I Морозова В.Д. Введение в анализ (1081368), страница 24

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 24)

Если Р„(с) = О, то х = с называют нулем (или корнем) ~моеочлена Р„(х). Из теоремы Безу следует, что х = с является нулем многочлена Р„(х) тогда и только тогда, когда этот многочлен делится на х — с без остатка. Таким образом, отыскание нулей многочлена Р„(х) равносильно отысканию его линейных множителей вида х — с.

9днако может оказаться, что множителем этого многочлена является не только х — с, но и некоторая его степень (х — с)", т ~ Я. Тогда можно записать Р„(х) = (х — с)'Р„„(х), где Р„,(х) уже не делится на х — с, т.е. с не является нулем многочлена Р„„(х). В этом случае натпуральное число г называют «ратиностиьто нуае с мно~очлена Р„(х), а с— г-«ратиным нулем этого многочлена. При г = 1 имеем вроствой нуль. Естественно поставить вопрос: всякий ли многочлен имеет нули? Известно, что существуют многочлены с действительными коэффициентами, не имеющие действительных нулей; х + 1 — один из таких многочленов, имеющих нули х1,2 — — Ы. 2 Может быть, существуют многочлены, не имеющие нулей даже в юле «омтмекскых чисел? Справедлива впервые доказанная в 1799 г.

К. Гауссом основная теорема алгебры. Теорема 4.5 (основная тпеорема алаебры). Всякий миогочлен с коэффициентами в поле комплексных чисел имеет нуль в этом поле. Из этой теоремы следует существование у Р„(х) хотя бы одного нуля а1 (комплексного или действительного), т.е. справедлива запись Р„(х) = (х — а1)Р„1(х). 160 4. ОСНОВНЫЕ ЗАКОНЫ КОМПОЗИЦИИ Коэффициенты многочлена Р„1(х) снова являются элементами поля комплексных чисел, и по той же теореме Р„1(х) (при я) 1) имеет нуль а~, т.е. Р~(х) = (х — ~1)(х — ~р)Р 2(х) Продолжив таким же образом, после п шагов придем к разложению многочлена Р„(х) на произведение и линейных множителей: (4.18) Коэффициент а0 в (4.18) появился по следующей причине: если бы в правой части этого выражения стоял некоторый коэффициент 6, то после раскрытия скобок старший член многочлена Р„(х) имел бы вид Ь", хотя на самом деле им является а0х".

Поэтому б = а0. Объединив в (4.18) одинаковые множители, запишем РВ(х) ао(х а1) ~ (х а2)ч ' ' ' (х а1) ' ' ' (х ат) 3 где г1+ г2+ ° ° ° + г1+ ° ° ° + гт — 'а При этом предполагаем, что среди нулей а~, ар, ..., а;, ..., а„, нет равных; натуральное число г; является кратностью нуля й1'. Итак, всякий многочлен Р„(х) степени п > 1 имеет и нулей, если каждый из нулей считать столько раэ, какова его кратность.

Связь между коэффициентами многочлена Р„(х) и его нулями х;, ~ =1, п (каждый нуль многочлена повторен столько раз, какова его кратность) устанавливает теорема Виета. 4.4. Кольцо иногочленов Теорема 4.6 (Виета). Для коэффициентов многочлена Ри(х) справедливы равенства а1=-аО(Х1+Хг+...+Хп)~ аг = аО(Х1Х2+ Х1ХЗ+... + Х1Хи+ ХгХЗ+ ХгХ4+... +Хи=1Хи); аз = -ао(Х1Х2ХЗ+Х1Х2Х4+...+ Х1Хи-1хп+ ° ..+Хп-2Хп 1Хи); ап = (-1)иаОХ1Х2ХЗ" Х„.

-.Ф Эти равенства следуют из сравнения коэффициентов при одинаковых степенях х в многочлене Р„(х) и его разложении (4.18). Итак, любой коэффициент аь (й = Т, и) )равен произведению числа ( — 1)"ао на сумму, слагаемыми которой являются произведения всевозможных наборов по Й нулей многочлена Ри(х).

° Пусть многочлен Р„(х) с действительными коэффициентами имеет комплеканый нуль а, т.е. аоки + а1а"- 1+... + а„= О. Тогда аОСР+а1аи '+ +аи =О, где черта сверху означает переход к комплексно сопряженному числу. Учитывая, что 21+22 — — х1+хс и х1хг — — г1 Тг для любых действительных чисел' 21 и хг, получаем аО(а)" +а1(а)" ~+...+аи 1а+аи =О, или Р„(о) = О. Это означает, что если комплексное (но не действительное) число а служит нулем многочлена Ри(х) с действительными коэффициентами, то нулем этого многочлена 1б4 4.

ОСНОВНЫЕ ЗАКОНЫ КОМПОЗИЦИИ всех действительных чисел несчетно (см. Д.2.1), то „быьшии ство" действительных чисел трансцендентны. Однако не так легко указать явно трансцендентные числа (можно, например, доказать, но это вовсе не просто, трансцендентность числа ~). Многие прикладные задачи механики и физики, связанные с анализом динамических процессов и устойчивости движения, а также проблемы автоматического регулирования различных технических систем приводят к необходимости вычисления нулей многочленов или изучения их расположения на комплексной плоскости. Это стимулировало большое количество исследований по оценке границ, в которых могут быть заключены нули многочлена, и по их приближенному вычислению. Эти исследования отражены в литературе по алгебраическим уравнениям.

4.5. Группа подстановок ((2, 3), (1, 2), (3, 1)3 упорядоченных пар, записывают в виде подстановки р третьей степени 3 2 1 в которой 2 переходит в 3, 1 — в 2 и 3 — в 1. Поскольку отображение не изменится при изменении порядка располо- жения упорядоченных пар, одну и ту же подстановку можно представить в нескольких формах: .Взаимно однозначное отображение на се6я (или преобразование) конечного множества Ж = (1, 2, 3, ..., и) первых п натуральных чисел называют иодстпановкой и чисе,а (или иодстпаиовкой и-4 стпепени). Подстановку принято записывать в виде заключенных в круглые скобки двух строк чисел.

Например, взаимно однозначное соответствие натуральных чисел 1, 2 и 3, заданное множеством 4.5. Е)2УШХВ ИОДСтаКЮВОК 321 231 312 Предпочтительнее запись, при которой числа в верхней строке расположены в естественном порядке. Тогда подста вовка а-й степени принимает вид ( 1 2 ... я ) (4.19) где 11, ~р, ..., ~„— расположенные в некотором определенном порядке первые а натуральных чисел. Каждое изменение их расположения будет задавать новую подстановку, а общее число подстановок п-й степени совпадет с числом и! перестановок первых п;меменшов множества Х в нижней строке (4.19). Тождестпвенная иодстпановяю и-4 стпевени переводит каждое число в себя и может быть записана в виде ( 1 2 ... в ) ' (4.20) 2 1 3 4 5 2 5 3 4 1 имеем РР— 2 5 3 4 1 ' Р2Р1- 1 5 3 4 2 Комиозицией р2 о р1 подстпановоя а-й степени р1 и рр называют подстановку п-й степени р=р1р2, которалявляется результатом последовательного выполнения отображения, сперва задаваемого р1, а затем задаваемого р2.

Композицию подстановок записывают в виде их произведения, но взятых в обратном порядке, причем р1рг ф.р~р1. Например, для подста; новок 166 4. ОСНОВНЫЕ ЗАКОНЫ КОМПОЗИЦИИ Ясно, что если р — подстановка а-й степени, то ре„=е„р=р, т.е. е„выполняет роль кебтпрального элемектпа относительно закона композиции отображений. Если строки подстановки р в (4.19) поменять местами, то получим подстановку т Ф1 3з ° ° е йд ~ 1 2 ...

п / ' обратвмуто к подстановке р и обладающую свойством -1 -1 рр =р р=е„, т.е. р 1 выполняет роль симметпричкого для р элементпа относительно закона композиции отображений. Таким образом, множество Р из п1 подстановок п-й степени образует мультипликативную группу (см.

табл. 4.1) относительно этого закона, который в данном случае играет роль мультпипаикатпивного закона (ассоциатпивного, но не коммутпатпивного). Множество Р называют груююй подствановок и-й ствевема. Поскольку при записи в виде (4.19) первая строка неизменна, подстановку и й степени можно задать лишь второй строкой: р (~1~ ~3~ ° ) Ф$Ъ)1 т.е. перестановкой первых в элементов множества Х. Если в такой перестановке поменять местами любые два числа (не обязательно стоящие ридом), а остальные оставить на своих местах, то получим новую перестановку.

Это преобразова ние называют тврамсиозицией иерествановки. Два числа образуют инверсито в перестановке, когда меньшее иэ них расположено правее большего (или, как говорят, большее число в перестановке встречается раньше меньшего). Перестановку на зывают четвмой, если общее число инверсий в ее строке четное, и мечетвкой — в противном случае.

167 4.б. Щуаиа иодстановок Для подсчета общего числа инверсий в некоторой переста иовке из и элементов последовательно сравнивают каждый элемент, начиная с первого слева, со всеми, следующими за ним, и определяют количество стоящих правее его меньших чисел. Это дает число инверсий данного элемента.

Полученные таким образом и — 1 чисел складывают. Пример 4.12. а. Перестановка (1, 2, ..., и) четная при любом а, так как число инверсий в ней равно нулю. б. Перестановка (7, 4, 5, 1, 3, 6, 2) содержит 14 инверсий (6+3+3+0+1+1) и поэтому четная. в. Перестановка (3, 8, 5, 2, 4, 6, 9, 7, 1) содержит 17 инверсий (2+6+3+1+1+1+2+1) и поэтому нечетнал. Теорема 4.7. Любая транспозиция меняет четность перестановки. ~ Рассмотрим сначала случай, когда переставляемые числа ~ и у стоят рядом, т.е. перестановка исходнал и перестановка, полученная транспозицией, имеют вид (..., г, ~, ...) и (..., 1, ~, ...), (4.21) где многоточия заменяют те числа, которые не затрагивает данная транспозиция. В обеих перестановках каждое из чисел ~, ~ составляет одни и те же инверсии с числами, которые остаются на своих местах.

Характеристики

Список файлов книги