I Морозова В.Д. Введение в анализ (1081368), страница 42
Текст из файла (страница 42)
график функции 1пх на рис. 7.13), тем большую долю составляет запас топлива от начальной массы що ракеты, тем выше относительный прирост (о„— оо)/в ее скорости и выше ее конечная скорость ю„. Скорость в истечения продуктов сгорания топлива характеризует совершенство ракетного двигателя. С ее увеличением также растет конечная скорость ракеты, причем прямо пропорционально. Рассмотренный путь вывода (7.46), опирающийся на второй замечательный предел, принадлежит одному иэ пионеров теоретической космонавтики Ю.В. Кондратюку (1897-1941).
В работах К.З. Циолковского (1857-1935) соотношение (7.46) получено с использованием мощного аппарата дифференциального и интегрального исчисления. ф 7. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ В ТОЧКЕ Кроме того, зЬ(х:Е у) = зЬ х сЬ у ~ зЬ у сЬ х, сЬ(хну) =сЬх сЬу=ЬзЬх зЬу. (7.48) Как и пьригонояетпричесхие фумхции, каждан из гиперболиче ских имеет обратную функцию. Рис. 7.1$ Вопросы и задачи 7.1. Записать в символической форме определении для случаев: а) Йп ~(х)=+со; б) 1ип Дх)=-оо; в) 1нп ~(х)=со; г).
1пп Дх)=+со; д) 1ип Дх)=-оо; е) 1пп ~(х)=со; ж) 1нп ~(х)=+оо; з) 1ип ~(х)=-оо; и) 1нп Дх)=со. Привести пример функции ~(х) для каждого из случаев. 7.2. Привести пример функции, не имеющей предела при х -++оо, но имеющей предел при х -+ -оо. 7.3. Показать, что существует 8 ) О, такое, что для любых х, удовлетворяющих неравенству ~х — Ц < 8, справедливо: 294 7. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ В ТОЧКЕ 7.9.
Пусть Дх) + оо при х -+ оо. Найти 1ип Я(х)). 7.10. Найти Ит —, ~Ц(х)) х-+оо ~(Х) если ~(х)/х-+оо при х-+оо. 7.11. Найти а и 6 из условий: х2+1 а) 1ип — -ах-Ь =О ," х-+оо Х+ 1 б) (~/~~-,~+1-аи-6) -~0 при и-~+со и и-~-оо. 7.12. Доказать, исходя 'из определения предела по Коц~и, что: а) 1нп 2 =1 — О и 1ип 2*=1+0; х-+-О х-++О б) 1ип ~(х) =2+0 и 1ип Дх) =2 — О х-+-оо х-++Оо при Дх) =2х/(1+х).
Является ли прямая у=2 асимптотой графика функции ~(х)? 1ип — = 1пп (~(х+ 1) — ~(х)), ~(х) х-Ф+оо Х х-++оо а если к тому же существует конечный или бесконечный ° У( +1)-У(*) 1ип — % х-++оо хп то 1ип 1() х-++ х"+1 и, + 1 7.13. Доказать, что если ~(х) определена в промежутке (а, +оо) и ограничена в каждом конечном интервале (а, О), то 8. ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ Гл.
6 и 7 посвящены одному из основных понятий матема тического анализа — пределу. И в случае числовой последоватпельности, и в случае дейстпвитпельной функции действительного переменного исследовано неограниченное приближение к некоторому постоянному значению переменной величины, зависящей от другой переменной при определенном ее изменении. В этой главе попытаемся обобщить понятие предела для отпображений произвольных метпрических простпранств, причем обобщение коснется и способа стремления независимого переменного к заданному значению.
8.1. Понятие предела отображения Пусть Х и У вЂ” метрические пространстпвасзаданными на них метриками р и Ы соответственно, а А С Х вЂ” некоторое подмножестпво в Х с той же метрикой р, имеющее а Е Х своей предельной точкой. Подчеркнем, что в силу определения 5.9 эта предельная для А точка может как принадлежать, так и не принадлежать подмножеству А. Будем рассматривать о проколотую окрестпностпь 0(а) = У(а) ~ (а~ данной точки.
Пусть областпь определения отображения ~: А-+ У включа ет множество А. Отметим, что для точки а это отображение может и не быть определено. Определение 8.1. Точку 6 б У называют пределом отпображения ~: А -+ У в тпочне а по множестпвр А и записывают 6 = Ит Дх) или Дх) + 6 при х-„+а, если, како- й~~О ва бы ни была окрестность У(6) точки 6, существует такая 8.1. Понатме пределе отобрвхенки Если в (8.5) 6=0, то функцию Дх) называют бесконечно малой ари стпремлении х ео мноиеестиву А к точке а б Х и записывают Б|п ~(х) =О:~ Че >О Э0(а): ЖдФ Ю (х Е У(а) П А =~ ~~(х) ~ < е).
(8.6) Ч(+оо) = (у Е У: у > М3 = (М, +оо), У(-оо) = Ь Е У: у < -М) = (-оо, -М), Ч (оо) = (у е У: ~у~ > М) = (-оо, -М) 0 (М, +оо). Тогда иэ (8.1) следуют три довольно похожих между собой за- писи в символической форме определений бесконечных пределов функции: О 1пп ~(х) =+оо:с~УМ > О ЭУ(а): (х Е 0(а) й А =Ф У(х) > М), о 11|п Дх) = -оо А~УМ > О ЭУ(а): х~+а о (х Е Ща) й А =~ ~(х) < -М), О 1ип ~(х) =со:с=~УМ > О ЭЩа): Ф~~О (х Е 0(а) й А =~ ~~(х) ~ > М). (8.7) (8.8) (8.9) Пример 8.1.
Покажем, что 1пп Дх) =с, Ф~ФЮ При У С Й можно говорить о бесконечных пределах отображения, если точка 6 лвлиетси одной из бесконечных точек (+оо или -оо) расширенной числовой прямой Е или их обьединениен (оо). В этом случае окрестность каждой из перечисленных точек при выборе произвольного М > О примет вид 298 8. ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ если отображение ~ в точках множества А принимает одно и то же значение с. В самом деле, какой бы ни была окрестность о У(с) точки с, ЧхЕ0(а)ЙА ~(х) =с,таккак хЕА. Поэтому О У(0 (а) й А) ю с Е У(с), что соответствует определению 8.1.
Убедимся, что Ив Дх) =а, ФдФЮ если отображение ~ тождественно, т.е. ~(х) =х Чх 6 А. В О этом случае для любой окрестности У(а) при выборе У(а) = = У(а) ~ (а) для тождественного отображения получим ~(0(а) ПА) = 0(а) ПА= (У(а) ~(а)) йА С У(а), что отвечает (8.1). В частности, когда А=И и а соответствует бесконечной точке +со расширенной числовой прямой, имеем: Дх) -++оо при х -++оо. Действительно, при произвольном М > 0 в качестве проколотой окрестности бесконечной точки +со достаточно выбрать множество У(+со) = = (х Е И: х > М), чтобы получить Дх) > М и удовлет'ворить условию (8.7).
ф Если в определении 8.1 Х = У = И и подмножество А = = (х Е И: х > а), то приходим к понятию правостороннего предела действительной функции действительного переменного в точке а, обозначенного в 7.2 1ип ~(х). Если же Х=У=И ~-+в+О и А = (х б И: х < а), то приходим к понятию левостороннего предела функции ~(х) в точке а, обозначаемого 1ип Дх). а-+а-0 Отметим, что множество А может совпадать со всем множеством Х. При Х =У =И этот случай в определении 8.1 соответствует понятию двустороннего предела действительной функции действительного переменного, причем (если нет угрозы путаницы) вместо 1пп ~(х) пишут просто 1нп Дх). ж~~а з-+й Конечно, говоря о 1пп ~(х), можно рассматривать всевоз- йлФФ можные мыслимые подмножества А, но не всегда это приводит 8.1.
Поиаше .предана отобраиеыия Оаредеиение 8.2. Точку Ь Е У называют вреде.лом твосмедовютве,юьмосши (у„) точек у„метрического пространства У, если, какова бы ни была окрестность У(Ь) С У точки Ь, существует натуральное число У, такое, что начиная с номера У+ 1 все точки данной последовательности попадают в эту окрестность, т.е. йп(у ~ =Ь:сФ ~Я(Ь) ЗФ Е Я: (и ) Ж =~ у, Е У(Ь)). (8.10) При выполнении (8.10) говорят также, что (у„) стремится к точке Ь.
Использовав в (8.10) вместо произвольной окрестности точки Ь ее произвольную е-окрестность, будем иметь Ип~(увы = Ь:~Фее ) 0 ЗУ(е) Е Х: (и > У=~И(у„, Ь) <е). (8.П) Сравнивая (8.11) с (6.28) и определением 6.5, заключаем, что последовательность (у„~ точек у„ метрического пространства стремится к точке Ь, если числовая последовательность ~Я(у„, Ь)) расстояний Ы(у„, Ь) е В бесаонечио мамая, т.е. 3ип(у„3=Ь~1пп(сЦу„, Ь)) =О. Иначе говоря, исследование поведения последовательностей точек произвольного метрического пространства опирается на исследование сходимости числовых последовательностей. к содержательным нетривиальным результатам.
Так, если функцию Дироле рассматривать на подмножестве Я С Й рациональных чисаа, то получим просто постоянную функцию, предел котороЙ установлен в примере 8.1. При А = Х'С Х = Й и а =+оо определение 8.1 приведет к понятию предела последовательности точек произвольного метрического пространства У. В связи с этим дадим следующее определение. 300 8. ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ Более того, и предел отображения произвольных метрических пространств тесно связан с пределом последовательностей. Эту связь устанавливает следующая теорема. Ь=11т ~(х) ааЧ(х„) ( 0т р(хщ, а)=0 ~ Ит НЩх„), Ь) =О).
Предположим, что точка 6 б У удовлетворяет определению 8.1 предела отображения и (х„) — произвольная последовательность точек х„из А, стремящаяся к точке а Е Х. Тогда, согласно (8.1), какова бы ни была окрестность Ч (6) С У О точки Ь, существует проколотал окрестность Ща) С Х точ- О ки а, такая, что ~(0'(а) й А) С Ч(6). По определению 8.2, в О 0(а) ПА должны лежать начиная с некоторого номера У+ 1 все точки стремящейся к а последовательности (х„), т.е. в силу (8.10) 3У Е Х: х„Е Ща) ( ) А Чя > Ф.
Тогда начиная с того же номера все точки ~(х„) Е У последовательности (Дх„Ц лежат в У(6), что, согласно определению 8.2, означает, что зта последовательность стремится к 6. Чтобы доказать достаточность условия теоремы, предположим, что для любой стремящейся к а последовательности (х„) точек х„из А последовательность (~(х„)) точек ~(х„) из У стремится к Ь. Если бы 1ип ~(х) ,-Е 6, то зто означало бы су- ~~+О ществование такого числа е > О, что при любом выборе б > 0 имеется точка х б А, удовлетворяющая условиям р(х, а) ( 0 Теорема 8.1. Отображение ~: А С Х -+ У имеет точку 6 Е У своим пределом при стремлении х по множеству А к точке а тогда и только тогда, когда при отображении ~ образ любой стремящейся к а последовательности точек из А является последовательностью точек из У, стремящейся к 6, т.е.
8.1. Понятке аределв отображениа 301 и Н(Дх), 6) > е. При сколь угодно малом 0 > 0 можно указать натуральное число Ж, такое, что 1/Ф < 0. Тогда для каждого номера а > Ж найдется хотя бы одна точка из А, которую обозначим х„, такал, что р(х„, а) (1/а<1/Ф(6, а Ы(Дх„), 6) ) е. Таким образом, последовательность (х„), составленная из таких точек х„Е А, в силу (8.11) стремится к а, тогда как (~(х„)) не стремится к 6, а это противоречит исходному предположению. Полученное противоречие доказывает достаточность условия теоремы. Э Эта теорема позволяет сформулировать определение, эквивалентное определению 8.1.
Определение 8.3. Точку 6 б У называют пределом отображения ~: А — ~У в точке а по множестиву А, если при отображении ~ образ любой стремящейся к а последова тельности точек из А является последовательностью точек иэ У, стремящейся к 6. Символические формы записи этого определения и теоремы 8.1 совпадают. Пример 8.2.
Пусть Х=Е, А=В, а=+оо и вотображении ~: Е-+Е Дх) =созх УхЕВ. Покажем, что 1пп ~(х) = 1нп созх к~а а-++0О не существует. Возьмем последовательность (х„) = (2ил ), которая стремится к +ос. Тогда созх„= соз2тиг = 1, и в силу (6.9) 1ип(созх„) = 1. Если же взять последовательность (х„~ = ((2и+ 1)к/23, также стремящуюся к +со, то ее образ сходится к нулю. Это противоречит определению 8.3 предела отображения, т.е. укаэанный выше предел не существует.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
