I Морозова В.Д. Введение в анализ (1081368), страница 46
Текст из файла (страница 46)
если (3 11т Дх) Е Е) Л (1иа ~'(х) = Да)), (Я,1) Рассмотрим функцию Дх), определенную, по крайней мере, в некоторой окрестности точки а Е Е, так что в этой точке функция имеет вполне определенное значение Да). При введении понятия предела функции в некоторой точке а (см. 7.1) было подчеркнуто, что эта точка может и не принадлежать области определения функции, а если и принадлежит, то значение Да) не играет никакой роли.
При введении понятия непрерывности функции в точке ее значение в этой точке играет решающую роль. 9.1. Нещ~еривкость функции в точке 325 Раскрывая содержание этого определения на языке е — 8, можно сформулировать эквивалентное ему определение. Определение 9.2. Функцию ~(х) называют непрерывной в тпочке а Е В, если, каково бы ни было число е > О, для него найдется число 8 > О, такое, что для всех х Е В, удовлетворяющих неравенству ~х — а~ < 6, выполняется условие Щх) — ~(а)~ < е, или Уе > О =М(е) > О: Ох — а~ < 8 =~ Щх) — Да) ~ < е).
(9.2) Если сравнить условие (9.2) непрерывности функции в точке а с' определением (7.3) предела функции в этой точке, то увидим, что различие состоит в замене в (7.3) значения 6 предела на значение ~(а) функции и в дополнении к проколотой 8-окрестности точки а самой этой точки. Из определения 9.2 следует, что свойство непрерывности функции в точке является локальным, поскольку зависит от поведения функции в сколь угодно малой окрестности этой точки. Непрерывная в точке а ~ В фун- У У(х) кция ~(х) определена в некоторой У2 окрестности этой точки.
Предпо- Л4 ложим, что графиком этой функции ! является „непрерывная линия", т.е. Х~ И Х2 Х что ее можно провести, не отрывая карандаша от бумаги (рис. 9.2). Линия Рис. э.й должна проходить через точку М с координатами (а, ~(а)). Рассмотрим полосу Да) — е < у < <,~(а)+е между горизонтальными прямыми у1 -— Да)-е и ур = У(а)+е при е > О и часть линии графика, содержащую точку М и лежащую целиком внутри заштрихованной полосы.
Проекцией этой части линии на ось абсцисс Ох будет некоторый интервал (х1, хр), причем х1< а < хг. Обозначим через 8 меньшее из расстояний точки а Е В до концов этого интервала, т.е. 8=пип(а-х1, хр — а~. Если х таково, что ~х-а~ <8, то х лежит в интервале (х1, х~), а значение ~(х) функции 326 9. НЕПРЕРЫВНЫЕ ФУНКЦИИ лежит в интервале ®а) — е, Да)+е). Так как проведенное рассуждение верно для произвольного е > О, указанное представление о непрерывности линии графика функции приводит к определению 9.2 непрерывности функции Дх) в точке а б й.
Обратим внимание на существенную сторону определения 9.2 непрерывности функции на языке е — Ю. Это определение говорит том, с какой точностью надо задавать значения аргумента функции для того, чтобы получить значения функции с заданной точностью. Именно эта практическая сущность определения 9.2 позволяет понять, почему так много внимания уделено изложению на языке е — 8 понятия предела и непрерывности и связанных с ними вопросов. Определение 9.1 непрерывности функции можно сформулировать в иной форме. Изменение аргумента функции от значения а Е Ж к другому значению х можно представить как прираифеиие аргумента (положительное или отрицательное) в пюре абй Ьх=х — а. (9.3) Тогда новое значение Да+ Ьх) функции у = Дх) будет отличаться от прежнего значения Да) на величину Ьу = Ь|(а) = Дх) — Яа) = Яа+ Ьх) — Да), (9.4) называемую приращением фуим- У иии в творе а Е Е. Геометри- ческий смысл приращений ясен из ау=а(а) рис.
9.3, на котором и Ьх, и Ьр У(а) положительны. В общем случае каждое из них может иметь любой знак. Поскольку (9.1) означает, что Рис. 9.3 ,~(х) -+,~(а) при х -+ а, то с уче- том (9.3) и (9.4) это равносильно Ь~(а) -+О при Ьх-+О, т.е. Ь|(а) является функцией, бесконечно малой (б.м.) при й,х -~ О. Следовательно, определениям 9.1 и 9.2 эквивалентно следующее определение. 327 9.1. Непрерывность функцни в точке Определение 9.3. Функцию ~(х) называют мевуерывмой в точке а Е Е, если приращение функции в этой точке является функцией, б.м.
при Ьх -~ О, т.е. 1ип Ьу= 1пп Ь~(а) =О. Ьж-+О Ьх-+О (9.5) Ьх / Ьх~ ~ )ь|(х)) = )в!п(х+ ьи) — в!их) = ~2в!и — савах+ — ) ) ~ )ьх), 2 ~ 2~~ так как $соз(х+Ьх/2)$(1, а ~з1п(Ьх/2) ~<$Ьх$/2 (см. (7.34) ). Поэтому Ь ~(х) -+ О при Ьх -~ О и выполнено условие опре- деления 9.3 непрерывности данной функции в любой точке аЕЕ.4 Используя теорему 7.2, сформулируем 'на „языке последовательностей" еще одно определение, эквивалентное определениям 9.1 и 9.3. Определение 9.4. Функцию Дх) называют неирерывиой в точке а Е Е, если для любой сходящейся к а последователькости (х„) значений аргумента х Е Е соответствующая последовательность (~(х„)) значений функции сходится к Да), т.е. если Ч(х„): 1ип(х„) = а =~ 31пп(Дх„)) = ~(а).
Пример 9.2. Опираясь на определение 9.4, убедимся в непрерывности похазатпеяьной функции ~(х) = а в каждой точке х ЕЕ. Пример 9.1. а. Функция ~(х) = с= сопз1 непрерывна в каждой точке а ЕЕ,так как УаЕЕ ЬУ(а) =Дх) — У(а) =О и выполнено (9.5). б. Функция Дх) = х также непрерывна в каждой точке а Е Е, поскольку Ча б Е Й~(а) = Ях) — Да) = х — а = Ьх и выполнено (9.5). в. Функция Дх) =з1пх непрерывна в любой точке а ЕЕ. Имеем 328 9.
НЕПРЕРЫВНЫЕ ФУНКЦИИ Рассмотрим произвольную последовательность (х„), сходящуюся к х, и покажем, что (а~*') сходится к а~. Согласно определению 6.3 предела последоватпельностпи, надо показать, что для произвольного е > О существует У Е Х, такое, что М > Ф ~а~" — а ~ < е. Стало быть, для элементов х„последовательности (х„), начиная с некоторого номера, должно выполняться условие а ~а*" — Ц < е, или 1 — е/а~ < а~" < < 1+е/а*. Отсюда при а ф 1 с учетом свойств логарифмической фрикции имеем е ~а-Ц вЂ” е1 — — 1о®, 1 — — ° < х„— х < ах а — 1 е ~а-Ц < 1оа 1 + — ' = ез. (9.6) а~ а — 1 В силу сходимости (х„) к х начинал с некоторого номера Ф + 1 будет обеспечено выполнение двойного неравенства в (9.6).
Действительно, по определению 6.3 предела последовательности, для любого положительного числа, в частности для е, = пип(е1, еД, существует У Е М, такое, что ~х„— х~ < е, при и > Ж. Проведя в обратном порядке рассуждения, аналогичные предыдущим, получим, что при и > М ~а~" — а ~ <е, что означает сходимость (а~" ~ к а~ и (согласно определению 9.4) непрерывность функции ~(х) = а в каждой точке х бй.
9.2. Свойства функций, непрерывных в точке Если функция Дх) непрерывна в тпочке аЕВ, то она имеет в этой точке конечный предел, согласно свойствам 1 и 2 (см. 7.4) ограничена в некоторой окрестностпи тпочки а и при условии Да) у~ О энакопостоянна. Кроме того, из правил предельного перехода (7.22) -(7.24) при арифметических операциях следуют свойства непрерывности в точке а б Е: 9.2. СЪойства фуикцнй, непрерывиых в тдчке 329 1) линейной комбинации коне.июго числа т Е Х функций, непрерывных в данной точке, т.е. 999 х (1т Д(х) = /ь(а) Е К УЙ = 1, х1 т (1т Я сь~~ (х) = В=1 ахБт Ях) т ~~ схЯа), сх ЕК И=1, ш; (9.7) 1=1 В=1 2) произведения конечного числа т Е Х функций, непрерывных в данной точке, т.е. 3 1ип Ях) = Яа) Е Ж И = 1, т =~ 9В ФВ т 11т П Ых) = П Яа); (9.9) 3) частного двух функций, непрерывных в данной точке, при условии, что значение делителя в этой точке отлично от нуля, т.е.
(3 1ип У(х) = У(а) Е Е) Л (3 1ип у(х) = у(а) ф. О) =~ у( ) 1ип ~(х) у( ) =~ 1ип — = ~' = —. (9.9) ж-+а у(х) 1ип у(х) у(а) Свойство (9.8) можно распространить на натуральную стеиеиь и Е М функции, непрерывной в точке а, т.е. 3 1ип У(х) = Да) Е Е ~ =Ф 1ип фх)) = (1пп Дх)) = фа)) . (9.10) В частности, согласно (7.25) многочяены являются непрерывными функциями в любой точке х б Ж, а дробно-рациоиальнал функция в силу (7.26) непрерывна во всех точках числовой прлмо6 В, кроме точек, в которых ее знаменатель обращается в нуль.
330 9. НЕПРЕРЫВНЫЕ ФУНКЦИИ Теорема 9.1. Если функция у = Дх) непрерывна в точке а, а функция д(у) непрерывна в соответствующей точке Ь = ~(а), то сложная фуксия д(~(х)) непрерывна в точке а, или (Э1пп ~(х) = ~(а) =6) Л(Э1ппу(у) =д(6)) =~ =~ 1пп у(Дх)) = уфа)). ~ В силу непрерывности у(у) в точке 6= ~(а) Че>О ЭЮ(е) > О: ~у(у)-у(Ь)~<е при ~у — 6~ <8. В силу непрерывности ~(х) в точке а для этого о найдется о1 > О, такое, что при всех х, удовлетворяющих условию ~х — а~ < 81, неравенство Щх) — Ь~ < о выполняется и, следовательно, для таких х справедливо условие ~у(Дх)) — д(6)~ < е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
