I Морозова В.Д. Введение в анализ (1081368), страница 39
Текст из файла (страница 39)
ф 270 7. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ В ТОЧКЕ предел, то в этой точке существует такой же предел функции у(х), или (3 1пп ~(х) =!Нп Ь(х) = Ь Е Й) /~ Л фх) < у(х) < Ь(х) Чх Е 0(а)) =~ 3 1пп у(х) = Ь. (7.20) М > 0 ЗЩа): Чх11хз Е Ща) 3У(х1) — У(хз)! < е. (7.21) 4 В самом деле, пусть в точке а существует конечный предел функции Дх), равный Ь. В силу определений 7.1 и 7.2 имеем О О Че > 0 30(а): ~Д(х) — Ь~ < е/2 Чх Е 1У(а). Тогда с учетом (1.4) выполняется условие ~~(х1) — ~(х~)~ = ~(,~(х1) — Ь) + (Ь вЂ” ~(х~)~ < о < Щх1) — Ь~+ ~Дхз) — Ь~ < е/2+я/2 = е Чх1,х~ Е У(а), откуда следует необходимость критерия. Обратно, для любой последовательности (х„) (х„ф- а Чп Е Е Х), такой, что Бш(х„) = а Е Е, можно указать номер У+ 1, ° е Действительно, по определению 7.9, для любой последовательности (х„) с пределом в точке а, элементы которой не совпадают с а, последовательности (Дх„)) и (Ь(х„)) имеют предел Ь, причем ~(х„) <у(х„) <Ь(х„) Чп ЕМ.
Отсюдавсилу теоремы 6.6 следует, что и последовательность (д(х„)) имеет предел Ь, т.е., по определению 7.9, существует предел функции у(х) в точке а, причем 11шу(х) =Ь. > а-+в Критерию Коши сходимостпи иоследоеатпелъностпи отвечает яритерий Коши супцестивованиа яонечного иредела фунна~ии. 'Утверждение 7.2. Функция Дх) имеет в точке а Е Й конечный предел тогда и только тогда, когда 7А.
Сйойства функций, иыеющих конечный нредел 271 начиная с которого все элементы этой последовательности попадают в такую проколотую окрестность У(а), что в ней будет выполнено условие (7.21). Это означает, что М > 0 ЗФ(е) Е Х: Чт, и > Ж ~ц (хв) — У(х~) ~ < е, т.е., по определению 6.4, последовательность (Дх„Ц значений ~(х„) функции Дх) фундаментальна и, согласно критерию Коши (см. утверждение 6.3), сходится к конечному пределу. Поэтому в силу теоремы 7.2 с учетом замечания 7.1 функция Дх) имеет конечный предел в точке а Е Й. 1~ Для монотонной функции можно сформулировать признак существования предела, аналогичный признаку Вейерштрасса сходимости ограниченной монотонной последовательности.
Предварительно введем локальные понятия монотонности и ограниченности функции. Функцию называют неубывающей (невозрастающей) при х-+ а — 0 (или при х-+ а+0), если существует интервал (а — Ь, а) (или (а, а+ Ь)), Ь > О, в котором она не убывает (не возрастает). Такую функцию именуют монотонноЙ при х -+ а-О (или при х -+ а+О).
Функцию называют ограниченной сверху (снизу) при х -+ а — 0 (или при х-+ а+0), если существует интервал (а-Ь, а) (или (а, а+ Ь)), Ь > О, в котором она ограничена сверху (снизу). Утверждение 7.3. Монотонная и ограниченная сверху (снизу) при х-+ а — 0 (или при х-+ а+0) функция имеет при х-+а — 0 (или при х-+а+0) конечный предел. Если при х-+а — 0 (или при х-+ а+0) функция не убывает (не возрастает) и не ограничена сверху (снизу), то она имеет при х-+а-0 (или при х-+а+О) бесконечный предел +оо (-оо).
7.4. Свойства функций, имеющих конечный предел Используя определение 7.1 и эквивалентное ему определение 7.9 предела функции через последовательности, перенесем 272 7. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ В ТОЧКЕ (Э 1пп Дх)) Л (Э 1пп д(х)) Л (Ух 6 У(а) Дх) ( д(х)) =~ =~ 1нп ~(х) < 1пп д(х). некоторые их свойства на функции, имеющие предел в точке а Е Й расширенной чис,яовой прямой. 1. Если функция ~(х) имеет в точке а конечный предел, то этот предел единственный (в силу единственности предела схо длщейся посяедовательности Щв„)) значений функции для любой стремящейся к а последовательности (х„) значений аргумента — см.
теорему 6.1). 2. Функция Дх), имеющая в точке а конечный предел 0 Е В, ограничена (см. определение 3.5) в некоторой прокояотой окрестности этой точки (для доказательства достаточно использовать (7.3)). 3. Если функция ~(х) имеет в точке а отличный от нуля конечный предел, то в некоторой проколотой окрестности этой точки значения функции сохраняют знак предела (в противном случае можно было бы построить последовательность (Дх„)), сходящуюся к ненулевому конечному пределу и не сохраняющую знак своего предела, что противоречит теореме 6.3). 4. Знакопостоянная в некоторой проколотой окрестности точки а функция Дх) не может иметь в этой точке предел другого знака (в силу сохранения пределом знака элементов каждой сходящейся последовательности Ц(х„) ) — см. следствие 6.1).
5. Если в некоторой проколотой окрестности точки а функция Дх) равна постоянному числу с, то и предел функции в этой точке равен с (согласно (6.9) для последовательности (Дх„)), элементы которой равны постоянному числу). О 6. Если в некоторой проколотой окрестности 0(а) точки а определены функции ~(х) и д(х), имеющие в этой точке конечные пределы, то в силу теоремы 6.5 получим правило перехода к пределу в неравенстве 274 7. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ В ТОЧКЕ Из (7.23) в силу того, что 1ппх = а (см.
пример 7.4), х-+а получим 1нп х =11пп х1 =а Ут 6 Х. х-+а 1х-+а У Тогда для миогочлека (3.19) Р„(х) = х" +а1х" '+...+а 1х+а, и б М, с учетом (7.22) имеем 11гп Р„(х) = аоа" +а1а" 1+...+а„1а+а„= Р„(а), (7.25) а с учетом (7.24) для раииональиой фрикции (3.24) получим Р ( ) ИШР (х) Р х-+а ц„(х) 11гп Я„(х) ц„(а) (7.26) при условии, что Я„(а) ф О. 7.5. Бесконечно малые и бесконечно большие функции Определение 7.10. Фуюсиию ~(х) называют бесмонечмо малой (б.м.) при х -+ а Е В, если при этом стремлении аргумектпа иредел фрикции равен нулю, т.е.
с учетом определения предела ~(х) — б.м. :с=~ 1пп ~(х) = О:~ а о :~Ф Ф) О 30(а): Ухб У(а) ~~(х)~ <е. Понятие б.м. функции неразрывно связано с указанием об изменении ее аргумента. Можно говорить о б.м. функции при х-+а+О, когда 1ип Дх)=0, и при х-+а-О, когда 1нп Дх)= х-+а+О х-+а-О =О. Обычно б.м. функции обозначают первыми буквами греческого алфавита а,,в, 7, ... 7.5. Бесконечно мапые и бесконечно болыпие функции 275 Пример ТЛ. а. Функция У(х) = х является б.м. при х -+О, поскольку ее предел в точке а= О равен нулю (см.
пример 7.4). Согласно теореме 7.1 о связи двуспюроннего предела с односиоронними эта функция — б.м. как при х -++О, так и при х-+-О. б. Функция 1/х в силу (7.14) — б.м. при х-+со (атакже при х-++оо и при х-+-оо). Эта функция при х =пай образует бесконечно малую последовапьельность (1/и). ф Отличное от нули постоянное число, сколь бы оно ви было мало по абсолютному значению, не явлметсн б.м. Функцией. Для постоянных чисел исключение составляет лишь нуль, поскольку функция ~(х) ь 0 в силу (7.4) имеет нулевой предел.
ЧЪорема 7'.3. Функция Дх) имеет в точке а Е В расширенной числово6 прямой хонечный предел, равный числу Ь, тогда и только тогда, когда эта функция равна сумме этого числа Ь и б.м. функции а(х) при х-+а, или ЗИт Дх) =ЬЕВ ФФ (~(х) =Ь+а(х)) Л(1ипа(х) =0). (7.27) Пусть функция ~(х) имеет в точке а конечный предел Ь, Согласно определениям 7.1 и 7.2 предела имеем: Че) 0 о 0 ЗУ(а): Щх) — Ь| <е Ух Е0(а). Ноэто всилу определения 7.10 означает, что функция Дх) — Ь вЂ” б.м.
при х -+ а, которую обозначим а(х). Отсюда ~(х) = Ь+а(х). Пусть теперь ~(х) = Ь+а(х), где а(х) — б.м. при х -+ а. Тогда, согласно определению 7.10 б.м. функции, имеем о о Че ) 0 ЗУ(а): Ух Е Ща) ~а(х)~ = ~~(х) — Ь| < е, а это означает, что в точке а существует предел функции Дх) и он равен Ь.
° Из (7.22) при с~=1 УЙ=1, тп, таей,следуеточевидное утверждение. 1В' 276 7. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ В ТОЧКЕ Утверждение 7.4. Сумма конечного числа функций, б.м. при х-+а, есть снова 6.м. при х-+а, т.е. Уйы1, х1, теМ ЗБтах1х)тО т Мт ~ аДх)=9. 1728) "'1=1 Ограничение в (7.28) конечным т существенно. Так, при т -+ оо предел суммы из т одинаковых слагаемых 1~т, каждое из которых имеет нулевой предел, отличен от нуля и равен единице. Из (7.23) вытекает также очевидное утверждение. Утверждение 7.5.
Произведение любого числа функций, б.м. при х -+ а, есть снова б.м. при х -+ а, или уй=1,т, тхМ ххтах1х)=От ПтПах1х)юО. 1729) М1 При вычислении пределов часто полезна следующая теоре- ма. Теорема 7.4. Произведение функции, б.м. при х + а, и функции, ограниченной в некоторой проколотой окрестности О 1.) (а) точки а, есть функция, б.м. при х -+ а.
О ~ Для ограниченной в 0(а) функции ~(х) можно указать О число С ) О, такое, что Ух е 13(а) ~~(х)~ < С (см. определение 3.5). По определению 7.10, для б.м. при х -~ а функции а(х) имеем О О Я Че > 0:-%1(а): Чх Е 01(а) ~а(х) ~ < —. С Тогда О О Ю Чх б У(а) ПУ1(а) 3а(х)~(х)$ = $а(х)$ ° Щх)$ ( — С = с, а это, согласно определению 7.10, означает, что функция а(х) Дх) — б.м. при х -+ а. ° 7.$. Бесконечно иааые и бесконечно болыпне функцин 277 Ясно, что произведение постоянной функции и б.м.
при х-+а есть функция, б.м. при х-+а. Определение 7.11. Функцию У(х) называют 6ескокечко оолъшоб (6.6.) при х -+а бЙ, если при этом стремлении аргумента функция имеет бесконечный предел, т.е. с учетом определения 7.5 ~(х) — 6.6.:С» Ит Дх) = оо в-+в ж-+в :4Ф НГ>0 30(а): ЧхЕ Ща) ~~(х)~ > Е. Подобно б.м. функциям понятие 6.6. функции неразрывно связано с указанием об изменении ее аргумента. Можно говорить о 6.6. функции при х -+ а+ 0 и х -+ а — О, когда 1пп Дх) = оо и Иш Дх) = оо соответственно. Термин ж-+в+О в-+в-О „бесконечно большая" говорит не об абсолютном значении функции, а о характере его изменения в окрестности рассматриваемой точки.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
