I Морозова В.Д. Введение в анализ (1081368), страница 41
Текст из файла (страница 41)
Одним из классических примеров этого ивлиетсл поведение функции (в1п х)/х в окрестности точки а=О. Пусть х — центральный угол или длина дуги окружности единичного радиуса (рис. 7.12), причем О < х < в'/2. Сравнение площадей Я~ ~ 0 треугольника ОАВ, Б~ сектора АОВ и Яз треугольника ОА0 дает Я~ < Яз < Ф < 83 Но при ОА = 1 Я~ = (в1п х)/2, Яг = х/2, Яз = (Фд х)/2 и тогда 284 7. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ В ТОЧКЕ в!и х уг гг совх « — 1 Ух Š— —, — ~ (0), х 2' 2 т.е.
функция (в1пх)/х заключена между двумя функциями, имеющими при х +0 одинаковый предел, равный 1. Поэтому, согласно утверждению 7.1, получим в1п х !пп — = 1, -+о х (7.36) называемый лервым замечательным лредемом. Геометрический смысл (7.36) состоит в том, что по мере уменьшения центрального угла х (см. рис. 7.12) длины дуги сектора и стягивающей ее хорды сближаются.
С помощью (7.36) можно вычислить некоторые пределы, которые не удается вычислить только на основе полученных ранее результатов из-за возникновения под знаком предела так называемой неопределенностии типа О/О. Пример 7.12. а. Учитывал (7.23), (7.24), (7.35) и (7.36), получим 11 81п х фх .
в1пх 1 о х 1 1ип — = 1ип — — — ~~ — — — 1. (7.37) ж-+о х ю-+о х совх 1пп совх 1 ю-+о б. С учетом (7.4), (7.23), (7.33) и (7.36) вычислим у=5х, у-+О х-+о з1п у =51пп — =5 1=5. р-+о у в1п 5х . 5з1п 5х !ип — =!ип -+о х жьо 5х Теперь вернемся к двойному неравенству. Из его левой части следует, что при х Е (О, ~г/2) (в1пх)/х < 1. Это нера„ венство верно и при х Е (-~г/2, О), так как (в!пх)/х является четной функцией.
Из правой части двойного неравенства сле дует, что при х е (О, к/2) совх < (в1п х)/х. Это неравенство в силу четности входящих в него функций также верно и при х Е (-~г/2, 0). Итак, 285 7.7. Два замечательных аредела в. Принимая во внимание (7.4), (7.23), (7.33) и (7.36), найдем в1п~ Зх . 9в1п~ Зх 1ип = 1ип з-+о х~ з-+о 9хз виР у =9Бш— у-+О у у=Зх, у-+О з-ФО =9 1ип — =9.
г. Используя (7.4), (7.23), в1п 5х . в1п 5х 5х 1ип —. = 1ип з-+о в~п Зх -ю 5х Зх (7.24), (7.33) и (7.36), вычислим Зх в1пЗх( 3 11 в1ппфх х3 1 .3 з-+О Зх Теперь убедимся в справедливости равенства 1ип 1+- =е, (7.38) называемого втпорым эамеивтпельным пределом. Пусть х > 1. Тогда 1 1 1 [х)+1 х ф Отсюда 1 1 1 1+ < 1+ — < 1+ —. Я+1 х 1х~ Все части этого неравенства больше единицы.
Поэтому после их возведения в положительные степени, показателями которых служат соответствующие части неравенства (7.39), получим 1+ < 1+- < 1+— (7.40) 1 < ~х1 < х < ~х~+1, (7.39) Ь где 1х1 — целая часть числового значения х (см. 3.2), илипосле обращения 7. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ В ТОЧКЕ 286 1+ — = йп 1+ — 1+— = 1пп 1+ — ° 1пп 1+— =е ° 1=е 1ип 1+ — = Ба +1 1ип 1+— — е. 1 Согласно (6.7) (см.
определение 6.3 предела последовательности) дли произвольного е > 0 существует Ф Е Я, такое, что при а> И «+1 1+- -е <е и 1+ — -е (е. Тогда при х > У+ 1 Ц = и > Ж и с учетом (7.40) получим е+е> 1+ — > 1+ — > 1+ > е-е, или ~(1+ 1/ж) — е~ < е. Это означает, согласно определению 7.3 Согласно (6.26) при Х Э в -+ оо Ьш((1+ 1/и)«) = е. Тогда с учетом (6.11) и (6.12) (см.
теорему 6.4 об арифметических действилх над сходящимися последовательностями) 287 7.7. Два замечательных лредела предела функции при стремлении аргумента к +оо, что 1пп 1+ — = е. (7.41) Пусть теперь ж-+ — оо. Положим а= — и и тогда при ж-+ -+ -оо а-++оо. После тождественных преобразований получим 1+- — 1- — — — = 1+ — 1+— Согласно (7.33) проведем замену переменных и с учетом (7.23) и (7.41) найдем з и-1 1 1ип 1+- = 1'1п1 1+ — ° Ип1 1+ — =е 1=е.
ю-+-оо Ж и-в+оо 11-1 и-++оо 'ц-1 В итоге при любом способе стремления х к бесконечности справедливо (7.38). Функция у = 1/ж в силу (7.14) — б.м. при ж -+ оо, т.е. у + О. Как следствие из (7.38) заменой переменных по (7.33) при условии, что у ф.О при х'-+оо, получим 1пп(1+у) ~" = е. и-+О (7.42) 1/3 1/4 0,1 0,001 0,0001 0,01 д(у) 2,7169 2,7181 2,250 2,370 2,441 2,594 2,7047 На первый взгляд результат в (7.42) (да и в (7.38) ) парадоксален: при у-+ 0 1+у -~ 1, а единица в любой степени единица! Но вследствие того, что показатель степени 1/у при у -+ 0 является 6.6. функцией, а основание степени все же не единица, хотя и отличается от нее на б.м. при у-+0 функцию (см.
7.5), предел больше единицы. Изменение значений функции д(у) = (1+у)1~1' при уменьшении у показано ниже (напомним, что в 6.6 было приведено приближенное значение е т 2,71828). 288 7. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ В ТОЧКЕ По существу, (7.38) и (7.42) позволяют, как говорят, „рас крыть" неопределенность типа 1 Пример 7.13. Вычисление предела функции при х -+ оо приводит к неопределенности именно такого типа. После тождественных преобразований ха+ 1 * 1+ 1/х~ 1 1ТР 2:2ТР положим 1/ха=у и -2/х~= я.
Тогда < х~+1 =(1+у) ~(1+ ) ~(1+ ) ~ х2 2 Если х -~ оо, то и у-+ О, и х-+ О, так что после замены переменных по (7.33), учитывая (7.23) и (7.42), получим 2 1 ж2 1ип — = 1ип(1+у)'~" 1пп(1+я)'~' 11а(1+я)'~'=е~. ~-+оо х~ — 2 р-+О ®-+О .й-+О T.в. Экспонента, натуральные логарифмы и гиперболические функции е~" = ехр(1пх) = х. (7.43) В математическом анализе и в прикладных задачах число е играет заметную роль.
В частности, оно служит основанием показательной функции е (иногда пишут ехрх), называемой экспоненциального (или просто экспоненпвой), и обратной к ней логарифмической функции 1пх = 1ои,х, графики которых приведены на рис. 7.13. Там же дан график функции е = ехр(-х). Логарифмы с основанием е называют натвуральными. Для них основное логарифмическое тождество имеет вид 7.8. Экспонента, гиперболические функции Функция 1п х обладает всеми свойствами логарифмической функции с основанием, большим единицы. Справедливы известные формулы перехода от одного основания к другому, в частно- сти 1п х= — =1п10 1дх =2,30261дх, 1цх 1де 1пх !их= — =1ие 1пх =0,4343!пх.
1п 10 Рис. 7.13 Таким образом, е' и !пх являются частными случаями (при основании а = е) основных элементарных функций: показательной ае и логарифмической 1ои,х. тооо = (то — ьт1)и+ ~т1(оо — 10), возникает приращение скорости ракеты Рис. 7.14 Ьт1 Ьт1 Ьо1 = о1 — оо= 10 =Ю вЂ”, то — ~т1 т1 где т1 — — то — Ьт1 — масса ракеты после первого этапа работы двигателя. Подобным образом на втором этапе Ьт1 Ьтиг ~ог = ог — о1 — — ~ =Ив т1 — "."т2 тг 19-644 Пример 7.14. Пусть перед началом работы ракетного двигателя ракета имеет массу то и скорость оо. Процесс работы двигателя условно разделим на большое число а Е Я этапов (рис. 7.14). На первом этапе соскоростью ш относительно ракетыотбрасывается некоторая масса Ьт1 продуктов сгорания топлива.
В результате, согласно закону сохранения количества движения (без учета влияния атмосферы и поля тяготения) 290 7. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ В ТОЧКЕ и т.д. Зтапы работы двигателя выберем так, чтобы Ьи1 = = Ьюг —— ... —— Ьо„= Ью. Тогда можно написать ~т1 ~тг ш т1 ~тг ~те — 1+ — — — 1+ —" тг тв Ью Ьт| 1+ — = 1+— Ю т1 С учетом того, что Ьт1 т0 .
Ьтг 1+ — = — 1+— т1 т1 тг и т.д., имеем 1+— (7.44) где через т„обозначена масса ракеты в конце работы двига- теля (после и этапов), когда скорость ракеты составляет ю, = о0+Ье1+Ьог+...+Ьо„= о0+иЬо. Обозначим а/Ьо = х. Тогда ~к ~0 ~к ~0 и= =х Ью в и с учетом (7.44) 1+1 ™ (7.45) Реальный процесс горения топлива в двигателе протекает не по отдельным этапам, а непрерывно, т.е.
число этапов и -+ оо. Зто означает, что х = иго/(юк — е0) -+ оо. Переходя в (7.45) к пределу при х -+ оо, с учетом (7.38) получим 291 7.8. Эксаоыента, гипербоаические функции После логарифмирования по основанию е придем к известной формуле Циолковского ~к — ~0+ ®~п ЩО 3Вк (7.46) С экспоненциальной функцией тесно связаны винербомичесмие синус, косинус, тианаенс и нотпанаенс: е — е ~ е~+е вЬх сЬх зЬх=, сЬх =, йх = — и сФЬх= —.
2 ' 2 ' сЬх зЬх Они являются элементарными фуикцилми, поскольку получены из основной элементпармой функции е путем суперпоэиции (е ) и.алгебраических операций. Отметим, что сЬх— четная, а вЬх, йх, сФЬх — нечетные функции (рис. 7.15). Аналогом известной формулы сов~ х+в1пзх = 1 для гиперболических функций является формула сЬ~ х — вЬ2 х = 1 ~Ь Е Е (7.47) 19 для идеальной скорости ракеты, движущейся в пустоте вне поля тяготения. Отношение яо/т„— число Циолковского— характеризует совершенство конструкции ракеты. Чем это число больше (см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
