I Морозова В.Д. Введение в анализ (1081368), страница 25
Текст из файла (страница 25)
Если числа ~ и у в исходной перестановке не образовывали инверсии, то после транспозиции возникнет одна повал инверсия. Если же эти числа в исходной перестановке образовывали инверсию, то после транспозиции она исчезнет, т.е. общее количество инверсий станет на одну меньше. В обоих случаях четность перестановки меняется. Пусть теперь между переставляемыми числами г и расположены т чисел (т Е Х), т.е. исходная перестановка имеет вид 168 4.
ОСНОВНЫЕ ЗАКОНЫ КОМПОЗИЦИИ Переставить местами «исла ~ и у можно в результате послед вательной смены мест соседних чисел, выполнив 2т+ 1 шагов (переставим г' с Й1, затем г,стоящее уже на месте Й1, с Й~ ы т.д., пока ~ за т шагов не займет место Й„, и не станет рядом с ~; затем поменяем местами ~ и ~, и, наконец, еще т ша гов уйдет на то, чтобы последовательно ~ переставить с й,„, Й 1 и т.д., после чего ~ займет место ~, а числа Й1, Йг, ..., й сохранят свои места). При этом четность перестановки меняется нечетное чысло (2т+1) раз. Поэтому перестановки (4.21) и имеют противоположные четносты. ~ Рассмотрим запись подстановки (4.19). Перестановки, составляющие ее верхнюю и нижнюю строки, могут иметь или одинаковые, или противоположные четности.
Переход к любой другой записи можно осуществить путем последовательного выполнения нескольких транспозиций в верхней строке и соответствующих им транспозицый в нижней строке. Однако совершая одну транспозицию в верхней строке (4.19) и одну транспозицию соответствующих элементов в нижней строке, мы одновременно меняем четности обеих перестановок и поэтому сохраняем совпадение или противоположность их четностей. Отсюда следует, что пры любой запыси подстановки четности верхней и нижней строк либо совпадают, либо противоположны. Определеаие 4.10.
Подстановку называют четкой, если перестановки в ее обеих строках имеют одинаковую четность, ы нечеткой — если противоположную. Ясно, что тождественная подстановка (4.20) является четной, а четность подстановкы, задаваемой в выде (4.19), совпадает с четностью перестановки в ее нижней строке. 4.5. Г)зупив иодстаиовок Сказанное выше можно обобщить применительно к взаимно однозначному отображению на себя (преобразованию) любого конечного множества Е=(а1, аз, ..., а„~ (не обязательнс~ числового), если пронумеровать его элементы первыми а натуральными числами.
Пример 4.13. Пусть и = 3 и а1 —— А, аг — — В, аз = = С вЂ” вершины равностороннего треугольника (рис. 4.5). -Тогда множество Р из а. '= 3! = 6 подстановок где 11, чг, ~з — расположенные в некотором порядке три натуральных числа 1, 2, 3, описывает группу Рис. 4.6 симметрий этого треугольника, т.е. таких перемещений треугольника в плоскости, при которых он совпадает с самим собой. Тождественная подстановка е, когда г1 — — 1, г~ — — 2, ~з — — 3, оставляет треугольник на месте. При ~1 — — 2, зз=З, $з — — 1 и т1— - 3, г~=1, 1з — — 2 (четныеподстановки а и ф) происходит поворот треугольника против часовой стрелки относительно точки О соответственно на углы а = = 2л'/3 и ф = 4я'/3 (см.
рис. 4.5). При ~~ = 1, 12 = 3, ~з = 2 (нечетная подстановка д) треугольник поворачивается вокруг оси симметрии ОА. Повороты вокруг осей симметрии ОВ и ОС задают нечетные подстановки г и 8 соответственно при и1=3 ~2=2 Фз=1 и 11=2, гав=1, гз=З. Произведение р1рг любых из этих подстановок также задает одну из операций совмещения треугольника (например, Чг = Д). В левом столбце и верхней строке табл. 4.2 помещены обозначения подстановок р1 и рр соответственно, а на остальных местах — произведения р1рр этих подстановок. 170 4. ОСНОВНЫЕ ЗАКОНЫ КОМПОЗИЦИИ В каждой строке и в каждом столбце табл. 4.2 присутству ет тождественная подстановка е, т.е. всякая операция имеет симметричную (или обратную), причем для операции поворота относительно любой оси симметрии (и, разумеется, для то ждественной операции) обратной является сама эта операция.
Таблица несимметрична относительно своей главной диагонали е а Р д т' 3 (проходящей через верхний левый а ф е г в у и правый нижний элементы), что ф е о з д г еще раэ показывает, что произд з г е ф а ведение подстановок некоммута- д 3 О 6 Р тивно. з г д ф а е Рассмотренное множество Р подстановок называют также арупт$ой саммепзрий фиакры (в данном случае равностороннего треугольника). Аналогично можно построить группу симметрий любого другого геометрического объекта как совокупность всех преобразований метрического пространства, совмещающих его с ним самим (например, группу симметрий квадрата, куба, тетраэдра и т.п.).
Именно с таких позиций Е.С. Федоров в 1890 г. построил классификацию правильных пространственных систем точек применительно к кристаллографии. Это было исторически первое приложение теории групп непосредственно в естествознании. Вопросы и задачи 4.1. Проверить, обладает ли закон композиции (операция) т свойствами ассоциативности и коммутативности на множестве Е: а) Е = Х, х т у = х~; б) Е = М, х т у = 2ху; в) Е=Е,хту=х~+уз; г) Е=Е,хту — х у; д) Е=Ж, хту=з1пх 7з1пу; Волросы и задачи е) Е= Я, астр = НОД(а, у), где НОД вЂ” наибольший общий делитель двух натуральных чисел. 4.2. Установить, какие алгебраические структуры образуются следующими числовыми множествами относительно ука эанных законов композиции: а) одно иэ множеств К, Е, Я, Я~(0), Е, В~(0), С, Е~~((0 О)), Е~ (О), пХ (и б Я), (-1, Ц относительно сложения и относительно умножения; б) множество всех четных чисел относительно сложения и умножения; в) множество степеней заданного действительного числа а ф.
0 с целыми показателями относительно умножения; г) множество всех комплексных корней заданной степени и Е Х из единицы относительно умножения; д) множество комплексных корней всех степеней и Е Я иэ единицы относительно умножения; е) множества комплексных чисел с заданным модулем г Е Е относительно умножения; ж) множество комплексных чисел с модулем, не превосходящим заданное число В ф.
О, относительно сложения и относительно умножения; з) множество комплексных чисел с ненулевым модулем, расположенных на лучах, выходящих иэ начала координат и образующих с осью Ох углы ~р~, уз, ..., у„, относительно умножения. и) множество Р(Е) всех подмножеств некоторого множества Е относительно операциЙ симметрической разности и пересечения и относительно каждой из них в отдельности. 4.3. На множестве Е = (а, 6, с) одной из таблиц 172 4.' ОСНОВНЫЕ ЗАКОНЫ КОМПОЗИЦИИ задан закон композиции т. Для каждого из этих законов определить его свойства, указать нейтральный элемент и парь симметричных элементов (если они существуют), установить тип алгебраической структуры.
4.4. На множестве Е = (а, Ь, с) при помощи таблиц заданы адднтивный (+) и мультипликативный (е) законы композиции. Для каждого из этих законов определить его свойства, указать нейтральный элемент и пары симметричных элементов (если они существуют). Какую алгебраическую структуру образует множество Е относительно каждого из заданных законов и какую — относительно обоих законов? Какой смысл приобретают эти законы в числовом множестве, если положить а=1, 6=2, с=3? 4.5. На множестве Е= (О, 1, р, д~ при помощи таблиц заданы аддитивный (+) и мультипликативный (*) законы композиции.
Для каждого из этих законов определить его свойства, указать нейтральный элемент и пары симметричных элементов (если они существуют). Какую алгебраическую структуру образует множество Е относительно каждого из заданных законов и какую — относительно обоих законов? 4.6. Доказать свойства операций сложения и умножения комплексных чисел.
173 Волосы и эвдечи 4.7. Найти действительную и мнимую части комплексных чисел: а) (2+ г)(3 — г)+ (2+ЗА)(З+4г); б) (3+г)з- (3 — г)з; в) (5+~)(7-6з)/(3+г); г) (1+ЗА)(8- ~)/(2+г)з; д) (х — 1 — г)(х+1+~)(х — 1+~)(х+1 — г), х Е В; (1+ е)~ е) (2+а)з+(2 — а)з; ж) .; з) (1+а)зв; сов о+1в1п о и) (1+сова+гв1па)"; к) сов~8 — Ыпф 4.8. Доказать равенства: а) г~-Ег2=У1~Уз, б) з~м~— - У1 Уз, в) з1/зг — — У1/Уа, ~»з~ фО; г)»11 У', н Е Х; д) ~~ » ~ ~У ~, ~» ~.
) (1+ ')4и ( 1)в22тв 4.9. Доказать, что ))з1) — )зз)) а )з1 ~зз) а )з1)+(зз), з1,зз 4 Е С. При каких условиях эти неравенства переходят в равенства? 4.10. Найти все комплексные числа, сопряженные к своему а) квадрату и б) кубу. 4.11. Пусть на комплексной плоскости заданы три точки »1з »З »з 1. Найти точку», определяющую положение центра масс системы материальных точек с массами тв1, тпг, таз, распо«оженных в заданных трех точках. При каком условии центр масс будет в начале координат? 2. Заданные точки являются вершинами треугольника.
Найти точку пересечения его медиан. При каком условии она будет в начале координат? 3. Заданные точки являются тремя вершинами А1, Аз, Аз параллелограмма. Найти его четвертую вершину А4, противолежащую Аз. При каком условии она будет в начале "оординат? Воаросы и мдвчи 175 4.17. Найти комплексные числа, соответствующие противоположным вершинам квадрата, если двум другим вершинам соответствуют числа л~ и хз.
4.18. Найти комплексные числа, соответствующие вершинам правильного и угольника, если двум его соседним вершинам соответствуют числа х~ и хг. 4.19. Доказать, что целые нули многочлена с целыми коэффициентами являются делителями его свободного члена (коэффициента а„), и найти целые нули многочленов: ) 3~2 2.~„х~ 2.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
