I Морозова В.Д. Введение в анализ (1081368), страница 44
Текст из файла (страница 44)
л Теорема 8.16. Если при х-„+а функции ~(х) не убывает (или не возрастает) и ограничена сверху (соответственно снизу) при хл+а, то существует 8А. Признаки сущестиоваиты иредела действительиой функции 311 Для неубывающей функции в силу определений 8.5 и точной верхней грани 1в1'(Дх): х й 1)в1а) ЙА) а а вир(Дх): х 6 111 1а) 1 Ща)) 11 А~ а Дх') > Ь вЂ” в. О О В то же время из Ц(а) С 0(а) имеем вир(Дх): х Е 1)11а) ЛА) (вир(Дх): х Е 1)1а) ПА) = Ь. Итак, всюду на множестве У(а) П А Ь вЂ” е с Дх) < Ь, а это в силу (8.5) означает, что 1ип Дх) = Ь. жл+Ф Если же функция Дх) не возрастает при х +а, то функция -Дх) не убывает.
Ограниченность снизу ~(х) при х-„+а обеспечивает ограниченность сверху -~(х) при х-,+а. Как мы только что доказали, 1!т(-Дх)) =вир(-Дх): х й Ща) ЙА). Поэтому Π— 11т йх) = -1иф(х): х ~ 11 (а) й А), т.е. утверждение теоремы верно и для невозрастающей функ- ции. э Теорема 8.17. Если при х~~а функция Дх) не убывает (или не возрастает) и не ограничена сверху (соответственно снизу), то 1ип Дх) = +со (соответственно 1ип Дх) = -оо).
~л+~ ЗЛЬО ~ Пусть функция ~(х) не убывает. Для произвольного поло- О жительного числа М в любой проколотой окрестности 0(а) 8. ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ точки а найдетсн точка х', такал, что для неограниченной сверху функции ~(х') > М. Найдем такую проколотую окрест- Р о О ность Ц(а) точки а, что х'ф01(а) С0(а). Тогдас учетом определении 8.5 аа < аир(У(х): а а (У(а) ~()1(а)) ПА) < < !ай(У(а): а Е ()~(а) П А~. Следовательно, во всех точках множества Ц(а) йА Дх) > М, что в силу (8,7) дает 1ип ~(х) = +со.
Ход доказательства для случал невозрастающей и неограниченной снизу при х-„+а функции аналогичен. Ь Из рассмотренных в примере 8,3 неубывающих при х-,+О функций (А =)и,~(0~) первая нвлнетсн неограниченной, и по- этому 1 1ип — =+оо, ФЛФО х2 а вторал — ограниченной, причем (8.19) 1 к 1ип агсФд — = —.
юд~о х~ 2 (8.20) 31ип ~(х) ~~ Уе>0 30(а): ~Л~~ О Чх1,х~ б Ща) Й А ~~(х1) — ~(хр) ~ < е. Теорема 8.18 (критерий Коши существования предела функции). Функции Дх) имеет при х +а конечный предел тогда и только тогда, когда при любом положительном О е существует проколотал окрестность 0(а) точки а, такал, что абсолютное значение разности значений функции в любых двух точках из этой окрестности меньше е, т.е. 8А.
Признаки существовании нрелела действителыюй функции 313 ~ Примем сначала, что предел существует, и обозначим его Ь. Тогда в силу (8.5) при любом е > О существует такая 0 проколотая окрестность 11(а) точки а, что Щх) — Ц < е/2 О О Чх Е 0(а) й А. Поэтому с учетом (1.4) Чх1, хя б 0(а) П А имеем $Дх1) — Дх2)$ = $(Дх1) — Ь) — фхя) — Ь) $ < 2 2 ~ (~Д(х1) — Ь|+ ~Д(хя) — Ь$ < — + — = е. (8.21) Обратно, пусть существует проколотая окрестность Ща) точки а, такая, что при произвольном е > О для нее верно (8.21).
Возьмем любую последовательность (х„) точек х„Е А метрического пространства А, стремящуюся к точке а. Тогда, по определению 8.2, начиная с некоторого номера У+1 все элементы этой последовательности попадут в данную окрестность. Итак, Че > О ЗИ(е) б Х: (и > Ж) Л (т > Ф) =~ ~Дх„) — ~(х ) ~ < е, т.е. последовательность (~(х„Ц, по определению 6,4, является фундаментальной и удовлетворяет условиям критерия Коши сходимости числовых последовательностей (см.
утверждение 6.3). Таким образом, для любой последовательности (х„), стремящейся к точке а, существует предел 11ш(Дх„)), а это озна чает в силу теоремы 8.1, что существует при х-+а предел функции ~(х). $» Пример 8.4. Пусть действительная функция Дх) непрерывна и мокотонна на множестпве А = [Ы, +оо) и ограничена при х ++со.
Покажем, что Дх) равномерно непрерывна на А. Из ограниченности и монотонности ~(х) в силу теоремы 8.16 следует существование при х~++оо конечного предела. Это, в свою очередь, в силу критерия Коши (теорема 8.18) 314 8. ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ означает, что О О Че > О 30(+со): Ух„хз б 0(+со) й А ~~(х1) — У(хз) ! < е. Проколотая окрестность бесконечной точки +со расширенной числовой прямой совпадает с окрестностью этой точки, т.е. О 0(+со) = (х Е В: х > Е~ ЧЕ Е Й. Тогда для рассматриваемой функции имеем Че > О 3Е > Ы: Чх1,хз > Е ~~(х~) — ~(хз) ~ < е.
Это неравенство справедливо, если при некотором произволь- ном 6 > О будет еще и ~х~ — хз~ < о Ух1, хз > Е. Таким образом, получим М > О 38 > О: Цх1 — хз~ < 8 Чхь х~ > Е > Ю) =~ =~ ~~(х1) — ~(хз) ~ < е. (8.22) Дополнение 8.1. Полное метрическое пространство Понятие фундаментальной последовательности можно распространить напроизвольноеметрическое пространство Х с метрикой р. Определение 8.6..Последовательность (х„) элементов х„б Х называют фрндамевтальио4, если для любого положительного числа е можно указать натуральное число М, По определению 5.17, (8.22) означает, что ~(х) равномерно непрерывна на множестве (хай: х>Е~ = (Е, +оо), При Е>Ы этафункция равномернонепрерывна наотрезке ~Ы, Е~ в силу ее непрерывности на этом отрезке (см.
следствие 5.6), т.е. неравенство (8.22) справедливо и для любых х1,хр Е [а, Е|, а значит, и для любых х1, хя )~ А Таким образом, функция ~(х), по определению 5.17, равномерно непрерывна на множестве (хай. "х~)сЦ=~И, +со) =А. Д.8.3. Приициш слиикшииих отображений 315 такое, что расстпояние между любыми двумя ее злементпами с номерами, большими Ф, меньше е, т.е.
если Уе > 0 ЗФ(е) (- Я: (и > Ф) Л (тп ~ У) =Ф р(к„, к,„) < е. Определение 8.Т. Метрическое пространство называют иолным, если любая фундаментальная последовательность его точек сходится к точке этого же пространства. Дополнение 8.2. Принцип сжимающих отображений Пусть Х вЂ” метприческое простпранстпво с метприкой р. Определение 8.8. Отпображение ~: Х -+ Х называют сжиматощмм, если существует такая положительная постоянная д< 1, что для любой пары точек к и у из Х имеет место неравенство рЯк) У(у)) <ЧИ* у). (8.23) По теореме 6.7, любая сходящаяся последовательность фундаментальна. Этот вывод нетрудно распространить на произвольное метрическое пространство, используя (8.11) и неравенстпво тпреугольника (см.
определение 5.1). Однако обратное утверждение не всегда верно — не всякая фундаментальная последовательность (х„) при х„ Е Х сходится к точке данного метрического пространства Х. Например, последовательность (х„) при х„ = 1/и, и Е Я фундаментальна в метрическом пространстве Х = (О, 1) с метрикой р(к, у) = ~к — у~, но не сходится в этом пространстве.
Она сходится к точке а = О, но а ~ Х. Эта последовательность сходится в Х~ —— ~0, Ц С В, а значит, и в В. Помимо В примерами полных метрических пространств являются отрезки [а, 6) С В, бесконечные полуинтпервалы (-оо, а1 и 16, +оо) и их прямые (декартповы) произведения. 316 8. ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ Отсюда вытекает, что отображение ~ удовлетворяет условию Липиища (5.21) и, следовательно, равномерно непрерывно.
Определение 8.9. Точку а называют меаодвижмой тиочюеой отпобраасеним ~, если ~(а) = а. ',Юворема 8.19 (о неподвижной точке сжимающего отображения). Любое сжимающее отображение полного метрического пространства в себя имеет единственную неподвижную точку. ° 4 Если неподвижная точка сжимающего отображения суще- ствует, то единственность ее очевидна. В самом деле, если а1 и а~ — две неподвижные точки, то, согласно (8.23) и опреде- лению 8.9, имеем р(Ла ) У(а~)) =р(а1 а~) <др(а я) х1 = Ихо)~ ха = Х(хд, ", х» = У(х -1) получим некоторую (бесконечную) последоватпелькостпь (х„) точек из Х.
Докажем, что она фуидаментпальна. Поскольку ~ — сжимающее отображение, можно записать последователь- ность неравенств: р(х3~ х1) ~~ др(х1$ хо)~ р(хз х~) < др(х~, х1) < д~р(х1, хо), ° ° а ° ° ° ° ° ° ° ° ° Ф ° ° ° ° ° В ° ° ° ° р(х„.+1, х„) < др(х„, х» 1) « ... д"р(х1, хо), т,е, (1 — д)р(а1, ар) < О, что может быть только в случае, если р(а1, а~) = О, а стаю быть, в силу определения 5.1 метрики а1 =а2 Для доказательства существования неподвижной точки применим метод последоватпемьиых принижений. Пусть хо— произвольная точка из Х.
Положив 8. ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ 318 Поскольку (8.24) справедливо Чт Е Х, согласно теореме 8.14 о переходе к пределу в неравенстве имеем р(а, х„) = 11ш р(х +, х„) 4 — р(х1, х0), Ч ИВ-+00 1 — я (8.25) что позволяет получить оценку быстроты сходимости последовательности (х„~ к а. Применим теорему 8.19 к решению уравнения вида (8.26) ~(х) =О, представив его в форме х = у(х). (8.27) ~у(х1) — у(х~)$ < д$х1 — хз$ Чх1,хз б [а, Ь~. (8.28) При этом в силу (8.25) справедлива оценка погрешности 1х — х ~ ( — 1у(хо) — х01 е Ч 1 — е' (8.29) Это можносделать, записав, например, при сф.О х=х+с~(х).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
