) = О, Р(3) = 1, Р(5) = 2.
176 4. ОСНОВНЫЕ ЗАКОНЫ КОМПОЗИЦИИ 4.23. Найти четность подстановок ( 1234567~ (3564217~ ) ~5 6 4 7 2 1 3/' ) ~,2 4 1 7 6 5 3/' ~27548361~ ~35872614(' 123 ......... в-1в 246 ... 135 123 ......... в-1в 135 ... 246 е) 1 2 3 ... в — 1я~ вп — 1в — 2 ... 2 1/' 12 3 4 ... п-1п 4.24. Записать группу симметрий квадрата, найти четность каждой подстановки иэ этой группы, построить таблицу, аналогичную табл. 4.2, и проанализировать ее.
5. НЕПРЕРЫВНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ МЕТРИЧЖСКИХ ПРОСТРАНСТВ 5.1. Понятие метрического пространства Под пространством понимают мкожестпво, между элемеюпами которого установлены определенные соотношения. Определение 5.1. Множество М называют метрическим пространством, если имеется правило, которое позволяет для любых двух точек х и у указать число р(х, у) (расстолние от х до у), причем это число удовлетворяет следующим требованиям (аксиомам): а) Р(х, у) ) О при х~у и р(х, х) =О длялюбого х из М; б) Р(х, у) = Р(у, х) для любых х, у из М (симметрия расстояния); в) Р(х, х) ~Р(х, у)+Р(у, г) для любых х, у, х из М. О последнем требовании говорят, что расстояние должно удовлетворять неравенству треугольника (или аксиоме треугольника): длина любой стороны треугольника не превосходит суммы длин двух других сторон. Правило, которое позволяет по паре точек х, у из М находить число р(х, у), называют метрикой пространства М.
Заметим, что любое подмножестпво М'С М метрического пространства М само является метрическим пространством с той же метрикой, которая была задана во всем пространстве М. Итак, задание метрики на множестве М, или, что то же самое, задание расстояния на этом множестве, есть задание неотрицательной действительной функции р, определенной на произведении МхМ и удовлетворяющей аксиомам а) — в). 178 5.
НЕПРЕРЫВНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ Согласно аксиоме в) для расстояния имеем р( у) <р(х, )+Ф, у), р(, у) < р(л, х)+р(х, у). Отсюда р(х, у) - р(х, у) < р(, ), р( у) — р(х у) < р( х). Правые части последних двух неравенств совпадают согласно аксиоме б), а левые части отличаются лишь знаком.
В итоге с учетом свойств абсомотпного значения числа получаем широко используемое неравенство ~р( у) - рЬ у)~ < р(х ) (5.1) р( у) = в. По аналогии можно ввести метрику в Е", полагая расстояние между точками х — (х1у х2у ° ° ° у х~у ° ° -~ хв) н у = (у11 у2$ ° '7 у6 " ) уи) равным (5.2) р(х, у) = которое в элементарной геометрии соответствует теореме; разность длин двух сторон треугольника не больше длины третьей стороны.
Пример 6.1. а. Любое множество М на числовой 12рямой Е является метрическим пространством с расстояныем р(х, у) = ~х — у~ для любых х и у из М Сй. б. Множество М в ллоскосеи В2 будет метрическим пространством, если в качестве расстояния между точками х = (х1, х2) н у = (У1, У2) принять обычное геометрическое расстояние 179 $.2. Окрестности и кетрическом нространстве в р(х, у) = тах)ж; — у;) или р(и, у) = ~)х< — у;).
(5.3) 1ж1 В произвольном множестве М можно ввести так называемую дисмретинро метириму, положнв р(х, р) =1 прн х ф у н ~(х,х)=0. 5.2. Окрестности в метрическом пространстве Понятие акрестпностпи в произвольном метприческом иросвранстве является обобщением аналогичного понятия для точки числовой прямой. Пусть е — некоторое положительное число (е > О) н а — точка некоторого метрического пространства М (аЕ М)).
Определение б.2. Множестпео Ща, е) = (х Е М: р(а, х) < е) называют е-омрестиностиъю точяи а. С позиций геометрии множество 0(а, е) естественно на звать шаром (точнее, отимрытиым шаром) радиуса е, прнчем точка а есть нентир этого шара. Множество точек х, Удовлетворяющнх неравенству р(а, х) ~~г (гбао, г>0), называют заммнуизым шаром радиуса г с центром в точке а. Наконец, точки, находящнеся на расстояннн г от точки а, так что р(а, х) = г, образуют сферу радиуса г с центром в точке а. Це указанную для В" метрику называют еа~мидовой (нногда «стиестиеенной, ибо прн и = 1, 2, 3 она дает обычное расстоянне между точками).
Всюду, где не будет специальных оговорок, для множества Е" будем испольэовать эту метрику. Однако для этого множества можно ввести метрику, отлнч«ую от евклидовой, например 180 б. НЕПРЕРЫВНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ Итак, е-окрестность точки а в метрическом пространстве есть открытый шар радиуса е с центром в этой точке. В част ности, 'е-окрестность точки 'а Е Й для любой иэ метирик вида (5.2) и (5.3) представляет собой на числовой прямой интер ваа с иеитром в а длины 2е. На паоскостпи е-окрестность точки а Е Ж~ в случае метрики (5.2) есть круг (открытый, без ограничивающей его окружности) радиуса е с центром в этой точке (рис.
5.1,а), а в случаях (5.3) — квадраты (без граничного контура) соответственно со стороной (рис. 5.1,6) и диагональю (рис. 5.1,в), равными 2е. В трехмерном пространстве е-окрестностью точки а Е Жэ для метрики (5.2) будет шар (без ограничивающей сферы) радиуса е с центром в этой точке (рис.
5.2,а), а для метрик (5.3) — соответственно куб с ребром 2е (рис. 5.2,б) и октаздр с диагональю 2е (рис. 5.2,в), так что термин „открытый шар" не нужно понимать буквально. х2 ©2+ х, О а,-е а, и,+в х, Оа1-в а, а,+ю х, б Рис. 5.1 Х2 б Рис. 5.2 181 $.2. Окрестыостм в иетрическон пространстве пусть теперь Ща, е1) и 0(а, ез) — две е-окрестности одной и той же точки а некоторого метрического пространства.
Выбрав нумерацию так, чтобы ппп(е1, ез) = е1, окрестность 0(а, е1) можно включить в 0(а, е2) и потому Ч(а, е1) й 0(а, е2) = 0(а, е1) = У(а, пцп(е1, е2)), (5.4) Зе=р(х, у) < р(х, л)+р(х, у) <е+е=2е, а это невозможно. ф Свойство отделимости, принятое как аксиома, выделяет класс пространств, называемых хаусдорфовыми по имени немецкого математика Ф. Хаусдорфа (1868-1942).
Определение б.З. Множество ~1 С М называют опвпрытым, если оно вместе с каждой своей точкой содержит некоторую е-окрестность этой точки. Термины „открытый промежуток", „открытый шар" уже использовались ранее. То, что это было оправдано, доказывает следующая теорема. Теорема б.2. Открытый шар У=(хЕМ: р(а, х) <г~ ра. диуса г с центром в точке а метрического пространства М есть открытое множество. т.е. пересечение любых двух е-окрестностей одной и той же точки есть е-окрестность этой точки.
',Георема б.1 (свойство отделимости). Для любых двух различных точек х и у некоторого метрического пространства существуют е-окрестности 0(х, е) и 0(у, е), имеющие пустое пересечение. < Согласно аксиоме а) иэ определения 5.1 метрического пространства, при хф-у р(х, у) >О. Положим р(х, у) =Зе. Тогда 0(х, е) П 0(у, е) = И. В самом деле, если бы это пересечение содержало какую-нибудь точку з, то с учетом аксиомы в) из определения 5.1 и определения 5.2 е-окрестности мы имели бы 182 $.
НЕПРЕРЫВНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ ~ Пусть хо Е У, так что р(а, хо) =то< т'. Рассмотрим е-ок рестность 0(хо, е) точки хо радиуса е< т — то. Эта е-окрестность в силу определения 5.2 будет целиком включена в О. В самом деле, для любого х Е 0(хо, е) по неравенстпву твреугольника имеем р(а, х) < р(а, хо)+р(хо х) < го+е < то+ай-то=ай Таким образом, открытый шар вместе с любой своей точкой хо включает и некоторую е-окрестность этой точки, что соответствует определению 5.3 открытого множества. ~ Определение 5.4. Любое открытое множество метрического пространства М, содержащее точку хо, наэывают омрестпностпью этой тпочми и обоэначают обычно 0(хо).
Согласно теореме 5.2 любая е-окрестность 0(хо, е) точки хо является открытым множеством, содержащим эту точку, а потому окрестностью точки хо. Очевидно, что любая окрестность 0(хо) точки хо, согласно определению 5.3 открытого множества, включает некоторую е-окрестность Щхо, е) этой точки. В силу такой вэаимосвяэи все утверждения, касающиеся окрестностей точек метрического пространства, достаточно формулировать и доказывать только для е-окрестностей рассматриваемых точек.
Утверждать, что объединение любой совокупности окрестностей точки хо и пересечение конечного числа окрестностей этой точки есть окрестность точки хо, поэволяет следующая теорема. Теорема 6.3. Объединение любой совокупности открытых множеств и пересечение любой конечноЙ совокупности открытых множеств являются открытыми множествами. 4 То, что объединение открытых множеств является открытым, следует непосредственно иэ определения 5.3 открытого множества. Пусть точка хо принадлежит открытым множествам 01, 0р, ..., У„и входит в первоеиэ них вместесосвоей ел-окрестностью Щхо, е1), во второе — с ер-окрестностью 6.3. Окрестности в метрическом нространстве У(хо, е~) и т.д. Тогда е-окрестность У(хо, г) этой точки, где г = пип(е1, ез, ..., е„), содержится в каждом из множеств 01,0~, ..., 0„и, следовательно, содержится в их пересечении.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
