I Морозова В.Д. Введение в анализ (1081368), страница 5
Текст из файла (страница 5)
Его именем названы многие положения теории вероятностей (схема Бернулли, теорема Бернулли и т.п.). Брат Якоба Иоганн в 1696 г. поставил перед математика ми задачу нового типа: найти кривую, соединяющую две не лежащие на одной вертикали точки, двигаясь по которой из верхней точки в нижнюю тяжелое тело затратит на перемещение кратчайшее время. Журнал, опубликовавший эту задачу, получил, не считая авторского, несколько решений. Одно из них не было подписано, но Иоганн понял, что оно принадлежит Ньютону, узнав его ег ивуие 1еовеш („как по когтям узнают льва" ). Наиболее интересное решение прислал Якоб Бернулли.
Искомой кривой оказалась циклоида. Эта задача дала толчок Развитию вариационного исчисления. КРАТКИЙ ИСТОРИЧЕСКИЙ ОЧЕРК Сын Иоганна Бернулли Даниил (1700-1782), академик Петербургской академии наук, впервые применил математический анализ к теории вероятностей,а теорию вероятностей— к демографии. Он вывел уравнение установившегося движения жидкости, носящее его имя. Существенный вклад в развитие математики внесли француз Мишель Ролль (1652-1719), установивший, в частности, что между двумя нулями многочлена расположен по крайней мере один нуль его производноЙ, и англичанин Брук Тейлор (1685-1737), исследовавший ряд, названный впоследствии его именем. В частном виде этот ряд был известен Лейбницу и И. Бернулли, но получил имя шотландского математика Колина Маклорена (1698-1746). Не совсем заслуженно дошло до нас имя маркиза Г.
де Лопиталя (1661-1704), принадлежавшего к высшей французской знати, математика-любители и покровителя математиков. Он учился у И. Бернулли и затем издал его лекции по анализу бесконечно малых, в которых было приведено правило раскрытия неопределенностей. Это правило, установленное И. Бернулли, до сих пор часто называ ют правилом Лопиталя. Ведущим математиком ХИП в.
был швейцарец Леонард Эйлер (1707-1783) — ученик И. Бернулли, проработавший в Петербургской академии наук 31 год и обретший в России вторую родину. Эйлер хорошо знал русский язык, многие его дети и внуки остались жить в России. ХИП в. в области математики справедливо может быть назван веком Эйлера, так как он сделал важнейшие открытия почти во всех областях математики.
Школьники и сейчас изучают теорию логарифмов н тригонометрию по Эйлеру, а студенты осваивают аналитическую геометрию, дифференциальное и интегральное исчисления, механику по руководствам, восходящим к его трактатам. Эйлер, по выражению П. Лапласа, был отцом современного анализа и заложил фундамент ряда новых разделов математики.
Творче- 27 ство Эйлера отличают глубина мысли, разнообразие научных интересов и невероятная продуктивность (им написано 866 работ). В 1766 г. Эйлер почти совсем ослеп, но его трудоспособность не снизилась: свои трактаты он диктовал ученикам и помощникам. „Читайте, читайте Эйлера: это наш общий учитель",— говорил своим ученикам Пьер Симон Лаплас (1Т49-1827), современник Эйлера и один иэ крупнейших французских математиков. И сейчас, спустя два века после смерти Эйлера, его огромное научное наследие изучено еще далеко не полностью. Параллельно с Эйлером в ХИ11 в. работали французские математики и механики Жан ле Рон Д'аламбер (иногда пишут Жан Лерон Даламбер) (1717-1783) и Жозеф Луи Лагранж (1736-1813).
Даламбер в 24 года стал членом Парижской Ака демин. Его математические работы относятся к теории диффереициальиых уравиеиий и послужили основой создания математической физики. Он получил важные результаты в теории рядов, в теории фуикций комплексиого перемеииого и в механике (принцип Даламбера, позволяющий для любой системы тел задачу динамики свести к задаче статики). Лагранж уже в 16 лет начал преподавать математику в Туринском артиллерийском училище, а в 18 лет стал там же профессором.
В своей „Аналитической механике", изданной в 1759 г., Лагранж убедительно показал, что четыре величины— три декартовы координаты и время — полностью определяют движение материальной точки. Использование в механике аналитических методов и, в частности, уравнений Лагранжа оказалось гибким и более мощным методом исследования, чем все известные ранее. Другие математические работы Лагранжа относятся к вариационному исчислению, математическому анализу, теории чисел, алгебре.
Достижения математиков этого периода влияли и на преподавание математики. В 1Т94 г. в Париже была основана Политехническал школа. В ней преподавали крупнейшие уче- 28 КРАТКИЙ ИСТОРИЧЕСКИЙ ОЧЕРК ные, в том числе Лагранж. Некоторые студенты начинали математические исследования еще в процессе обучения. Одним из основателей и профессоров этой школы был Гаспар Монж (1746-1818), известный работами по начертательной геометрии, которал составляет научный фундамент современной инженерной графики, и дифференциальной геометрии, изучающей свойства кривых и поверхностей методами математического анализа. При помощи дифференциального и интегрального исчислений,.
созданных трудами Ньютона, Лейбница, Эйлера, Лагранжа и других математиков ХУП и ХЧШ вв., удалось решить самые разнообразные задачи — от расчета траектории артиллерийского снаряда до предсказания движения планет и комет. Но основные понятия, с использованием которых достигались эти замечательные результаты, были определены крайне нестрого. Понятие бесконечно малой величины, лежащее в основе тогдашнего математического анализа, было довольно расплывчатым, а сами бесконечно малые величины казались стоящими на грани бытия и небытия, чем-то вроде нуля, но не совсем нуль.
Критик Ньютона английский епископ Джордж Беркли (1685-1753) саркастически называл бесконечно малые тенями усопших величин. В геометрии на протяжении двух тысячелетий авторитет Евклида был незыблем. Усомниться в каком-нибудь из его положений означало окончательно и бесповоротно подорвать свою математическую репутацию. Потребовался научный подвиг русского геометра Николая Ивановича Лобачевского (1792-1856), который в 1829 г., невзирая на насмешки не понимавших его ученых, опубликовал свои труды, сделав неевклидову геометрию (в ней не использовался У постулат Евклида о параллельных) всеобщим достоянием.
После появления трудов Лобаческого стало ясно, что существуют по крайней мере две геометрии, одинаково безупречные логически, но приводящие к совершенно различным теориям. Но если это так, то ссылки на „геометрическую очевидность" при доказательствах полностью теряют цену: основным геометрическим понятиям — линии, фигуре, телу — надо давать точные определения. На рубеже ХУ111 и Х1Х вв. огромную роль сыграли работы немецкого математика Карла Фридриха Гаусса (1777 — 1855). Уже в 16 лет он стал делать поразительные математические открытия. Для его творчества характерна органическая связь между теоретической и прикладной математикой, широта решаемых им проблем.
Труды Гаусса оказали большое вли»- ние на развитие алгебры (доказательство основной теоремы алгебры), теории чисел (квадратичные вычеты), дифференциальной геометрии, теории полл (формула Гйусса— Остроградского), математической физики (принцип Гаусса), теории электричества и магнетизма, геодезии (разработка метода наименьших квадратов) и ряда разделов астрономии. Характерно, что Гаусс опасался публиковать те свои результаты, которые могли вызвать недоброжелательные отзывы некоторых коллег.
К идеям неевклидовой геометрии он пришел раньше Лобачевского, не опубликованы им были и открытия в алгебре, позже переоткрытые норвежским математиком Н. Абелем (1802-1829). Профессор теологии Пражского университета Бернард Больцано (1781-1848) во многом предвосхитил тенденции в математике Х1Х в. к тщательности в трактовке основных понятий математического анализа, хотя его главная математическая работа „Парадоксы бесконечного" была опубликована лишь посмертно.
Процесс перестройки основ математического анализа на ба зе теории пределов отчетливо проявился в 20-х гг. Х1Х в., прежде всего, в знаменитых лекциях французского математика Огюстена Луи Коши (1789-1852), которые он читал в Политехническои школе в Париже. Научная продуктивность Коши была исключительной — им опубликовано 789 работ. Большинство из них посвящено различным областям математического анализа и его приложениям. Значительный вклад Коши внес 30 КРАТКИЙ ИСТОРИЧЕСКИЙ ОЧЕРК в теорию функций комплексного переменного, в теорию дифференциальных уравнений, в теорию рядов, теоретическую и небесную механику, теорию упругости и оптику.
Немецкий математик Бернхард Риман (1826-1866) за свою короткую жизнь в науке (всего около 15 лет) выполнил основополагающие исследования по теории аналитических функций, теории чисел, тригонометрическим рядам, теории интеграла. В знаменитой лекции „О гипотезах, лежащих в основании геометрии" он развил идеи своего учителя К. Гаусса и обобщил понятие математического пространства„в котором могут быть построены различные варианты неевклидовой геометрии.
Идеи и методы Б. Римана открыли новые пути в развитии матема тики и нашли применение в механике и физике. Немецкий математик Карл Вейерштрасс (1815-1897) на чал свою деятельность учителем гимназии, а потому часть его глубоких исследований печаталась в таких не подходящих для этого изданиях, как гимназические программы. В 1856 г. он получил место профессора в Берлинском университете. С этого времени его лекции и семинары оказывали огромное воздействие на развитие математики. Он первым стал испольэовать так называемый „язык е — 8". Вейерштрасс известен также как наставник Софьи Васильевны Ковалевской (1850-1891). В те времена в России и в большинстве западных стран женщинам не был разрешен доступ не только к преподаванию, но и к обучению в высших учебных заведениях.
Преодолев все препятствия, Ковалевская в 1883 г. заняла должность доцента, а затем стала профессором Стокгольмского университета. Ее главное достижение в математике — доказательство теоремы о существовании решений нормальной системы уравнений с частными производными (теорема Коши — Ковалевской). За работу „Задача о вращении твердого тела вокруг неподвижной точки", содержащую полное решение для случая вращения не вполне симметрично- 31 го гироскопа, она получила премию Парижской академии наук (удвоенную ввиду большой ценности работы).
В России в ХУ111 в. научная деятельность в области математики полностью исчерпывается трудами ЭЙлера и его немногочисленных учеников. Гигантские по количеству и важности результаты Эйлера оставались все же изолированным явлением и не находили широкого научного отклика в России. Не нашли непосредственного развития и многие мысли М.В. Ломоносова о математике, характере ее методов и об их значении. Созданный им в 1755 г. Московский университет выполнял преимущественно учебные функции. Положение стало изменяться в первой половине Х1Х в., когда под натиском нарождающегося в России капитализма были проведены некоторые реформы.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
