I Морозова В.Д. Введение в анализ (1081368), страница 31
Текст из файла (страница 31)
В частности, если ~(аЩ8) < О, т.е. функция на концах отрезка имеет ненулевые значения разных знаков, то справедливо следующее утверждение. Утверждение 6.4. Если действительнал функция ~(х) непрерывна на отрезке 1а, Д и на концах отрезка принимает разные по знаку значения, то внутри отрезка существует точка у, в которой Ду) =О. Свойства отображения линейно связного множества устанавливает следующая теорема. Теорема 6.12. Образ линейно связного метрического пространства при непрерывном отображении является линейно связным метрическим пространством. ~ Пусть ~: Х -+У является непрерывным отображением линейно связного метрического пространства Х в метрическое пространство У. Докажем, что образ ДХ) является линейно связным метрическим пространством.
Рассмотрим две произвольные точки Да) и ~(8) множества ДХ). В силу линейной связности Х точки а и ~3 можно, согласно определению 5.16, соединить некоторым путем, т.е. существует непрерывное отображение у некоторого отрезка [а, Д С Е в множество Х, такое, что ~р(а) =а, 208 5. НЕПРЕРЫВНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ Однако рассматриваемая функция не является равномерно непрерывной на множестве ~0, +со).
В самом деле, для любь1х точек х1 — -х+6 и хз— - х иээтогомножестваимеем при Ю>0 щз1) — дар)) = )(х+6)~ — х~) = )2х6+Р) > 2Ы Рис. $.4 Говорят, что отображение ~: Х -+ У удовлетворяет условию Лииеиица на Х, если существует такая кокстамтп При заданном е > 0 для выполнения условия ~2х6+Р) < е не обходимо взять 0 < е/~2х ~, но выбрать отсюда о независимо от х невозможно.
На рис. 5.4 видно изменение значения 8, удовлетворяющего при заданном значении е > О определению 5.17, по мере удаления области возмож- У(х) ного расположения точек х1 и хз от начала координат. Р Свойство равномерной не- прерывности при заданном зна- 28 чении е > О наглядно можно 8 представить как возможность 4~ „ ~, прямоугольной рамки рдг8 со сторонами е и 6 (см. рис. 5.4) „скользить" вдоль кривой графика функции, не изменяя ориентации сторон относительно системы координат и не пересекая кривую горизонтальными сторонами. Изображенная на рисунке рамка может свободно спуститься из своего положения вдоль кривой к началу координат и затем подняться по левой ветви параболы до исходного уровня.
Но при попытке подняться выше исходного уровня рамку „заклинивает" и тогда нужно уменьшать длину 0 горизонтальной стороны. Однако при любом малом 6> О подъем рамки будет возможен лишь до определенной высоты у. Аналогичная ситуация возникает и при любом ином заданном значении е >О. 4~ 209 5.9.
Равномернвн непрерывность д ~ О, что при'любых х1, хр Е Х Ы(Дх1), Дх~)) < Йр(х1, х2). (5.21) 0(а, д) = (х б Х: р(а, х) < д~, такая, что Чх Е 0(а, о) Ы(~(а), Дх)) < е/2. Рассмотрим локрытпие Щ множества Х построенными для каждой точки а Е Х шарами У(а,6/2) =(хбХ: р(а, х) <6/2~, радиусы которых в 2 раза меньше, чем соответствующие радиусы 8-окрестностей 0(а, 8). В силу компактности Х (см. определение 5.12) из этого покрытия можно выбрать нонечное лодлонрытпие шарами 71(а1, о1/2), ..., Ч;(а;, о;/2), ..., Ч„(а„, о„/2), 1=1, и и принять д' = ппп (61/2, ..., 6;/2, ..., 6„/2).
Теперь возьмем любые точки а', а" Е Х, такие, что р(а',а") < <о'. Пусть а'Е У;(а;, 8;/2) для некоторого ~, т.е. р(а;, а') < < о;/2. Но тогда а' Е 0(а;, о;). Покажем, что и а" будет принадлежать этому шару. Имеем в силу свойства расстояния (см, аксиому в) из определения 5.1 метрического пространства) р(а", а;) < р(а", а')+р(а', а;) < — '+ — '=8;. 2 2 14-644 легко видеть, что функция, удовлетворяющая на Х условию Липшица (по имени немецкого математика Р.
Липшица (1832-1903) ), является равномерно непрерывной на Х, причем, согласно определению 5.17, достаточно выбрать 6 < е/Ь. Теорема 6.13. Непрерывная на номлантпе Х функция ~: Х -+ У равномерно непрерывна на этом компакте. Выберем произвольное е > О. В силу непрерывности на Х, согласно определению 5.13, для каждой точки а Е Х существует о-окрестпностпь 210 5. НЕПРЕРЫВНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ Это означает, что а" б 0(а;, о1). На основании того х, свойства расстояния ЙЦ(а"), Да')) < Ы(~(а"), Да;)) +Ы(Да;), У(а')) < -+ — =е.
Итак, для каждой пары точек а',а" Е Х из условия р(а',а") < <о' следует неравенство д(~(а'), Да")) < е, причем число 8' зависит лишь от выбора е и не зависит от положения этих точек, что, по определению 5.17, соответствует равномерной непрерывности ~ на Х. ~ Для действительной функции ~(ж) действительного пере менного из этой теоремы последовательно вытекают два следствия. Следствие 5.6. Непрерывная на отреэке [а, Ц Е И действительная функция Дж) равномерно непрерывна на этом отрезке.
° я В самом деле, по теореме 5,6 любой отрезок числовой прямой является компактом и в силу теоремы 5.13 непрерывнал на отрезке функция равномерно непрерывна на этом отрезке. ~ Следствие Б.Т. Если функция ~(ж) непрерывна на некотором отрезке ~а, Ц б И., то при заданном е > О существует такое о > О, что отрезок можно разбить произвольно на участки длиной менее о, на каждом из которых ~~(ж1) -Дх~)~ < е, каковы бы ни были точки х1 и жр этого отрезка.
По следствию 5.6, функция ~(ж) равномерно непрерывна на отрезке ~а, 6~. Это позволяет в силу определения 5.17 при заданном е > 0 выбрать такое о > О, что на части этого отрезка длиной менее о абсолютное значение разности любых двух значений функции Дж) будет меньше е (средя этих значений могут быть наибольшее и наименьшее значения функции на этой части отрезка). )~ 211 Вернемся к примеру 5.13, в котором рассмотрена функция у(х) = х~, равномерно непрерывная на любом отрезке число- ой прямой. Для этой функции разбиение заданного отрезка ~а, Ь1 на участки с малым абсолютным значением ее изменения определяется величиной 6 > О, зависящей от конца отрезка, наиболее удаленного от точки О. Например, для отрезка [а, Ь] (см.
рис. 5.4) можно взять 6 < 6з, при этом абсолютное значение изменения функции на каждом участке разбиения будет меньше а. Длину участков по мере приближения к точке О можно увеличивать, ограничиваясь всего четырьмя отрезкаМи ~Ь вЂ” 63, Ц, ~Ь вЂ” 63 — 62, Ь вЂ” 631, ~Ь вЂ” 63 — 62 — 61, Ь вЂ” 63 — 62) и ~а, Ь - 6з — 6з — 611, на которых абсолютное значение изменения функции Дх) = хз будет меньше е.
Вопросы и задачи 5.1. Является ли метрикой на Е функция р(х, у), заданная в виде: а) )з-у); б) Дх-д~; в) ( ' г) 1х-у! (1+ ~х -у~) д) в1п (х-у); е) агсФд~х-у~? 5.2. Указать наибольший промежуток А С Е, на котором можно задать метрику р(х, у) в виде: а) ~х+у~; б) х — у; в) ~а — а~~, а>0; г) ~~х~ — ~у~~; д) ~в1пх-в1пу~; е) ~в1п~х-в1п~р~. б.З. Доказать, что соотношение р(х, у) =Щх) — Ду)~, х,уЕ бХ, задает метрику на множестве Х тогда и только тогда, когда функция ~: Х-+Е инъективна.
6.4. Является ли метрикой на Е~ функция р(х, у), заданная для любых элементов х = (а1, Ь1) и у= (ар, Ьз) из Е~ в виде: а) шахбаз — а1~, ~Ьг — Ь1О; б) ~аз — а1~+~Ьз — Ь1~; в) у 212 Б. НЕПРЕРЫВНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ 6.6. Пусть С вЂ” множество всех точек окружности. Удо влетворяет ли аксиомам метрики длина кратчайшей дуги этой окружности, соединяющей любые точки х, р Е С? 6.6. Образует ли множество всех прямых на плоскости, пересекающихся в одной точке, метрическое пространство, если метрикой считать абсолютное значение острого угла между любыми двумя прямыми? 6.7. Является ли метрикой на множестве С точек комплексной плоскости функция р(х1, гр), заданная в виде: а) ~хг — хг~ при Кех1 =Кедр и ~х1 — я~~+1 при Кех1 ~6 у~ Кениг ', б) ~31 32~ при ~31~ = ~зр~ и ~31 3~~+ 1 при ~х1~ 'ф ~3Я~ в) ~х1 — хЯ при агих1 = агин~ и ~х1~+ ~гг~ при агин ф ф агин~, Г) ~л1 — 3~~ при Кел1 = Кеха и ~Кем — Кезз~ + ~1шл1~ + +~1гпг~[ при Кех1 ф Кедр? 6.8.
Проверить, верны ли утверждения: а) внутренность пересечения двух множеств равна пересечению их внутренностей; б) внутренность объединения двух множеств равна объединению их внутренностей; в) граница объединения двух множеств включена в объединение их границ. 6.9. Построить на числовой прямой такое множество, что: а) все его точки изолированные; б) нижняя грань расстояний между его точками равна нулю; в) оно не имеет предельных точек на числовой прямой. 6.10. Доказать, что отрезок числовой прямой нельзя представить в виде объединения двух ненустых непересекающихся замкнутых множеств.
6.11. Выяснить, являются ли открытыми (или замкнутыми) следующие множества точек числовой прямой: 213 а) Х; б) 9; в) Е~Х; г) (1, 1/2, 1/3, д) Е ~ (О, 1); е) Е ~© ж) (х Е Е: созх > О); з) (х Е Е: вьпх >ОЦ; и) В~[0, Ц; к) (1, 1/2, 2/3, ...); л) (х ЕВ: созх>з~пх); м> >>'[ 6.12. Выяснить, являются ли открытыми (или замкнутыми) множества точек (х, у) плоскости Е~, если выполнены условия: и) у=фх; б) у>фх; в) х=в1п(1/х) и у=х=О; г) у=вап(1/х); д) ущип(1/х); е) вшх сову > 1/2; эк) вапх сову>0; з) щп(1/х) <у<1 и впа(1/у)(х<1.
6.13. Указать в пространствах Е и Е~ примеры множеств: а) без граничных точек; б) не пересекающихся со своей непустой границей; в) содержащих часть своих граничных точек; г) содержащих в себе все свои граничные точки. 6.14. При каком условии функция Дх), непрерывная на [а, Ц и на [6, с), будет непрерывна на [а, с~? 6.16. Определить множество непрерывных функций ~: Š— ~ -+В, таких, что Дх~) =~(х) при Чх >О.
6.16. Доказать, что если действительная функция Дх) непрерывна, то и функция Щх) ~ тоже непрерывна. 6.1Т. Доказать, что если действительные функции У(х) и у(х) непрерывны, то непрерывны и функции пип(~(х), у(хЦ, (Лх) у(х)) 6.18. Пусть действительнал функция 3'(х) Е С[а, 6). Доказать, что у(х) = шГ Я) Е С[а, Ц и Ь(х) = вар ~(~) Е С[а, Ц.
аЯ(ж аЯ(ж 6.19. Привести примеры функций, равномерно непрерывных наотрезках [О, Ц и [0,2~. 214 б. НЕПРЕРЫВНЫЕ ОТОВРАЖЕНИЯ 6.20. Показать, что функция 1/х не является равномерно непрерывной в интервале (О, 1). 6.21. Показать, что если функция не является равномерно непрерывной на отрезке, то она разрывна хотя бы в одной его точке. 6.22. Построить функцию, равномерно непрерывную на от резках [а, Ц и [6, с), но не являюп1уюся равномерно непрерывной на отрезке [а, с~. 6.23. Пусть заданы равномерно непрерывные отображения ~: [а, +оо) -+ И и д: [а, +оо) -+ й.
Показать, что: 1) произведение ~д может не быть на [а, +со) равномерно непрерывной функцией; 2) ~д — равномерно непрерывная на [а, +оо) функция при условии, что функции ~ и д ограничены на [а, +оо). 6.24. Пусть ~: Х-+У и д: У-+У. Будет ли композиция до равномерно непрерывной на Х, если: 1) ~ и д равномерно непрерывны соответственно на Х н на У; 2) ~ равномерно непрерывна на Х, а д непрерывна на У; 3) ~ непрерывна на Х, а д равномерно непрерывна на У? 6. ЧИСЛОВЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ 6.1. Переменные ве,пичины Понятие величины является одним иэ основных в матема тике, смысл которого с развитием математики прошел длительную эволюцию.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
