I Морозова В.Д. Введение в анализ (1081368), страница 36
Текст из файла (страница 36)
Дохаззтезьсчэо лризнахв Вейерштрзсса и щщтеркз Коли 245 бы конечное их число, что невозможно. Пусть [а1, Ь1] будет та из половин отрезка [а, Ь], которая содержит бесконечное множество элементов последовательности [х„) (или если обе половины таковы, то любая из них). Аналогично из отрезка [а1, Ь1] выделим его половину [аз, Ьр], содержащую бесконечное множестпво элементов последователь' ности, и т.д. Продолжая этот процесс, построим систему вложенных отрезков [а, Ь] Э [а1, Ь1] Э [ар, Ьр] ) ...
З [а„, Ь„] -) ..., причем ܄— а„= (Ь вЂ” а)/2". Согласно приниипу вложенных отпреэков существует точка х, принадлежащая всем этим отрезкам. Эта точка и будет предельной для последовательности (х„). В самом деле, для любой е-окрестности Щх, е) = = (х — е, х+ е) точки х существует отрезок [а„, Ь„] С 0 (х, е) (достаточно лишь выбрать и из неравенства (Ь вЂ” а)/2" ( е), содержащий бесконечное множество элементов последовательности (х„). Согласно определению 6.7 х — предельная точка этой последовательности. Тогда в силу теоремы 6.9 существует подпоследовательность, сходящаяся к точке х.
Э Метод рассуждений, использованный при доказательстве этой теоремы (ее иногда называют леммой Больцано — Вейерштрасса) и связанный с последовательным делением пополам рассматриваемых отрезков, известен под названием меяюда Вольфрамо. Эта теорема значительно упрощает доказательство многих сложных теорем. Она позволяет доказать иным (иногда более простым) путем ряд ключевых теорем. Дополнение 6.2. Доказательство признака Вейерштрасса и критерия Коши Сначала докажем утверждение 6.1 (приэнак Вейерштпрасса сходимостпи ограниченной монотпонной последоватпельностпи).
Предположим, что последовательность (х„) неубыватощал. 246 6. ЧИСЛОВЫЕ ПОСЛЕДОВА ТЕЛЬНОС'ГИ Тогда множестпво ее значений ограничено сверху и по теореме 2.1 имеет тпочную верхнюю грань, которую обозначим впрах„) = Ь Е И,. В силу свойств точной верхней грани (см. 2.7) Че>0 ЗФ(е) ЕХ: Ь-е<хрт(Ь. (6.34) Согласно определению 6.1 для неубывающей последовательности имеем Уп> Ф х„> хрт, или Ь-е(ху < х„< Ь, Тогда ~Ь - х„~ = Ь - х„< е Чп > Ф, а с учетом (6.34) получим М>0 ЗФ(е) б Х: (а> У=~~Ь-х„~<е), что соответствует определению 6.3 предела последовательности, т.е. 31пп(х„~ и Йв(х„) =ЬЕЕ.
Если последовательность (х„~ невозрастающая, то ход доказательства аналогичен. Теперь перейдем к доказательству достаточности нритперия Коши сходимости последовательности (см. утверждение 6.3), поскольку необходимость условия критерия следует из теоремы 6.7. Пусть последовательность (х„) фундаментпальная. Согласно определению 6.4 по произвольному е > 0 можно найти номер Ж(е),такой, чтоиз т>Ж и п>Ф следует ~х„— х ~ < < е/3. Тогда, приняв тп = Ж, при М > Ф получим е е хж — — < хп < хж+- 3 3 (6.35) Поскольку рассматриваемая последовательность имеет конечное число элементов с номерами, не превосходящими Ф, из (6.35) следует, что фундаментальнал последовательность ограничена (см.
для сравнения доказательство теоремы 6.2 об ограниченности сходящейся последоватпеаьностпи). Для множества значений ограниченной последовательности существуют точные нижняя и верхняя грани (см. теорему 2.1). Для множества значений элементов при п > Ж обозначим эти грани Д.6.2. Доказаташство щиизнама Вейерштрассв и критерии Коши 247 в~д — — Ы х„и бр~ = вцр х„соответственно.
С увеличением Ф и)И в>И точная нижняя грань не уменьшается, а точная верхняя грань не увеличивается, т.е. ар~ < ар~~.1 < бр~~.~ < Ьр~, и получаем систему вложенных отрезков [ар~, бм1 2 ~аи+1, бра+1~ д " =) ~аи+ь Ьж+~~ Э ..., Й Е Х. Согласно ариниипу вложенных отрезков существует общаа точка, которая принадлежит всем отрезкам. Обозначим ее через Ь. Таким образом, И Е Х ар~+~ < 0 < бр~~.~, а при и > Ф+ Й ам~.~ < х„< бу~.~. Отсюда при н > Ф+ Й ~б-х4 < би+~-ам+~ (6.36) Теперь из (6.35) Чй Е Х следует Е а~ч — — < ащ~ < бра.~ < хр~ + —, 3 или Ьм+ь-жч+ь < -е < е. 3 Из сравнения (6.36) и (6.37) в итоге получим (6.37) Ф > 0 ЗУ(е) Е Х: (и > Ф =~ ~0 — х„~ < е)) что соответствует определению 6.3 предела последовательности, т.е.
311ш(х„~ и 1пп(х„) =бай. Фундаментальные последовательности начал изучать Больцано. Но он не располагал строгой теорией действительных чисел, и поэтому ему не удалось доказать сходимость фундаментальной последовательности. Это сделал Коши, приняв за очевидное принцип вложенных отрезков, который позднее обосновал Кантор. Имя Коши получил не только критерий сходимости последовательности, но и фундаментальную последовательность часто именуют последов втиелькостъю Коши, а имя Кантора носит приниил вложенных отрезков.
250 6. ЧИСЛОВЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ 6.21. Построить последовательность, подпоследовательности которой стремятся к бесконечным точкам +со и -оо. 6.22. Пбстроить последовательность, имеющую немонотонную сходящуюся подпоследовательность. 6.23. Можно ли выбрать сходящуюся подпоследовательность из неограниченной последовательности? 6.24. Пусть йп(х„) = а.
Найти предел (если он существует) последовательностей: а) (х„.~1 — х„~; б) (х„+2х„~.Д; в) Ях„Ц; г) Цх„]); д) ~х„х„.~1); е) ((х„.~1 — х„)"); ж) (е~пх,,). 6.25. Найти 1ип(х„), х„> О, если а) 1пп(х„+1 Д„) =а>0; б) 1пп(х„+х„1)=2; в) 1пп(х~ — х„~ = 2; г) 1пп(х~ ~ = 4. 6.26. Построить примеры последовательностей рациональных и иррациональных чисел, сходящихся к фиксированной точке х б И. 7. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ В ТО'ЧКЕ У(а, 8) = 0(а, Ю) ~ (а) = (х б И: 0 ( ~х — а~ < о) . (7.1) Проколотые окрестности бесконечньи точек +со, -оо и их объедименил оо считают совпадающими с окрестностями этих точек, т.е.
при М > 0 0 (+оо) = 0 (+со) = (х б И: х > М) = (М, +со), О Щ-оо) = 0 (-оо) = (х б Е: х < -М) = (-оо, -М), 0(оо) = 0(оо) = (х Е И: ~х~ ) М) = Е ~ ~-М, М1. 7.1. Определение предела функции Рассмотрим фумкцито Дх), определенную, по крайней мере, о в некоторой проколотой окрестпностпи 0(а) точки а Е Й расширенной числовой прямой. Определение 7.1. Точку 6 Е Й называют аределом фркации Дх) в твочтве а Е Й (или при х, стремящемся к а) и обозначают 6 = 11ш ~(х), если, какова бы ни была окрестность Ж-+й Ограничимся изучением только дейстпвительних функций дейстпвитпельного переменного, которые будем называть просто функциями.
При рассмотрении вопросов, связанных с пределом функции, используют понятие ароколотвой окреста- О ностпи ~1(а) = 0(а) ~(а) точки а Е Е числовой щимой, т.е. окрестпности 0(а) за исключением самой точки а. Аналогично для проколотой в-окрестности 252 Т. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ В ТОЧКЕ Ч(6) точки Ь, найдется проколотал окрестность У(а) точки О а, такая, что ~(0(а)) С У(Ь), т.е. Ь= 1пп Дх):с-.» ЧЧ(Ь) ЭУ(а): У(У(а)) С У(6). (7.2) Для обозначения предела иногда пишут ~(х) -+ Ь (или ~(х) -» Ж +Ф -+ Ь при х -+ а) и читают „~(х) стремится к Ь при стремящемся к а".
Определение 7.2. Точку 6 Е Е называют иреде,лом фрикции Дх) е пючяе абй (или при х, стремящемся к абй), если, каково бы ни было положительное число е, найдется положительное число О, такое, что для всех точек проколотой 0-окрестности точки а значения функции принадлежат е-окрестности точки 6, или Ь= 1пп Дх):с=»Уе > О Э8(е) > О: (О < ~х — а~ < 0 ~ Щх) — 6| < е).
(7.3) Запись 0(е) в (7.3) подчеркивает, что значение О зависит от выбора е. Рис. 7.1 иллюстрирует определение 7.2. Для нахождения 0 при заданном е по графику функции следует най- Это достаточно общее определение предела функции. Отметим, что точки а и 6 расширенной числовой прямой не обязательно конечны; важно лишь правильно выбрать окрестности, когда зти точки конечны и когда они таковыми не являются.
Любая окрестность конечной точки содержит некоторую е-окрестность зтой точки, и обратно, любая е-окрестность точки является ее окрестностью. Поэтому для конечных точек а и Ь при условии, что область определения рассматриваемой функции включает некоторую проколотую окрестность точки а, вместо определения 7.1 с учетом (7.1) можно сформулировать следующее определение. 253 7.1. Оа12еделение арелелв функции Пример Т.1.
а. Покажем, что если ~(х) = с = сопвФ, то 1пп Дх) = с. (7.4) Действительно, при любом х ~(х) — с= с — с= О < е, если е — произвольное положительное число. Поэтому в качестве о можно взять любое положительное число. б. Проверим, что 1пп хз = 4. Рассмотрим произвольное ю-+2 число е > О и предположим, что ~хз — 4~ < в. С учетом того, что ~х2 — 4~ = ~(х — 2)(х+2)~ = = ~х — 2~ ° ~(х -2)+41 < ~х — 2~ (~х — 2~+4), достаточно рассмотреть неравенство ~х — 2~~ + 4~х — 2~ < е, эквивалентное )в — 2) ( -2+ ~4+ в. Поэтому для выполнения условия ~х~ — 4~ < е в (7.3) достаточно выбрать 6 = -2+ ~4+в.
ти ближайшие к а точки х1 и х2, у ~(х) в которых функция принимает зна чения Ь вЂ” е и Ь+ е соответствен- ~ 1 но, и положить Ю равным меньшему из расстояний от точки а до най- 1 ! денных точек. Это несложно сде- О х1 42 «т лать при графической иллюстрации, но для получения формулы, выража Рис. Т.1 ющей функциональную зависимость 6 от е, часто необходимо решать непростые уравнения. Чтобы этого избежать, стараются оценить Щх) — Ь| через !х — а) и найти ограничения на последнюю величину. Отметим еще раз, что, согласно определениям 7.1 и 7.2, точка а может и не принадлежать области определения функции, а если и принадлежит, то значение Да) не учитывают. 254 7. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ В ТОЧКЕ в.
Покажем, что 1ип ф = ~а~. (7.5) Согласно 11.5) ))х) — )а)(» )х — а). Поэтому в 17.3) доствточво положить б = е. Действительно, при ~х — а~ < б = е имеем Определение 7.3. Точку Ь Е Е называют пределом фуняции Дх) при стремлении аргумента я +оо, если, каково бы ни было положительное число е, найдется положительное число М, такое, что для всех точек окрестности 0(+со) = = (х ЕЕ: х > М~ бесконечной точки +со значения функции принадлежат е-окрестности точки Ь, или Ь = йп ~(х): с=~ Че > О ЗМ(е) > О: (х > М =~ Щх) — Ь! ( е). (7.6) Иэ рис. 7.2 яс- У но, как по заданному Ьм значению е выбрать Ь положение точки М, Ь-е -3- при котором будет выполнено условие О М этого определения.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
