I Морозова В.Д. Введение в анализ (1081368), страница 37
Текст из файла (страница 37)
График функции при х -+ +оо неограниченно приближается к горизонтальной прямой у= Ь, называемой в этом случае прввосторонней горизонтальной асимптотой графика функции. ))х) — )а))»)х — а) <а, что, по определению 7.2, означает справедливость (7.5).
4~ Вернемся к определению 7.1 предела функции в точке и рассмотрим функцию ~(х), определенную в окрестности бесконечной точки +со. Тогда, расшифровывая окрестности в определении 7.1, можно сформулировать следующие определения. 255 7.1. Ощщ~елаиие црелелв функции Аналогично можно сформулировать определение предела функции при х + -оо (функция должна быть определена в окрестности бесконечной точки — оо).
Если функция ~(х) определена в окрестности 0(оо), то можно говорить о пределе функции при х + оо: Ь= 1ип Дх):СФЧе >О ЗМ(е) >О: (~х~ > М=~ ~~Г(х) — Ь! <е). (7.7) В этом случае график функции имеет двуствороннтото горизонтпаяьную асимитпотиу у = Ь (рис. 7.3). Пусть теперь область определения функции Дх) включает У(х) некоторую проколотую окрест- -- т —— Ьм ность конечной точки аЕ В, а Ае.
значения функции могут являться сколь угодно большими положительными числами. В этом случае определению 7.1 эквивалентно следующее определение. 11Щ У(х) = +00:4ФЧЕ > О э6(Е) > О: (Ос ~х — а~ (6=: Дх) > Е). (7.8) Рис. 7.4 показывает, как по заданному значению Е выбрать значение 6= пип(а-х1, хр — а~, при котором будет выполнено условие определения 7.4. При х -+ а график функции не- Определение 7.4.
Функцию ~(х) называют стрем.яи4ейсм к +оо ври стиремлении аргументиа к конечной твочяе а и условно пишут 1пп Дх) =+оо, если, каково бы ни было положительное число Е, найдется положительное число ° 6, такое, что для всех точек проколотой 6-окрестности точки а значения функции принадлежат окрестности У(+со) = = (р б Е: у > Е) бесконечной точки +оо, или 256 7. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ В ТОЧКЕ Рис.
7.4 1ип Дх) =со:~ФЧЕ> О 36(Е): (О ( !х — а~ < 6 ~ ~~(х) ~ > Е). (7.9) Из рис. 7.5 ясно, как по заданному значению Е выбрать значение 6 = ппп (а — х1, х р — а), удовлетворяющее усло- У вию определения 7.5. В этом случае график функции имеет вертикаль- ~(") ную асимптоту х = а.
Пусть области ! определения и значений функции Дх) х О „„включают некоторую окрестность вида 0(оо) = (х б Е: ~,т~ > М), М > О. Дх) Если в определении 7.1 считать точки а и 6 соответствующими оо, то можно сформулировать следующее опреРис. 7.6 деление. У ограниченно приближается к прямой У(х) ' х = а, называемой в этом случае его вертпияальной асимитпотпой. Ана! логично можно дать определение пре! ! дела функции, если ее область значе! ~(х ний включает некоторую окрестность бесконечной точки -оо.
х! х2 Если функция определена в неко- торой проколотой окрестности конечной точки а Е В, а обяастпь значений функции-включает некоторую окрестность 0(оо), то можно сформулировать следующее определение, эквивалентное определению 7.1. Определение 7.б. Функцию,~(х) называют стпремлщебсл я оо тюри стпремлении аргцмй~ипа я тпоняе а и пишут 1ип Дх) = оо (или Дх) -+ оо пр$и х -+ а), если, каково бы ни х-+а было положительное число Е, найдется положительное число 6, такое, что для всех точек проколотой о-окрестности точки а значения функции принадлежат окрестности Ч(оо) = = (р б Е: ~р~ > Е~, или 257 7.1.
Оаределение нредеш функции Определение 7.6. Функцию ~(х) называют сшремлщебсл к оо при стирем,аении аргументпа к оо и пишут 1пп ~(х) =оо (или У(х) -~оо при х +со), если, каково х-+оо бы ни было положительное число Е, найдется положительное число М, такое, что для всех точек окрестности Щоо) = = (х е Е: ~х~ > М~ значения функции принадлежат окрестности Ч(оо) = (у ~ Е: 1у~ > Е), или 1ип ~(х) =со:с~ЧЕ>0 ЪМ(Е) >О: (~х~ > М =~ Щх)~ > Е). (7.10) Пример 7.2.
а. Убедимся, что при 0 < а < 1 (7.11) .1ип а =О. х-~+оо На рис. 7.6 представлен возможный вариант графика функции ~(х), удовлетворяющей У условию этого определения. Отметим, что в случаях (7.8) -(7.10) говорят о 6есконечном пределе фующаи в квочке а б Й (в отличие М х от случаев (7.3), (7.6) и (7.7), где речь идет о конечном пределе). — — -Е Анализируя все приведенные определения, представляющие, по существу, расшифровки определения 7.1, за- Рис. 7.6 метим, что если функция имеет конечный предел при заданном стремлении аргумента, то достаточно рассматривать для е сколь угодно малые положительные значения.
Когда же функция имеет бесконечный предел, достаточно рассматривать сколь угодно большие значения Е. 258 7. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ В ТОЧКЕ При произвольно малом е >О предположим, что а < е. Ис- пользуя свойства логарифмической фрикции 1ои, х при условии 0< а<1, вместо а'<е получим х >1ои,е. Поскольку а >О Ух ЕЙ, имеем М > 0 ЗМ = 1ои е: (х > М =~ 1а — 01 < е), т.е.
(7.11) верно по определению 7,3. Прямая у = 0 является правосторонней горизонтальной асимптотой графика функции ах (см. рис. 3.16). б. Покажем, что 1 1 1пп — = +со и 1пп — = О. х-+О х~ -+ х~ (7.12) Сначала предположим, что 1/х~ > Е= с~ при произвольном с > О, т.е. х~ <1/с~ (х ф. 0), или О < ф <1/с.
Итак, первое из выражениЙ (7.12) верно в силу определения 7.4, если в (7.8) выбрать о = 1/с = 1/~Ю. Затем при произвольном е > > 0 предположим, что 1/х~ < е. Тогда ~х~ > 1/~~ф, и верно второе из выражений (7.12), если в (7.7) выбрать М = 1/ф. График функции 1/х2 имеет вертикальную асимптоту х = 0 н двустороннюю горизонтальную асимптоту у = 0 (рис, 7.7). в. Проверим, что 1пп х =ос. х-+00 (7.13) 1 1 1пп — = оо и !пп — = О.
х-+О х х-+сю х (7.14) Предположим. что при произвольном с > 0 ~хз~ > Е = сз, т.е. ~х~ > с. Чтобы (7.13) удовлетворяло определению 7.6, достаточно в (7.10) выбрать М = с = ~УЕ. г. Покажем, что 7.2. Одиостороииие щмделы Рис. Т.Т Сначаиа при произвольном Е>0 предположим, что ~1/х~>Е, т.е. ~х~ < 1/Е (х у'- 0), и первое из выражений (7.14) верно, согласно определению 7.5, если в (7.9) выбрать 6 = 1/Е.
Затем предположим, что при произвольном е > 0 ~1/х~ ( е, т.е. ~х~ > > 1/е, и будет верным второе из выражений (7.14), если в (7.7) выбрать М = 1/е. График функции 1/х имеет вертикальную (х = 0) и горизонтальную (у = 0) асимптоты (см. рис. 7.7). 7.2. Односторонние пределы В 7.1 при определении предана функции Дх) в конечкой точке а б В не было наложено никаких ограничений на закон изменении аргумента х ЕЕ при х-+а в пределах проколотой окрестности этой точки. Но точка а может не иметь проколотой окрестности в области В(~) определения функции (например, для функции Дх) = ~/х точка х = 0 в Щ~) = (х Е Е.
"х > 0)). Тогда изменение аргумента х при 260 7. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ В ТОЧКЕ х -~ а имеет смысл лишь в расположенной по одну сторону от точки а проколотой иолуонрестпмостпа этой точки. Но даже в случае, когда функция определена в проколотой окрестности точки а, для анаяизаособенностей поведения функции при х -~ а бывает целесообразно ограничить „свободу" изменения аргумента х одной из проколотых полуокрестностей этой точки. Такое ограничение приводит к понятию одмостпороммеео иредела.
Пусть область определения функции ~(х) включает не- 0 которую леврто ирояолотпуто иолуонрестпностпь 0 (а) = = (а — Ь, а), Ь>0, конечной точки аЕВ. Онределеиие 7.7. Точку 6 Е В расширенной числовое прамой называют левостпоромним иределом фунмт4ан Дх) в тпочне а и пишут 11ш Дх) = 6 (или Дх) -+ 6 при ж-+а-О х -+ а — О), если, какова бы ни была окрестность У(6) точки 6, найдется положительное число 6, такое, что для всех точек проколотой левой полуокрестности (а — 6, а) точки а значения функции принадлежат окрестности У(6), или Ь = 11ш Ях):<ФЬЮ~(~) ЗЮ > 0: ж-+а-О (а — О < х ( а =~ Дх) е У(6)). Бт Дх) = ~(а — О) и 1ип ~(х) = ~(а+О). Ясно, что определение 7.7 можно конкретизировать для случаев, когда точка 6 конечна или не является таковой, как это сделано в (7.3), (7.8) и (7.9).
Аналогично определяют иравостпоронний иредел функции в точке а, когда область определения этой функции включает иравуо иромолотпуто иолуонрестпностпь Ч+(а)=(а, а+й) точки аЕВ при Й>0. Односторонние пределы для краткости часто называют просто левым и иравым и для их значений используют обозначения 262 7. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ В ТОЧКЕ Ч+(Ь) = (у б Е: 6 < у < Ь+ е) Ч (6) = (у Е Е: 6 — е < у < 6) . Пусть область определения функции Дх) включает неко- О торую проколотую окрестность Ю(а) точки а б Е. Опредедеиие 7.8.
Функцию Дх) называют ствремми4ейсл я точяе И Е сверху ври стпремхении араиментио х я ттючяе а ЕЙ и пишут Иш~(х) =6+0 (или Дх) -+6+0 ж-+в при х -+ а), если, какова бы ни была верхняя полуокрестность о Ч~(6) точки 6, найдется проколотая окрестность 0(а) точки а, такая, что для всех ее точек значения функции принадлежат Ч~(6), или йш ~(х) =6+О:сФ~Ж~.(Ь) 30(а): ~(0(а)) С Ч~.(6). Вместо (7.15) в случае конечной точки а можно написать 11ш ~(х) =6+О:СФУе > О:-У(е) > О: (О < ~х —. а~ < Ю =~ Ь < ~(х) с' Ь+ я). (7.15) Отметим, что пределы Иш ~(х) и Иш У(х) часто Ф+ 00 Ф-++00 считают односторонними пределами функции ~(х) при х -+ оо и в случае их равенства обозначают "двусторонним" пределом 1ип Дх), что формально не противоречит теореме 7.1.
И х-+оо обратно, если существует предел функции при х -~ оо, то существуют равные ему пределы этой функции при х -+ -оо х -Ф +оо. При необходимости более детального изучения поведения функции в окрестности точки а Е Й расширенной числовой прямой вводят в рассмотрение верхнюю Ч~(6) и нимеюою Ч (6) яоауоярестпности точки 6 е Й.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
