I Морозова В.Д. Введение в анализ (1081368), страница 43
Текст из файла (страница 43)
Рассмотрение стремящихся к оо последовательностей (2п(-1)"~г) и ((2я+1)(-1)"л/2) приводит к тому же выводу. Отметим, что если обозначить А = (х Е Е: х = 2В(-1)"~г) и Е И) ф 3 = (х Е Е: х = (2а+ 1)(-1) "~г/2) й б Щ, В.2. Некоторые сэойствв вределв отобрвхении 303 Определение 8.4. Отображение ~: Х -+ У называют непрерывкым в точке а Е Х, если справедливо (8.12). Учитывая теоремы 8.1 и 8.2, получаем следующее утверждение. Утверждение 8.1. Для непрерывности отображения ~: Х-+У в предельной точке а Е Х необходимо и достаточно, чтобы образ при отображении ~ любой стремящейся к а последовательности точек из Х был последовательностью точек из У, сходящейся к точке ~(а). 8.2. Некоторые свойства предела отображения Пусть Х и У, так же как и в 8.1, — метрические пространства, А С Х и а б Х вЂ” предельная точка множества А, Теорема 8.3. Если при стремлении х по множеству А к точке а отображение ~: Х -+ У имеет предел, то он единственный.
Предположим, что при х +а отображение ~ имеет два предела Ь1 и 62, причем Ь1 ф 62. Тогда при выборе непересекающихся окрестностей Ч (61) и Ч(62) этих точек (Ч(Ь1) П Ч(62) = Я), по определению 8.1, у точки а существует 0 о проколотая окрестность 0(а), такая, что и ~Я(а) П А) С О С Ч(61), и ~(0(а) П А) С Ч(62), а зто невозможно в силу определения 2.1 отображения. > Теорема 8.4 (о пределе композиции). Если существуют пределы 1ип ~(х) =Ь и 1ип д(у) =с й~+0 у — +6 у(л) отображений ~: А С Х -+ У и у: У -+ Я, причем ~(х) ф Ь при х-;+а, где Х, У и Я вЂ” метрические пространства, а и 6— 304 В.
ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ предельные точки соответственно для А С Х и ~(А) С У, то существует при х +а и предел ко.илозиции (сложной функции) уо~(х) = у(~(х)), и (~((1(а) Г\ А) С Ч(6) П ~(А)) Л (Дх) ф а Ух Е Ща) П А), где 11(а) = Ща) ) ') Ща). Следовательно, существует такая 0 проколоты окрестность 0(а) точки а, что в силу свойств отображений множеств (см. 2.1) у(~(У(а) ПА)) С у(Ч(а) ОДА)) С%(а), а это с учетом (8.1) доказывает теорему. в 8.3. Пределы действительных функций Пусть Х вЂ” метрическое аространство и а Е Х вЂ” предельная точка множества А С Х. Будем рассматривать Функции,~: А + В, принимающие значения в пространстве Е действительных чисел.
Для таких функций можно ввести 1пп у(Дх)) = с. ~ Выберем произвольную окрестность %(с) точки с. Тогда в силу определения 8.1 предела отображения всегда можно 0 найти такую проколотую окрестность У(6) точки о, что Р у(Ч(о) П У(А)) С %(с). В свою очередь, по тому же определению 0 предела, существует проколоты окрестность 01(а) точки а, О 0 такая, что ~(Ща) П А) С У(6) П ДА). По условию теоремы, о существует также проколотая окрестность Ща) точки а, 0 такал, что ~(х) ф.
6 Чх Е Ща), Таким образом, 8.3. Пределы действительиых футаа~ий 305 арифметические операции. Если на множестве А заданы две функции Дх) и у(х) созначениями в Е,тозапись Дх) <у(х) означает, что неравенство справедливо Чх Е А. На множестве А определена сумма ~(х)+у(х) как результат сложения соответствующих значений функций. Аналогично определяют вычитание, умножение и деление функций (последнее для рассматриваемой точки х Е А возможно, если делитель в этой точке отличен от нуля). Функцию Дх) называют: 1) кеотрииатеяъкой (иоаожитехъной) при х-,+а, если О существует проколопьая окрестноспьь Ща) точки а, такал, что Дх) > 0 (Дх) > 0) Чх Е 0(а) ПА (8.13) (аналогично определяют неиоложитеяъную функцию Щх) < 0), отрииатемъкую (~(х) < О) и не равкую ку.аю У(х) 7ЕО) ); 2) ограниченной (сверху, снизу) ври х +а, если сущее ствуют постоянная сЕЙ и проколоталокрестность Ща) точки а, такие, что о ~~(х)~ <с, с>0 ®х) <с, Дх) >с) МЕЧ(а)ПА; (8.14) 3) бесконечно малой тври х А~а (см.
(8.6) ), если 1ип ~(х) = 0; 4) бесконечно большой при х-„+а (см. (8.7)-(8.9)),'если 1пп~(х) =со (=+со или -оо). Й'~~ О Из примера8.1следует, чтопредел при х~+а функции Дх), сохраняющей при х-+а постоянное значение с= сопят, равен с. Для функции со значениями в Е приведем основные теоремы о пределах. Доказать эти теоремы читатель сможет самостоятельно, опираясь на приведенные выше определение и свойства абсолютпного значения действительного числа. 2О~644 306 8. ТЕО ИЯ ПРЕДЕЛОВ Теорема 8.б. Функция Дх), имеющая при х-„+а конечный предел, ограничена при х-.+а. Теорема 8.6 (о свлэи функции, ее иредела и бесконечно малой).
Функция Дх) имеет конечный предел ЬЕ В при х~~а тогда и только тогда, когда функция равна сумме числа Ь и бесконечно малой а(х) при х +а. Теорема 8.7. Если функции Дх) и д(х) ограничены при х-„+а, то их сумма Дх)+д(х) и произведение Дх)д(х) также ограничены при х~а. Теорема 8.8. Если функции а(х) и ф(х) — бесконечно малые при х-,+а, то а(х)+ф(х) — бесконечно малан при х-,+а. Теорема 8.9. Если функция Дх) ограничена при х-,+а и а(х) — бесконечно малая при х-+а, то произведение Дх)а(х) — бесконечно малая при х-+а. Теорема 8.10 (о аределе суммы, ироизведении и частного). Справедливы утверждения: (3 1пп Дх) = Ь1 б й) Л (3 1ип у(х) = Ьр б й) =~ =Ф 3 11щ (У(х) + д(х)) = Ь1 + Ь2; =~ 3 1пп ~(х)д(х) = Ь1Ьз, =~ 3 1аа — = — (Ьз у~ О).
~(х) Ь1 л д( ) Ьз (8.15) (8.16) (8.17) Следствие 8.1. Произведение двух бесконечно малых функций при х +а есть бесконечно малая функция при х-,+а. На основании этих теорем докажем теорему о пределе суммы, произведения и частного. Такой же подход к доказательству можно было бы осуществить, рассматривая свойства предела дейстивитиельной функции дейстивитиельного переменного (см. 7.4 и Т.б). 8.3.
Пределы действнтеаьиых фуыкций 307 По теореме 8.6 ~(х) = Ь1 + а(х) и у(х) = Ьг + ~3(х), где а(х) и,9(х) — бесконечно малые функции при х-„+а. Тогда Дх) +у(х) = Ь1+ бай+ а(х)+~9(х). Из теоремы 8.9 следует, что а(х) +,8(х) — бесконечно малая при х-,+а.
С учетом теоремы 8.6 это означает справедливость (8.15). Для доказательства (8.16) запишем Ях) у(х) = б~бз+ а(х)б~+ Щх)Ь1 + а(х)ф(х). Сумма последних трех слагаемых в правой части этого равенства в силу теорем 8.8, 8.9 и следствия 8.1 является бесконечно малой при х-,+а, что, согласно теореме 8.6, означает справедливость (8.16). Из (8.5) следует, что существует проколотая окрестность О О 0(а) точки а, такая, что Чх Е б(а) Й А ~у(х) — Ь|~ < ~Ц/2, или Ьз — ~бз~/2 < у(х) < Ь~+ ~бз~/2, т.е. ~д(х) ~ > ~б|~/2 и ~1/у(х) ~ < < 2/~б|~.
Таким образом, функция 1/у(х) ограничена при х-„+а. Далее имеем Дх) Ь1+о(х) Ь1 (б1+а(х) Ь1 1 Ь1 а(х)б|-ф(х)Ь1 у(х) Ьг+Ях) Ьз \, Ьг+Я(х) Ь~ ) Ьр Ь|у(х) Второе слагаемое в правой части этого равенства в силу теорем 8.8 и 8.9 является бесконечно малой при х~~а, что, согласно теореме 8.6, означает справедливость (8.17). ~ Ясно, что (8.15) и (8.16) можно распространить на произвольное конечное число слагаемых и сомножителей.
Следствие 8.2. При вычислении предела функции постоянный сомножитель можно выносить эа символ предела. ч3 Иэ (8.16) и теоремы 8.5 при д(х) =с=сопвФ Чх Е Ща)ПА следует, что 1пп сДх) =сйк ~(х). > з ~~а з~ьа 308 8. ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ Объединение этого следстви» с (8.15) дает правило вычислени» предела линейкой юом6ииации функций: если М = 1, п~ 1пп Ях) =Ь~ и ЕЭс~=сопвс, то ЖдФЮ Пт ~с~Ях) = ~сь!1т Ях) = ~ с~Ц. Й=1 й=1 " 1=1 (8.18) Учитывая определени» предела, бесконечно малой и бесконечно большой функций, нетрудно доказать следующие теоремы.
Теорема 8.12 (о сохранении функцией знака своего предела). Если при х-„+а функци» Дх) имеет конечный ненулевой предел, то при х-+а эта функци» сохран»ет знак своего предела. Очевидно, что Дх) < д(х) (Дх) < д(х)) при х-„+а, если разность д(х) — Дх) неотрицательна (положительна) при х-„+а (см.
(8.13) ). Следствие 8.3. Если при х +а функции Дх) и д(х) имеют пределы соответственно Ь1 н Ь~, причем Ь1 < Ь|, то Дх) < д(х) при х +а. Теорема 8.13 (о сохранении пределом знака функции). Если при х-+а функци» ~(х) им~~~ предел Ь и неотрицательна (неположительна), то этот предел также неотрицателен (неположителен).
Теорема 8.11 (о свнзи между бесконечно малой и бесконечно большой функциими). Если о(х) — бесконечно мала» функци» при х +а и о(х);Е 0 при х-„+а, то Дх) = 1/а(х) — бесконечно больша» при х-„+а, и обратно, если Дх) — бесконечно большая при х-„+а, то а(х) = 1/Дх) — бесконечно мала» при х~~а. 8А. Прнэнвкн сущестноввннн нрелелв лейстантельной фумкцнн 309 Отметим, что если в теореме 8.13 при х-+а Дх) > 0 и существует 1ип Дх) = Ь, то все равно можно лишь утверждать, ж~~а что Ь>0, а не Ь>О. Теорема 8.14 (о переходе к пределу в неравенстве). Если при х +а Дх) < д(х) и существуют пределы этих функций, то неравенство сохраняется при переходе к пределам, т.е. 11ш Дх) < 11ш д(х).
адьа а~Фа 8.4. Признаки существования предела действительной функции Теорема 8.1Б. Если при х +а Дх) < д(х) < Й(х) и Функиии Дх) и й(х) имеют одинаковый предел, то функция д(х) имеет тот же предел при х~~а, т.е. (Ч 0 (а): Чд Е У(а) П А Дх) < д(х) < Й(з)) Л л (йш Дз) = 1ип Й(х) = 6) ~ Бш д(з) = ь. м По условию теоремы с учетом (8.5) существуют для любого О а ~ > 0 проколотые окрестности 01(а) и 02(а) точки а, такие, что о 0 ~~(х)-Ц<е ЧхбЩа)ПА и ~Ь(х)-Ь~<е ЧхЕЩа)()А. 0 0 а О Если 1.) (а) = Ща) П Ща) и х Е 0(а) П А, то Ь - е < Дх) < Ь+е и Ь вЂ” е < й(х) < Ь+ е, или Ь вЂ” е< ~(х) <д(х) < п(х) <Ь+е, т.е. ~д(х) — Ь~ < е, что в силу (8.5) доказывает утверждение теоремы.
9 8. ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ 310 Оаределеиие 8.б. Функцию Дх) называют неубывающе4 (невозрастиающеЯ ври х-„+а, если для любых двух О О проколотых окрестностей Ща) и 01(а) точки а из условил, О О что Ща) С 0(а), следует неравенство хи р(Дх): х и (У (а) ~ Щи)) ПА) й 1Ы(~(х): х Е Ща) ПА) < Ы(Дх): хЕ (()(а) ~()1(а)) ЙА) а хар(Дх): хйУ1(а)ПА)) . Ит Дх) = иир(Дх): х Е Ща) Й А) йт Дх) =!иГ(Дх): х и ц (а) й А)), и он является конечным. ~ Пусть Дх) ограничена сверху.
Тогда из (8.14) следует, что О Зс ~ й: ~(х) < с Чх Е 0(а) ( ) А. О Обозначим 6=вар(У(х): х Е 0(а)ПА) и по свойству точной верхней грани (см. 2.7) для произвольного положительного О числа е найдем точку х' б У(а)()А, для которой 6 — е < О < Дх) < 6. Так как х'фа, то р(х', а) =8> О и Щ(а) = О О = (х Е А: 0 < р(х, а) < Ц: х' ~ Ц(а). Поскольку х' б 0(а), О О О У(а) = (х Е А: 0 < р(х, а) < о1), где 61 > 6, то 01(а) С Ща). Пример 8.3. Функции 1/х и агсйд(1/х ) ЧхЕ А=И~(0) являются неубывающими при х-+О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
