I Морозова В.Д. Введение в анализ (1081368), страница 30
Текст из файла (страница 30)
Действительно, для произвольного эламен«па у б ДХ) существует хотя бы один элемент х Е Х, такой, что Дх) = у. Одно из открытых множеств ~ «(В«),,~ '(В~), .„, ~ '(В„) (например, ~' «(В«,) ) обязательно содержит х; следовательно, В~ содержит у.
В итоге получаем, что нз произвольного (открытого) покрытия множества ~(Х) можно выделить конечное подпокрытие, т.е., по определению 5.12, ~(Х) — компакт. ~ т = '«пГ ~(х) ~бХ и М = зир~(х), юб '~ то существуют такие точки х«,хр Е Х, что ~(х«) = т и Дх~) = М. ~ Согласно теореме 5.9 множество ДХ) является компактом, т.е. в силу утверждения 5.2 оно ограничено и замкнуто. Всякое непустпое ограниченное сверху множество числовой прямой Е, снабженное естественным отношением порядка (таковым и является множество ~(Х) С Е), по теореме 2.1 имеет точную верхнюю грань. В силу свойств точной верхней грани (см.
2.7) Теорема 6 10. Непрерывная на компакте Х действительная функция Дх), х бХ, отображающая Х в В, ограничена и достигает на Х своих п«очных низсней и верхней граней, т.е. если й7. Свойства ншрерывного отобрвхеныа мыакестз 201 япрДХ) является предельной тпочкой множества ~(Х). Поскольку это множество замкнуто, число зцр~(Х) Е ДХ) и является его наибольшим значениаи, т.е. наиБольшим зна~еиием функции,~ на множестве Х. Итак, существует точка хз Е Х, такал, что У(хз) = М и ~(х) < М Чх Е Х. Аналогичным образом можно доказать существование точной нижней грани множества ~(Х) и точки х~ Е Х, такой, что,~(х1) = т, и Дх) > т Ух Е Х, т.е.
число т = ЫДХ) Е ~(Х) является наименьшим значением множества ДХ) (юаимеиьшим эивчением фуюе~ии ~(х) на множестве Х). В итоге получим т < Дх) < М Чх б Х. (5.16) Если положить М' = шах(~М~, ~тО, то вместо (5.16) можно записать (5.17) что означает ограниченность функции ~(х) на Х, ~ Пусть в условии теоремы 5.10 компакт Х является иирезком ~а, 6] числовой прямой И.. Тогда из этой теоремы вытекает следствие. Следствие б.4. Непрерывная на отрезке ~а, 6] действительная функция действительного переменного ограничена на этом отрезке и принимает на нем наименьшее и наибольшее значения. Пример 5.11.
а. Функция Дх) = ~х~ непреРывна на отрезке ~-1, 2] (см. пример 5.7), принимает на нем наименьшее значение т=0 в точке х1=0 и наибольшее значение М=2 в точке х~ = 2. 6. Функция ~(х) = 1/х непрерывна на отрезке [1/2, 2] (см. пример 5.8), принимает на нем наименьшее значение т = 1/2 вточке х~ — — 2 и наибольшеезначение М=2 вточке хз — — 1/2. 202 б.
НЕПРЕРЫВНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ 5.8. Линейно связные множества Определение 6.18. Метрическое пространство М называют линейно связным, если, каковы бы ни были точки а и 6 этого пространства, существует такое непрерывное отображение у некоторого отрезка ~а,,о1 числовой примой Е в пространство М, что у(а) = а и у(ф) =6. Отображение ~р при этом именуют титтпем (или дуном), соединиющим точки а и 6. Сами точки а и 6 называют вэтомслучаесоответственно началом и концом пути. Итак, линейно свизное пространство — это метрическое пространство, в котором любые две его точки могут быть соединены некоторым путем. Путь ~р проходит через точку с Е М, если образ срЯо, ~У~) содержит эту точку, т.е.
сЕ ~р(~а, Д). Путь ~р пересекает подмножество А С М, если уела, ~У~) ОА,-Е Я. Очевидно, что если две точки а и 6 множества М могут быть соединены некоторым путем у1 и, в свою очередь, точки 6 и с этого множества тоже могут быть соединены некоторым путем уз, то а и с также могут быть соединены путем. Пример 6.12. 'Тождественное отображение <р(х) =х: Е-т -+Е ивлиется примером пути, так как оно непрерывно в Е Действительно, при произвольном е > 0 положим ~у(х) -~р(а)~ = Интуиции подсказывает, что некоторые подмножества,це трических пространстпв можно рассматривать как нечто целое (например, интервал и отрезок на числовоб прямо0 Е, круг на плоскости Е~, шар в Е"), тогда как другие подмножества могут состоить из нескольких отдельных „кусков" (например, объединение двух интервалов или отрезков в Е, не имеющих общих точек, "объединение двух кругов в Е~, также не имею щих общих точек; дополнение'к некоторой окружности в Е~).
Далее нас будут интересовать множества, представлиющие собой нечто целое. Для уточнении этого интуитивного понития введем следующее определение. 6.8. Линейю свлэные кномествв 203 = ~х-а~ <е. Ясно, что условие (5.7) У непрерывности функции у(х) бу- Р дет выполнено, если выбрать 8= ь, В =е. Путь у(х) =х проходит че- Е рю любую точку с Е Е, поскольку образ уЦа,,в]) = [а, Д] содержит ь ь зту точку, если некоторый отре- е~ зок «а, Р] С Е выбран так, что сЕ [а,,в] (рис. 5.3). с Рассматриваемый путь ~р(х) = = х пересекает подмножество А С Рис.
$.3 С Е, если [а, ДПА у6 И. Пространство М = А С И, представляющее собой некоторый промежуток числовой прямой, линейно связно, так как Ча,Ь Е А существует непрерывное отображение у([а, Ь]) = [а, Ь отрезка [а, Ь], такое, что у(а) = а и у(Ь) = Ь. Но если М = АУ В, причем А О В = И, то при выборе а~ Е А и Ь~ Е В не удается подобрать такой отрезок [а~, Д], который бы функция ~р(х) =х отображаланепрерывно в М (функция ~р(х) созна чениями в М С Ж не определена на всем отрезке [а~, Ь~] и потому не является непрерывной на этом отрезке, т.е. в данном случае не удовлетворяет определению 5.16 пути — график фурии у(х) состоит из двух прямолинейных участков С,0 и ЕР).
ф Существует ли путь в таком случае? Ответ на этот вопрос дает следующая теорема. Теорема 5.11. Множество М С Й линейно связно тогда и только тогда, когда оно является промежутком числовой прямой. 4 Пусть МСŠ— промежуток, а,ЬЕМ и а<Ь. В качестве пути ~р, соединяющего точки а и Ь, возьмем тождественное отображение <р(х) = х Чх Е «а, Ь]. Оно является непрерывным иа [а, Ь] (см.
пример 5.12) и ~р(а) =а, ~р(Ь) =Ь. Таким образом, по определению 5.16, множество М является линейно связным. 204 $. НЕПРЕРЫВНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ 0(7,8) =(7-8, 7+8)) 8>0, для которой справедливо Д7) — е < ~(х) < Д7) + е 'Й > О. (5.18) Если,~(7) < с, то, положив в (5.18) е = с- ~(7), получим Дх) < с при х б У(7, 6), что противоречит свойству числа 7.
Такая Для доказательства необходимости условия теоремы предположим, что М вЂ” линейно связное множество и а, Ь вЂ” две его произвольные точки, причем а < Ь. По определению 5.16 линейно связного множества, существует такое непрерывное отображение ~р: [а, Д С В-+М, что у(а) =а и у(ф) =Ь. Если для любой точки с Е (а, Ь) существует точка 7 б И, такая, что а < 7 < ф и у(7) =с, то это будет означать, что М содержит любую промежуточную точку между а и Ь, т.е. является промежутком. Чтобы показать, что такая точка 7 б Е существует, рассмотрим множество А = (х Е [а, Д:,~(х) < с~. Оно не пустпо, так как Да) = а < с, и, следовательно, а Е А.
В силу ограниченности А сверху числом ф существует точная верхняя грань этого множества. Положим 7 = вир А. По свойству точной верхней грани (см. 2.7) и эамкнуяости А (см. определение 5.11) 7 Е А. Это означает, что 7 Е [а, Д и Д7) < с. Если бы 7 = а, то в силу непрерывности ~ на отрезке [а, ф) и условия Да) =а < с нашлись бы такие х>а, для которых ~(а) — е < ~(х) < Да) + е Че > О, что при е = с — а > 0 приводит к неравенству ~(х) < с, т.е. 7 у'- вирА, Если бы 7 = ф, то нашлась бы точка х' <,8 = 7, такая, что Дх) > с при х > х' (в этом случае достаточно положить е = Ь вЂ” с > О). Следова тельно, и в этом случае 7 ф- вар А.
Итак, имеем а < 7 < Д, причем У(х) < с, если х < 7, а при х>7 Лх) >с В силу непрерывности ~ на отрезке [а, Я у точки существует 6-окрестпностпь 5.8. Линейно связные мнавества 205 ~ке ситуация возникает и в случае ~(у) > с. Следовательно, у(7) с' в' Доказывая теорему 5.11, попутно доказали следующее утверждение. Утверждение 6.3. Если дейстпвитиельная функция Ях) действительного переменного х Е Е непрерывна на отрезке ~а, ~3], причем Да) = а, ~(ф) = 6 и а < с < в, то существует такая точка 7, что а< т <Д и У(~) =с. Это утверждение в дальнейшем будет играть важную роль. Его часто называют тпеоремоб о иромежутпочком экачекии действительной кеирерыекок фуксии.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
