I Морозова В.Д. Введение в анализ (1081368), страница 28
Текст из файла (страница 28)
Разделив его на два равных, найдем отрезок [аэ, Ц, который в 2 раза меньше, чем [а1, 61], и обладает тем же свойством, что и [а1, 61]. Таким образом можно Очевидно, что множество, содержащее только конечное число точек, компактно. Множество И не является компактным. Всамом деле, интервалы (-я, в) СИ при або обраэуютоткрытое покрытие И.
Любое конечное число таких интервалов содержится в одном интервале конечного радиуса и, следовательно, не покрывает всего множества И. Аналогично можно показать, что множества И~, Иэ, ..., И" не компактны. Можно сформулировать также более общее положение: любое неограниченное подмножество метрического пространства не компактно. В дальнейшем будем иметь в виду только открытое покрытие множества, опускал слово „открытое". Нетрудно установить, что объединение конечного числа компактных множеств компактно.
Действительно, пусть А; С С М (~ = 1, и) — компактные множества и  — некоторое покрытие объединения А множеств А;. Ясно, что В является покрытием для любого А; и всилу компактности А; для него из В можно выбрать конечное подпокрытие. Таким обраэом, для всех А; из В можно выбрать и конечных подпокрытий, составляющих конечное подпокрытие множества А, а это означает, согласно определению 5.12, что А компактно.
190 5. НЕПРЕРЫВНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ построить бесконечную последоватпелъностпь вложенных отп. реэ нов [а1, Ь1] э [аг, Ьг] Э ... Э [а~, 6„,] Э ..., тп б ~, Можно доказать, что в В" замкнутый ограниченный параллелепипед, т.е. множество точек (х1, хр, ..., х„), определенных системой неравенств а1 ~~ х1 ~~ 61 а2 ~~ Х2 ~~ 62 ° ° ° а~ 4 Х С» 6~~ где а1, ар, ..., а„и Ь1, 62, ..., 6„— конечные числа, является компактным множеством. Для этого следует использовать тот же метод последовательного деления, но по отношению к каждому из и исходных отрезков [а1, 61], [аз, Ьр], ..., [а„, 6„], что приведет к тому, что на каждом этапе деления количество частей параллелепипеда будет увеличиваться в 2Я Еще раз отметим, что и отрезок, и рассматриваемый па раллелепипед являются ограниченными и эамкнутпыми множествами в соответствующих метрических пространствах И и обладающих общим свойством: ни один из них не может быть покрыт конечным числом множеств из В.
Согласно приниипу вложенных отпреэков эти отрезки имеют хотя бы одну общую точку, которую обозначим через с~. Покрытие В содержит открытое множество У С Е, которому также принадлежит эта точка, причем, согласно определению 5.3 открытого множества, существует интервал (Ы вЂ” е, а+е), е ) О, целиком включенный в У. Отрезок [а~, 6,„] имеет длину ! =(Ь-а)/2 и при условии 1 <е будет включенным в указанный интервал, а значит, и в У. В итоге пришли к противоречию: по построению отрезок [а, Ь ] не может быть покрыт конечным числом множеств из В и в то же время его можно покрыть одним из них, а именно множеством У. Это противоречие и доказывает компактность отрезка [а, 6].
~ 6.6. Оаределание непрерывного отобрахеыии у". Оказывается, что в таких метрических пространствах компактные множества полностью исчерпываются ограниченными и замкнутыми множествами. Понятия компакта (компактного множества) и ограниченного замкнутого множества ото~кдествляет следующее утверждение, приводимое беэ доказательства. 'Утверждение 5.2. В метрическом пространстве Е" компактными являются только ограниченные и одновременно за мкнутые множества. $.6. Определение непрерывного отображения Пусть ~: Х -т У вЂ” отпображение метпрического иростпранстпва Х с метрикой р в метрическое пространство У с метрикой Ы; а — предельнал тпочка множестпва Х. Определение б.13. Отображение ~: Х ~ У называют непрерывным в тиочке аЕ Х, если для любого е > 0 существует такое о=о(е) > О, что из р(а, х) < о, х Е Х, следует ~(~(),п )) < Запись 8(е) подчеркивает, что в зависит от е.
Определение 5.13 означает, что, какова бы ни была е-окрестпностпь Ч = У®а), е) С У точки ~(а) Е У, существует такая 6-окрестность 0 = 0(а, 8) С Х точки а, что,~(0) С У. Если отображение непрерывно в некоторой точке а, то ее называют тиочкой непрерывностии этого отиображения (или данной функции). В противном случае говорят, что отображение разрывно (или функция разрывна) в рассматриваемой точке а, и ее называют тиочкой разрыва отпображения (функции). Дейстпвитпельнал функция ~: Х-+У СЕ (со значениями в Й) будет непрерывной в точке а Е Х, если Че>0 38>0: (р(а, х)<8, хЕХ=~$У(х) — Да)$<е), (5.6) 192 5.
НЕПРЕРЫВНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ а действите,яьная функция ~: Х С Ж-+ У С И действитель ного переменного непрерывна в точке а Е Х, если М>0 36>0: (~х-а1(6, хЕХ~~У(х)-Да)~<е). (5.7) Определение 5.14. Отображение ~: Х вЂ” ) У, непрерывное в каждой точке пространства Х, наэыва1от непрерывным на Х. Пусть А — собственное подмножество множества Х. Если А — открытое множество, то отображение (функцию) ~ назовем непрерывным на А, если оно непрерывно в каждой точке х Е А согласно определению 5.13, Если же А — ограниченное замкнутое множество, то отображение назовем непрерывным на А, если оно непрерывно в каждой внутренней точке х Е А, и, какова бы ни была граничная точка а множества А, для любой окрестности 'Ч(6) С У точки 6=Да) найдется такая окрестность 0(а) С Х точки аб А, что Дб(а) й А) С Ч(6).
Учитывая определение сужения отображения ~ на множество А (см. 2.1), можно дать следующее определение. Определение 5.1б. Отображение ~: Х -+ У называют непрерывным ма множествве А С Х, если сужение отображения ~,~. А -~ У непрерывно в каждой точке пространства А. Множество функций, непрерывных на множестве А, принято обозначать С(А). Отметим, что если х Е А С Х и отображение ~ непрерывно в точке х, то сужение этого отображения на множество А также непрерывно в точке х. Обратное не всегда верно. Пример 5.5.
Если 6 — фиксированная точка множества У, то функция Дх) = — 6 Чх Е Х является непрерывной на множестве Х. В этом случае неравенство д(~(а), ~(х)) (. справедливо для любых а и х из Х, а в качестве 8 (см. определение 5.13) можно взять любое положительное число. о.б. Опрр4еленне непрерывного отображеннв 193 Пример 5.В. Рассмотрим единичную фунхцию Хевисойда (3.4) (см. рис. 3.6,6) Ф)= 0 при я<0, 1 при ж>0.
Замечание б.1. Действительная функция Дх) действительного переменного ж ЕЕ непрерывна на отрезке [а, Ь],если она непрерывна в интервале (а, Ь) и в двух граничных точками а и Ь. Интервал является открытым множеством и включает окрестность любой своей точки. Поэтому с учетом (5.7) ~(х)ЕС(а, Ь):С~ ЧжоЕ(а, Ь), Че>0 =М>0: ~х-хо~ <6=~0'(ж) -Дхо)~ <е. (5.8) Непрерывность в точках а и Ь означает выполнение условий: Че > 0 =М > 0: 0 <» ж — а < 6 =~ ~Дю) — ~(а) ~ < е, (5.9) М>0 36>0: 0<Ь-я<6-: ~~(ж)-ДЬ)~<е. (5.10) Функция У(ж) будет непрерывна на отрезке (а, Ь1 лишь при одновременном выполнении условий в (5.8) — (5.10). Пример 5.7. В метрическом пространстве Х с метрикой Р рассмотрим действительную функцию, определяемую соотношением ~(х) =р(х, а) ЕЕ ЧАДЕХ, Во всех точках ж ЕВ числовой прямой, за исключением а =О, зта функция непрерывна (см. пример 5.5).
В точке ж = 0 свойство непрерывности нарушено. Действительно, положим ~=1/2. При любом 6>0 существуют точки ж ЕЕ, удовлетворяющие неравенству ~ж-0~ <6, для которых ~ц(ж) -п(0)~ >1/2. Стало быть, функция ц(ж) не является непрерывной на множестве Е. Но если, например, рассмотреть сужение данной функции на множество 10, Ь), Ь>0, то, согласно определениям 5.12 и 5.14, п(ж) будет непрерывна на ~0, Ц. б.
НЕПРЕРЫВНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ 194 где а — фиксированная точка из Х. Непрерывность этой функции в каждой точке хо б Х следует из неравенства (5.1) в виде ~р(х, а) -р(хо а)~ < р(х, хо). (5.11) Действительно, если выбрать любое е > 0 и положить 8 =е, то из условия р(х, хо) < е с учетом (5.11) получим $Дх) — ~(хо)~ = ~р(х, а) — р(хо а)$ < е, Пример 5.8. Действительная функция (см.
рис. 3.1 в случае Ь = 1) непрерывна в любой точке х ф 0 числовой прямой. В самом деле, рассмотрим произвольную точку хо ф. 0 и предположим, что выполнено неравенство (5.12) <81 х хо которое задает окрестность точки 1/хо. Непрерывность функции ~(х) = 1/х в произвольной точке хо ф. О, а значит, и непрерывность на метрическом пространстве И ~ (О~ будут доказаны, если для этой точки можно указать о-окрестность, в которой будет выполнено условие (5.12). Именно из (5.12) путем тождественных преобразований попытаемся получить т.е., согласно определению 5.12, рассматриваемая функция непрерывна в точке хо Е Х.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
