I Морозова В.Д. Введение в анализ (1081368), страница 7

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 7)

$х1 объединение бесконечных точек +оо и -оо 1.3 е-окрестность точки хо 1.3, 6.2 объединение множеств А и В 1.4 пересечение множеств А и В 1.4 разность множеств А и В 1.4 симметрическая разность множеств А и В 1.4 объединение Ж множеств А1, ..., А„, ..., Ау 1.4 пересечение У множеств А1, ..., А„, ..., Ау 1.4 из высказывания А следует В (А — необходимое условие В, а  — достаточное условие А) 1.6 высказывания А и В равносильны 1.6 утверждение справедливо по определению 1.6 символы дизъюнкции и конъюнкции 1.6 отрицание высказывания А 1.6 существует такое х, что ... 1.6 существует единственное х, такое, что ...

не существует х, такого, что ... 1.6 переменное у — функция переменного х 2.1, 3.1 значениефункции Дх) в точке а 2.1,3.1 37 нал функцил аргумента х) 2.4, З.З точка Ы плоскости с координатами х (абсцисса) и у (ордината) 2.Б произведение (декартово) множества Х на множе- М(х, у)— ХхУ ство У 2.5 произведение (декартово) и множеств действи- тельных чисел 2.5 Еаь 1=1 П сумма и слагаемых а~, ..., а~, ..., а„2.6 произведение и сомножителей а~, ..., а,„, ..., а„2.6 произведение всех натуральных чисел от 1 до и включительно 2.6 ип произведение всех натуральных чисел, не превосходлщих и и имеющих с ним одинаковую четность 2.6 количество размещений из и элементов по Й элементов 2.6 Р„ Сй количество перестановок из и элементов 2.6 количество сочетаний из и элементов по Й элементов 2.6 число Й принимает последовательно все значения из множества натуральных чисел от 1 до и включительно 2.6 — точнаа верхнлл грань множества Х 2.7 вирХ, вцрх жЕХ ,0(~) — область определения (существования) функции У(х) 2.1, 3.1 В(~) — область значений функции Дх) 2.1, 3.1 х =,~ ~ (у) — функции, обратнаи к функции у = ~(х) 2.3, 3.3 Ху.

Х -+Х вЂ” тождественное отображение множества Х на себя 2.4 до Дх), у(Дх)) — композиция функций у = Дх) и у(у) (слож- 38 ОСНОВНЫЕ ОБОЗНА ЧЕНИЯ 1п1Х, пК х хЕХ сагй А 8НПХ И Р„(х) С Кем 1тх Ях, и) йашХ дХ С(А) 8цр Дх) жЕХ Ы ~(х) л6Х (х„) 1ип(х„) 0(а) 0(а, 8) х-+а !ип ~(х) — точная нижняя грань множества Х 2.7 кардинальное число множества А Д.2.1 функция знака числа х 3.2 целая часть числа х 3.2 многочлен степени в Е Х 3.6,4.4 мнимая единица (Р = -1) 4.3 множество (поле) комплексных чисел 4.3 действительная часть комплексного числа х 4.3 мнимая часть комплексного числа х 4.3 главное значение аргумента комплексного числа х 43 элемент, комплексно сопряженный элементу х 4.3 расстояние между точками х и у метрического пространства б.1 диаметр ограниченного множества Х б.2 граница множества Х б.3 множество функций, непрерывных на множестве А б.6 точная верхняя грань (наибольшее значение) функции Дх) на множестве Х б.7 точная нижняя грань (наименьшее значение) функции ~(х) на множестве Х б.7 бесконечная последовательность элементов х„6.2 предел последовательности (х„) 6.3 проколотая окрестность точки а 7 проколотая 8-окрестность точки а 7 переменное х стремится к точке а 7.1 предел функции Дх) в точке а (при х-+а) 7.1 1пх ~(х) -+ Ь вЂ” функция ~(х) стремится к точке Ь при стремлез-+а нии аргумента х к точке а 7.1 е О Ц (а) и У+(а) —.

проколотые левая и правал полуокрестности точки а 7.2 Да+О) — предел справа функции ~(х) в точке а Т.2 ~(а-О) — предел слева функции ~(х) в точке а Т.2 е~, ехр(х) — экспоненциальная функция (экспонента) аргумента х Т.8 — натуральный логарифм числа х (по основанию е) Т.8 апх, спх, йЬх, сФЬх — гиперболические синус, косинус, тангенс и котангенс аргумента х 7.8 Ыш,~(х) — предел отображения (функции) У: А -+ У в точке з-+в л х по множеству А 8.1 Ьх и Ьу=ЬДх) — приращения аргумента х и функции р= = У(х) 9.1 Дх) = 0(д(х)) — функции ~(х) и д(х) одного порядка при х -+ а 10.1 Дх) = о(д(х)) — функции ~(з) бсщее высокого порядка малости по сравнению с функцией д(х) при х -+ а 10.1 Дх) ° д(х) — функции Дх) и д(х) эквивалеитны при х -+ а 10.2 40 ОСНОВНЫЕ ОБОЗНА ЧЕНИЯ Буквы латинского алфавита Буквы греческого алфавита Наряду с указанным произношением также говорят „лямбда", „мю" и „ню".

Представлен наиболее употребительный (но не единственный) вариант произношения (в частности, вместо „йот" иногда говорят „жи"). 1. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ МНОЖ.ЕСТВ 1.1. Множества Благодаря высокой степени обобщения теория множеств стала в настоящее время признанной основой для построения математических теорий и моделей, описывающих реальные процессы. Почти каждая книга по современной математике, каждый учебник по высшей математике толкуют о множествах и пестрят символами Е, С, О, П, О и т.п. Не будет исключением и предлагаемый выпуск. Такое нашествие множеств имеет свои причины. Дело в том, что теория множеств — это своего рода математический язык.

Без него трудно заниматься математикой, порой даже невозможно объяснить, о чем вообще идет речь. Математическое понятие мкожества постепенно выделилось из привычных представлений о совокупности, собрании, классе, семействе и т.д. Г. Кантор определил множество как „объединение в одно целое объектов, хорошо различаемых нашей интуицией или нашей мыслью". Ему же принадлежит фраза: „Множество есть многое, мыслимое нами как единое".

В первом издании книги „Теория множеств" (1939) французских математиков, работающих под псевдонимом Н. Бурбаки, в сводке результатов можно найти фразу: „Множество образуется из элементов, обладающих некоторыми свойствами и находящихся в некоторых отношениях между собой или с элементами других множеств". Следует отметить, что какие бы трудности ни возникали при определении понятия множества, само это понятие являлось и является мощным средством при изучении и уточнении категории рассматриваемых объектов.

Итак, понятие множества принадлежит к числу исходных математических понятий: оно строго не определено, но может 42 1. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ МНОЖЕСТВ быть пояснено на примерах. Так, можно говорить о множестве учащихся одного выпуска, множестве всех книг, составляющих данную библиотеку, множестве всех точек данной прямой, множестве всех решений данного уравнения. Множества далее будем обозначать большими буквами А, В, ..., Х, У, Я, а их элемемизы — малыми буквами а, о, ..., х, у, г. Однако строго придерживаться этого правила невозможно, ибо множества сами могут быть элементами других множеств. То, что х является элементом множества Е, обозначают х б Е и говорят, что элемент х принадлежит множеству Е (символ Е является символом вракадмежности; иногда его используют в виде Э и пишут ЕЭ х, что означает: „Множество Е содержит элемент х"). Запись х ~ Е (или хЕЕ) означает: „Элемент х не принадлежит множеству Е".

Если множеству Е принадлежат элементы х, у, г, товместо'того, чтобы писать х ЕЕ, рЕ Е, АТЕЕ, пишут х,у,хб Е. Двамножества Е1 и Ер называют равными (Е1=Ер), если они состоят из одних и тех же элементов. Множество считаем заданным, если знаем его элементы или можем их найти. Множество можно задать перечислением его элементов. Перечень элементов множества заключают в этом случае обычно в фигурные скобки.

Например, А = (1, 2, 3, 4) — множество, элементами которого являются числа 1, 2, 3, 4 и только они. Множество, содержащее один элемент а, обозначают (а). Наиболее широко используют задание множества с помощью свойства, характеризующего его произвольный элемент х, т.е. такого свойства, которым обладают все элементы этого множества и только они. Для обозначения множества элементов, обладающих некоторым свойством д(х), часто используют запись (х: д(х)) или (х~ д(х)). Например, если А — множество городов России, т.е.

А = (х: х — город России), то характеристическим свойством д(х) для произвольного элемента х является принадлежность к российским городам. 43 Может случиться, что указанным характеристическим свойством д(х) не обладает нн один элемент. Тогда говорят, что это свойство определяет иусюое мкожесшво, обознача емое З. Если множество содержит конечное число элементов, то его называют яокечкым, в противном случае множество является бесяокечкым.

1.2. Подмножества Если множество А состоит нз элементов, принадлежащих некоторому другому множеству Е, то А называют еодмкожестввом, нлн частью, множества Е. Для обозначення этого используют специальный символ С, н запись А С Е означает, что А является подмножеством Е. Подмножествами множества Е, очевидно, являются само множество Е н его пустал часть З. Множество всех подмножеств множества Е является некоторым новым множеством, часто обозначаемым Р(Е), которое можно образовать нсходя нз множества Е.

Характеристики

Список файлов книги