I Морозова В.Д. Введение в анализ (1081368), страница 3
Текст из файла (страница 3)
Особую роль в выпуске играет глава 4. Формально ее со-. держание не относится к математическому анализу в узком ~мысле этого термина. Она посвящена алгебраическим операциям и структурам и рассчитана на читателя, заинтересованного в углублении своего математического образования, в 14 ПРЕДИСЛОВИЕ расширении и упорядочении своих представлений о современной математике.
Но пройти мимо этой главы нельзя при выборе любого из уровней изучения, поскольку в качестве примеров алгебраических структур в ней рассмотрены комплексные числа, многочлены и подстановки, сведения о которых необходимы в дальнейшем. В начале книги (после краткого исторического очерка) помещен список основных обозначений, содержащий часто встречающиеся в тексте символы, их расшифровку и номера парагра фов, где эти символы введены. В большинстве математических символов использованы буквы латинского и греческого алфавитов, написание и произношение которых представлены после списка обозначений.
В конце книги приведены список рекомендуемой литературы и предметный указатель, в который входят в алфавитном порядке (по существительному в именительном падеже) все выделенные в тексте вомржирмым курсивом термины с указанием страниц, на которых они строго определены или описаны. Выделение термина свеииым курсивом означает, что в данном параграфе он является одним из ключевых слов и читателю должно быть известно значение этого термина.
Читатель может уточнить это значение, найдя при помощи предметного указателя необходимую страницу. Ссылки в тексте на номера формул и рисунков набраны обычным шрифтом (например, (1.5) — пятая формула в главе 1, (рис. 3.2) — второй рисунок в главе 3), а на параграфы и дополнения — полужирным (например, (см. 1.3) — третий параграф в главе 1, (см. Д.2.2) — второе дополнение ко второй главе). КРАТКИЙ ИСТОРИЧЖСКИЙ ОЧЕРК' История развития математики насчитывает несколько тысячелетий. Отметим лишь некоторые ее фрагменты и тех, кто внес в развитие математики наибольший вклад.
Важнейшие периоды этой истории — зарождение математики (до Ч1 в. до нашей эры), развитие элементарной математики (Ч1 в. до н.э.-ХЧ1 в.н.э.), создание математики переменных величин (ХЧП в.-1-я половина Х1Х в.) и период современной математики. Становление теоретической части математики как науки относят к Ч1-ГЧ вв. до н.э. Местом, где оно происходило, считают Восточное и Центральное Средиземноморье, а главной побудительной причиной — развитие торгово-зкономических отношений между государствами этого региона. Существовавшие в то время другие государства (Китай, Индия) не сохранили свидетельств заметного развития теоретической ма тематики.
Слово „математика" происходит от греческого рад~ро и означает: наука, знание, учение через размышление. Первые древнегреческие научные школы (ионийская и пифагорийская) сделали первые шаги в формировании теоретической матема тики, опираясь на накопленные в Древнем Египте и Вавилоне сведения. Эти сведения удовлетворяли потребностям в хронологических и коммерческих расчетах, в нахождении расстояний, площадей и объемов при строительстве и в землемерии, а позднее в астрономии и навигации. На основе этих свеЛений сложились арифметика (от греческого ар~дно~ число) и геометрия (греческое уеыретрю — землемерие), 'Составлен при участии В.Ф. Панова. 16 КРАТКИЙ ИСТОРИЧЕСКИЙ ОЧЕРК а также некоторые элементы тригонометрии (от греческих три уыил — треугольник и ратреи — измеряю).
Помимо накопления и освоения разрозненного фактического материала и его систематизации в Древней Греции возникают первые попытки строгих доказательств математических утверждений и логически исчерпывающих решений рассматриваемых задач, начинаются исследования проблемного характера (например, установление жяможности или невозможности решения при помощи только циркуля и линейки „великих за дач" о квадратуре круга, трисекции угла и удвоении куба).
Получение достаточно общих результатов в области теоретической математики является проявлением интеллекта конкретных людей. Поэтому уже в Древней Греции эти результаты начинают связывать с именами авторов математических сочинений. Большинство этих сочинений дошло до нашего времени лишь в отрывках. С именем основоположника ионийской школы Фалеса Милетского (640-546 гг.
до н.э.) связывают ряд геометрических предложений: „диаметр делит круг пополам", „в равнобедренном треугольнике углы, противолежащие равным сторонам, подобны", „противолежащие углы, образованные пересечением двух прямых линий, подобны", „угол, вписанныЙ в полуокружность, является прямым". Измерение расстояния корабля от берега по способу Фалеса основано на равенстве двух треугольников, у которых одинакова одна сторона и подобны примыкающие к ней углы (он мыслил углы не как величины, а как фигуры, имеющие некоторую форму, и поэтому говорил не о равенстве их, а о подобии). В школе Пифагора (И в. до н.э.) арифметика из искусства вычисления перерастает в теорию чисел, хотя некоторым числам (называемым совершенными) приписывают магическое значение.
В связи с геометрической теоремой Пифагора был найден метод получения троек „пифагоровых чисел" (целых чисел а, 6, с, удовлетворяющих уравнению а~ + 6~ = с~). 17 С именем Пифагора также связывают учение о четных и нечетных, простых, составных и фигурных числах, об арифметических, геометрических и гармонических пропорциях и средних, о подобии геометрических фигур, систематическое введение в геометрию доказательств, разработку способов построения некоторых многоугольников и многогранников.
Более поздние научные школы античной Греции, связанные, прежде всего, с именами Зенона ('Ч в. до н.э.) и Аристотеля (384-322 гг. до н.э.), сформировали математику как дедуктивную науку, основанную на системе исходных высказываний (определений, аксиом, постулатов). В Александрии (Египет) династией Птолемеев в 1П в. до н.э. был создан (если использовать современную терминологию) научно-учебный центр Музейон („прибежище муз"), в библиотеке которого было собрано свыше полумиллиона рукописей научного характера.
В Муэейоне работали почти все крупнейшие ученые эллинистической эпохи — Евклид, Архимед, Аполлоний, Эратосфен и др, Благоприятное влияние Музейона на развитие науки сохранялось почти 700 лет. В истории человечества есть очень немного имен и книг, пронизывающих века и даже тысячелетия и постоянно влияющих на развитие техники, науки и культуры. В точном естествознании такими остались и до сегодняшнего дня работы Евклида (111 в. до н.э.) и Архимеда (287-212 гг. до н.э.). Их труды нужны современному человеку так же, как были необходимы древнему греку, римлянину и средневековому арабу. Геометрические знания примерно в объеме современного курса средней школы были изложены в „Началах" Евклида.
Конечно, геометрия не могла быть создана одним ученым. Известно, что Евклид в своей работе опирался на труды десятков предшественников, среди которых были Фалес н Пифагор, Демокрит и Гиппократ, Архит, Теэтет, Евдокс. Ценой больших усилий, суммируя отдельные достижения в геометрии, накопленные тысячелетиями благодаря практической деятельности 2-644 18 КРА ТКИЙ ИСТОРИЧЕСКИЙ О ЧЕРК людей, эти ученые сумели на протяжении трех-четырех столетий привести геометрическую науку к высокой степени совершенства. Историческая заслуга Евклида состоит в том, что он в своих „Началах" обобщил результаты своих предшественников, упорядочил и привеи в систему основные геометрические знания того времени.
В течение двух тысячелетий геометрию изучали в том объеме, порядке и стиле, как она была изложена Евклидом. „Начала" на протяжении веков были настольной книгой многих ученых (не только математиков). В Архимеде поражает разнообразие дарований и интересов: математика, механика, инженерное искусство, астрономия, оптика и многое другое, Центральной темой математических работ Архимеда является нахождение площадей поверхностей и объемов различных тел. Решение многих задач этого типа он первоначально нашел, пользуясь аналогиями из механики, а затем строго доказал методом исчерпываиии, который, по существу, предвосхищал методы теории пределов. Он вычислил площади эллипса и параболического сегмента, поверхности конуса и шара, объемы шара и шарового сегмента, различных тел вращения и их сегментов.
Он исследовал свойства плоской кривой, названной впоследствии архимедовой спиралью, дал метод построения каса тельной к этой кривой и нашел площадь ее витка, т,е. оказался предвестником дифференциального и интегрального исчислений. Архимед с большой точностью вычислил отношение ~г периметра окружности к ее диаметру, указав пределы погрешности: 223/71 < ~г с 22/7. Особое значение имеет аксиома Архимеда: из неравных отрезков меньший, будучи повторен определенное число раз, превзойдет больший. Эта аксиома обосновывает алгоритм Евклида последовательного деления величин (например, в арифметике нахождение наибольшего общего делителя двух целых чисел, в геометрии — общей меры двух отрезков). 19 Иэ работ Архимеда по механике непосредственно связаны с математикой задачи по нахождению положения центра тяжести различных тел и фигур и вывод законов рычага (ему приписывают фразу: „Дай мне где стать, и я сдвину Землю" ).
В период Пунических войн он организовал инженерную оборону своего родного города Сиракузы на острове Сицилия, что заставило римлян отказаться от попыток взять город штурмом и перейти к длительной осаде. При взятии города Архимед был убит римским солдатом, которого, по преданию, встретил словами: „Не трогай моих чертежей". На его могиле был поставлен памятник с иэображением цилиндра и вписанного в него шара, а эпитафия гласила, что отношение объемов этих тел равно 3:2 (открытие Архимеда, которое он сам особенно ценил). После заката античного мира наступает застой и в развитии теоретической математики.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
