I Морозова В.Д. Введение в анализ (1081368), страница 32

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 32)

Первоначально оно возникло как обобщение более конкретных понятий длины, площади, объема, массы, времени, скорости, температуры и других геометрических и физических величин, которые поддавались измерению и представлению в числах. В последующем к величинам в математике стали относить не только действателькые, но и камвлексиые числа, векторы и другие более сложные математические объекты, хотя для их количественного представления в конечном счете все равно используют действительные числа.

Пока огра ничимся рассмотрением величин, конкретное количественное значение каждой иэ которых можно выразить одним действительным числом. Такие величины называют скалярная.ки (от латинского слова вса1апз — ступенчатый). При количественном описании различных процессов и явлений в окружающем нас мире одни величины изменяются, т.е. принимают различные числовые значения, тогда как другие остаются неизменными, т.е. сохраняют свои числовые значения. Одна и та же величина в одном случае может быть еоствоиммой, а в другом — ееремемкой.

Так, при равномерном движении тела его скорость является постоянной величиной, а при неравномерном она становится переменной, но в обоих случаях время и пройденное расстояние будут переменными величинами. В математике обычно постоянную величину, называемую аомстантвоб (например, а), рассматривают как частный слу- 216 В, ЧИСЛОВЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ чай переменной (например, х), у которой все числовые значения одинаковы (используя обозначение х и а = сопят как сокра щение латинского слова сопвФапв — постоянный, неизменный). Вместе с тем существуют так называемые абсолютно постоянные величины, которые во всех случаях сохраняют свои числовые значения: например, отношение длины окружности к ее диаметру, обозначаемое к, или скорость распространения электромагнитных волн в пустоте (скорость света), хотя в расчетах в зависимости от требуемой точности используют их различные приближенные значения.

Переход от изучения величин с фиксированным числовым значением к изучению переменных величин является условной границей между элементарной и высшей математикой. Удобной формой геометрического представления переменной величины является текущее положение точки на числовой прлмо6.

Тогда совокупность всех возможных числовых значений переменной величины, называемая областью значений (или областью измененил) этой переменной, может быть представлена соответствующим подмножестпвом мможестпва Ж. В этой роли могут выступать как промежутки числовой прямой, так и множества дискретно расположенных на ней точек (см. 1.3). 6.2.Понятие числовой последовательности Если множестпво числовых значений, принимаемых переменной величиной х, можно упорядочить (см. 2.6), присвоив каждому ее значению определенный порядковый номер: х~, хг, х„, ..., то получим числовую последовательность значений переменной величины х, расположенных в порядке возрастания их номера п. При т = и+1 элемент последовательности х„, называют с*едующимза х„, а х„— предшествующим х„,.

Если п = 1, Ф, т.е. можно указать последний элемент ху последовательности, то ее называют 6.2. Поыитие числовой послелоаатеиьиости 217 хи=~(п) ЕИ) пЕХ* (6.1) Злементы последовательности необязательно должны быть различными точками множества И. Именно этот факт не позволяет свести понятие последовательности к понятию счетного подмножестпеа множества И (см. Д.2.1). Так, если а б И вЂ” фиксированное число, то последовательность х1 — — а, х~ =а, ..., х„=а, ..., которую называют аостиолнноб, вовсе не то же самое, что один элемент а Е И. В данном случае при бесконечном множестве элементов последовательности множество ее значений содержит всего один элемент. Последовательность считают заданной, если владеют пра нилом ~, которое позволяет найти любой ее элемент х„по его номеру п.

Зто правило можно задать формулой вида номечкой. Если же последнего элемента указать нельзя, т.е. и Е Х, то такую числовую последовательность называют бесномечко4 и обозначают (х„~ (далее для краткости будем бесконечную числовую последовательность называть просто последов атпельностиью).

Последовательность является удобной и сравнительно простой моделью переменных величин — главных „действующих лиц" математического анализа. 'В вычислительных алгоритпмах она отражает ход процесса последовательных приближений к искомому решению, а при измерении какой-либо физической величины или параметра технического объекта различными способами и с различноЙ точностью последовательность результатов характеризует их близость к истинному значению.

Отсюда следует важность изучения свойств последовательностей. С достаточно общих позиций последовательность можно рассматривать как образ множества Х натпиральных чисел при его отпображении ~: Х-~ И в множество И дейстпвитпельных чисел. Зто отображение каждому натуральному числу п б Х ставит в соответствие по заданному правилу ~ единственное число 219 6.2. Понятие числавой посаедозатеаъаости 1 2 3 ' 2' 3' 4' (6.4) 2+ ( 1)и 3 1 3 1 1 ' 2' 3' 4' 5' 2' (6.5) 1 2 3 4 5 2' 3' 4' 5' 6' (-1)"я, (6.6) не являютсл монотонными.

Определение 8.2. Последовательность (х„~ называют онрамичекюо4, если можно указать положительное число М, такое, что его не превосходит абсолютпное значение любого элемента х„ этой последовательности, т.е. если ЗМ>0: ЧВ~Я ]х4(М. Если же ЧМ > 0 Зп Е Х: ~х„~ > М, то последовательность (х„) называют неовраниченноб. Ха рактерно, что в символической записи. условий противоположных свойств последовательности меняются местами квантпоры сущестпвования 3 и общностпи У, асимвол „не больше" (<) изменяетсл на противоположный ему символ „больше" (>). Это одно из проявлений принципа двобстпвенностпи (см.

1.4 и 1.5). Последовательности (6.3)-(6.6) ограниченные, причем для (6.5) можно указать число М = 3/2, а длл остальных — М = 1, но можно выбрать и большие значения М. Последовательность (6.2) чисел Фибоначчи неограниченная: с возрастанием п значение х„превзойдет любое наперед заданное число М. строго монотонные, причем (6.3) — убывающая, а (6.4)— возрастающая. б.

Последовательность ('1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, ...) чисел Фибоначчи (см. пример 6.1) монотонная, причем неубывающая. в. Последовательности 220 6. ЧИСЛОВЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ 6.3. Предел последовательности Пусть 0(Ь, е) = (х: ~х — Ь~ < е) — некоторая е-окрестность точки Ь Е Й чисяовой прямой. Определение 8.3. Точку Ь Е Е числовой прямой называют пределом посхедоватиехъяосчпи (х„) и обозначают Ь = =11ип(х„) (Ь= 1пп х„или х„-+Ь при п-+оо), если каково ть-+оо бы ни было положительное число е, можно найти натуральное число У, такое, что начиная с номера п = У+ 1 все элементы последовательности попадают в е-окрестность точки Ь, т.е.

Ь = 11ш(х„~: ~Ф Че > 0 ЗУ = Ф(е) Е Х: (п > У =~ ~х — Ь1 < е). (6.7) х хд~ ~ В-с х~д ~ В хр~ ~ Ь+е х~ х~ Рис. 6Л Отсюда следует, что добавление к последовательности конечного числа элементов или исключение из нее конечного чис- ла элементов не влияет на ее сходимость и значение ее предела, изменяется лишь номер, начиная с которого все элементы последовательности попадают в выбранную е-окрестность точки Ь. В общем случае У зависит от е, на что указывает в (6.7) обозначение У(е).

Как правило, чем меньше число е, тем больше У. Последовательность, для которой точка Ь б И является пределом, называют сходящейся я этой точяе. Определение 6.3 по геометрическому смыслу означает, что какой бы малый интервал длины 2е с центром в точке Ь ни взять на числовой прямой, все элементы последовательности (х„), начиная с некоторого номера У+ 1, должны попадать в этот интервал (рис.

6.1). Вне его будет только конечное число элементов последовательности. 6.3. Предел последовательности Пример 6.3. а. Покажем, что для последовательности (6.3) Ит( (6.8) =0 2+ (-1)" .( В силу очевидного неравенства 2+ (-1)" 3 примем У = 13Я. Тогда при произвольном е > 0 для а > 13/е] будет выполнено условие в (6.7). в.

Ясно, что при х„ис=сопвФУя Е И 1ип(х„) =с. (6.9) Всамом деле, ~х„— с~ =0<е при любом е>0. Поэтому в(6.7) в качестве Ф можно выбрать любое натуральное число. Пример 8.4. Проверим, что при а > 1 1ип =О При 0 < е < 1 предположим, что ~1/а"-0~ <е, т.е. а" >1/е. По определению логарифма, 1ои,а" = и. Поэтому для выполнения условия в определении 6.3 предела последовательности достаточно в (6.7) выбрать Ж = [1оц,(1/е)~. Пример 6.5.

Характеристики

Список файлов книги