IX Власова Е.А. Ряды (Зарубин В.С., Крищенко А.П. - Комплекс учебников из 21 выпуска)

Математика в техническом университете Выпуск 1Х Серил удостпоеиа Премии Правитпельстпва Российской Федерации в областпи пауки и тпехники за 2008 вод Комплекс учебников из 21 выпуска Под редакцией В.С. Зарубина и А.П. Крищенко 1. Введение в анализ П. Дифференциальное исчисление функций одного переменного П1. Аналитическая геометрия 1Ч Линейная алгебра Ч Дифференциальное исчисление функций многих переменных Ч1. Интегральное исчисление функций одного переменного ЧП. Кратные и криволинейные интегралы.

Элементы теории поля ЧП1. Дифференциальные уравнения 1Х. Ряды Х. Теория функций комплексного переменного Х1. Интегральные преобразования и операционное исчисление ХП. Дифференциальные уравнения математической физики ХП1. Приближенные методы математической физики Х1Ч Методы оптимизации ХЧ Вариационное исчисление и оптимальное управление ХЧ1. Теория вероятностей ХЧП. Математическая статистика ХЧП1. Случайные процессы Х1Х.

Дискретная математика ХХ. Исследование операций ХХ1. Математическое моделирование в технике Е.А. Власова Под редакцией д-ра техн. наук, профессора В.С, Зарубина и д-ра физ.-мат. наук, профессора А.П. Крищенко Издание третье, исправленное Рекомендовано Министерством образования Российской Федерации в качестве учебника для студентов высших технических учебных заведений Москва Издательство МГТУ имени Н.Э. Баумана 2006 УДК 517.5.52(075.8) ББК 22.16 В58 Рецензенты: чл.-корр.

РАН Е.И. Моисеев, проф. В.И. Богачев 18ВХ 5-7038-2884-8 (Вып. 1Х) 18ВХ 5-7038-2484-2 Книга явллется девятым выпуском комплекса учебников „Математика в техническом университете" и знакомит читателя с основными понятиями теории числовых и функциональных рядов. В книге представлены степенные ряды, ряды Тейлора, тригонометрические ряды Фурье и их приложения, а также интегралы Фурье. Изложена теория рядов в банаховых и гильбертовых пространствах, и в объеме, необходимом для ее изученкя, рассмотрены вопросы функционального анализа, теории меры и интеграла Лебега. Теоретический материал сопровождается подробно разобранными примерами, рисунками и большим количеством задач разного уровня сложности. Содержание учебника соответствует курсу лекций, который автор читает в МГТУ им.

Н.Э. Баумана. Для студентов технических университетов. Учебник может быть полезен преподавателям и аспирантам. Ил. 55. Библиогр. 44 нвзв. УДК 512.5.52(025.6) БВК 22.16 © Е.А. Власова, 2000; 2006, с изменениями © Московский государственный технический университет им. Н.Э. Баумана, 2000; 2006, с изменениями 1ЯВХ 5-7038-2884-8 (Вып.

1Х) 18ВХ 5-7038-2484-2 И~)б © Издательство МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2000; 2006, с изменениями Власова Е.А. В58 Ряды: Учеб. для вузов / Под ред. В.С. Зарубина, А.П. Крищенко. — 3-е изд., исправл. — Мл Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2006. — 616 с. (Сер. Математика в техническом университете; Вып.1Х). ПРЕДИСЛОВИЕ Предлагаемая читателю книга является девятым выпуском комплекса учебников „Математика в техническом университете".

В учебнике систематически изложен курс теории рядов— важный раздел математического анализа, широко применяемый в различного рода исследованиях и вычислениях как в самой математике, так и во многих ее приложениях. Под общим термином „ряд" объединены определенные математические конструкции, применяемые к элементам совершенно различной природы: действительным и комплексным числам, действительным и комплексным функциям, элементам произвольных нормированных пространств. В главе 1 рассмотрены простейшие примеры рядов — числовые ряды.

Функциональные ряды, в том числе степенные ряды, ряды Тейлора, тригонометрические ряды Фурье и их приложения, представлены в главах 2 и 3. В главе 4 изложена теория интеграла Фурье — важного обобщения тригонометрического ряда Фурье. Главы 5-7 знакомят читателя с теорией рядов в нормированных пространствах. В этих же главах в связи с потребностями теории в необходимом объеме развиты теория меры и интеграл Лебега. ~ одержание учебника логически разбито на две части. Первая часть (главы 1-4) относится к основному курсу высшей математики, традиционно излагаемому студентам технических вузов.

Материал второй части учебника (главы 5 — 7) входит в программы повьппенного уровня подготовки и предназначен для студентов технических университетов, обучающихся по специальности „Прикладная математика". Изучение курса теории рядов требует от читателя определенного уровня подготовки. Предполагается, что читатель владеет материалом первых восьми выпусков комплекса учеб- "иков „Математика в техническом университете". В тексте ПРЕДИСЛОВИЕ книги имеются ссылки на другие выпуски комплекса учебников. Такой ссылкой служит номер выпуска. Например, [1-7.5] означает ссылку на пятый параграф седьмой главы в первом выпуске.

Ссылки без римских цифр относятся только к этому, девятому, выпуску. Так, (см. 1.2) отсылает читателя ко второму параграфу первой главы, а (см. Д.3.1) — к первому дополнению третьей главы этой книги, Ссылки в тексте на номера формул и рисунков набраны обычным шрифтом (например, (2.1) — первая формула в главе 2, рис. 1.5 — пятый рисунок в главе 1). Большинство используемых обозначений помещено в перечне основных обозначений. В нем наряду с их краткой расшифровкой указаны глава и параграф, в которых можно найти их более подробное объяснение.

Кроме того, приведены таблицы с написанием и русским произношением букв латинского и греческого алфавитов. В конце книги помещены список рекомендуемой литературы и предметный указатель, в котором расположены в алфавитном порядке (по существительному в именительном падеже) все выделенные в тексте по,апжирммм курсивом термины с указанием страницы, где они строго определены или описаны.

Выделение термина светлым курсивом означает, что в данном параграфе он отнесен к ключевым словам и читателю должно быть известно значение этого термина. Читатель может уточнить это значение, найдя при помощи предметного указателя необходимую страницу, на которой используемый термин определен или описан. Если термин введен в другом выпуске, то дана ссылка на этот выпуск 1например, 1 означает ссылку на первый выпуск, 1-217 — на страницу 217 первого выпуска), а также указана курсивом страница предлагаемой книги, на которой имеются некоторые пояснения, относящиеся к этому термину.

Глава 2 учебника написана совместно с Г.В. Гришиной. Большую помощь в подготовке издания учебника автору оказали научные редакторы В.С. Зарубин и А.П. Крищенко, а также А Н. Каватников и Ю.И. Малов. Всем им автор выражает глубокую благодарность. Перед чтением книги в целях самоконтроля предлагается выполнить приведенные ниже задания. В тексте заданий прямым полужирным шрифтом выделены термины, значение которых должно быть известно читателю, а в конце каждого задания указана ссылка на номер выпуска, в котором можно найти соответствующие разъяснения.

Задания для самопроверки 1. Найдите точные верхнюю и нижнюю грани множества (0,1]. [Ц 2. Для всякого п Е Ы вычислите точную верхнюю и точную нижнюю грани функции х" на отрезке [О, 1]. Докажите, что евр х2/(1 — х) =+ос и 1вГ х~/(1 — х) = — оо. [1] ,е(о, ц *е Н,2) 3. Докажите, что счетное объединение счетных множеств является счетным множеством.

Какие множества имеют мощность континуума? [1] 4. Докажите, что абсолютная величина (модуль) действительного или комплексного числа обладает следующим свойством: ]х+ Р] (]х]+ ]у] [Ч 5. Приведите примеры различных промежутков числовой прямой: конечных и бесконечных интервала и полу- интервала, отрезка. Какие точки являются граничными, внутренними для промежутка (О, 1]? [1] б. В чем отличие проколотой окрестности точки от окрестности точки? [1] 7.

Найдите действительную, мнимую части и модуль комплексного числа х = (3 — 1)/(4+ 31). Изобразите на комплексной плоскости множество комплексных чисел, удовлетворяющих неравенству ]г — 1+1] < 1. Является ли это множество точек открытым (замкнутым)? Укажите его границу.

[1! ПРЕДИСЛОВИЕ 8. Какие функции называют периодическими? [Ц 9. Докажите, пользуясь методом математической индукции, что для любого натурального числа п справедливо равенство 1+а+" +а" ' = [1 — д")/[1 — а), аф1. [Ц 10. Выпишите первые пять членов числовой последовательности (а„)~, с общим членом а„= [1+1/и)" Докажите, что последовательность (а„)'„" „является возрастающей и ограниченной. [Ц 11. Сформулируйте и запишите в символическом виде определения конечного и бесконечного пределов числовой последовательности.

Какие последовательности называют сходящимися, расходящимися? Перечислите свойства сходящихся последовательностей. [Ц 12. Для числовой последовательности (а„)„ , докажите справедливость утверждения: 1?ш а„= О ~=~ 1пп ]а„] = О. [Ц а — Ф ОО и — ~со 13. Сформулируйте признак Вейерштрасса сходимости ограниченной монотонной последовательности. [Ц 14. Докажите утверждение: если числовая последовательность (х„)„~ сходится к числу 5, то любая ее подпоследовательность также сходится к числу 5.