ztm11 (850185), страница 2
Текст из файла (страница 2)
.
Замечание: опыты, проводившиеся со стрельбой артиллерийских снарядов, показали, что имеются диапазоны скоростей, когда сопротивление среды оказывается пропорциональным скорости (в баллистике - это закон Сиаччи); этот случай и был рассмотрен в примере 25.8. Но чаще сила сопротивления атмосферы направлена по касательной к траектории и пропорциональна квадрату модуля скорости летящего снаряда. Об этом в следующем примере.
ПРИМЕР 25.9.- Об исследовании движения снаряда, когда сила сопротивления среды определяется формулой 
- это пример, иллюстрирую-щий необходимость часто прибегать к численным методам решения.
В рассматриваемом случае дифференциальные уравнения движения принимают вид:
.
«Чистое» аналитическое решение записанной системы дифуравнений авторам неизвестно. Подобные уравнения рекомендуем решать численно - методом последовательных шаганий.-
.
От бесконечно малых переходим к малым конечным величинам
.
Длину временного шага принимаем, к примеру, 
0,0001 с.
1
16
-й шаг.Учитывая известные (
), определяем значения 
, соответствующие моменту времени 
:
194
.
.
2-й шаг (определяются значения 
для конца 0,0002-й секунды)
.
.
3-й шаг (определяются значения для конца 0,0003-й секунды)
.
.
И так далее
25.7. Обобщённая оценка проблемы решения задач динамики. Рекомендуемые подходы
В рассмотренных в предыдущем подразделе примерах силы были постоянными, функцией вектора скорости, квадрата скорости, времени и координаты, материальная точка имела 1 и 2 степени свободы. Даже в этих, относительно простых случаях, были видны сложности, с которыми инженеру приходится сталкиваться при попытках получить точные аналитические решения составленных дифференциальных уравнений.
В общем же случае главный вектор внешних, действующих на систему сил может являться одновременной функцией и времени, и координаты, и скорости; движения могут описываться не только отдельными дифференциальными уравнениями, но и системами. В связи с этим, рекомендациями ответим на естественный, возникающий у будущих специалистов, вопрос: «Какой в текущий момент жизни человеческого общества видится схема подхода инженера к возникающим в практической его деятельности задачам динамики, решаемым через интегрирования»?
-
П
25.13
![]()
режде всего, необходимо владеть опорными фактами теоретической механики, допустимыми методами их преобразования и, на этой основе, уметь составлять применительно к конкретным механическим системам соответствующие уравнения.
195
-
С точки зрения точностей, обозримости получаемых результатов и дальнейших их анализов, наиболее привлекательны «чистые» аналитические решения. И такие случаи довольно часты. По этой причине в проигрывающем положении оказывается тот инженер, который в составленных дифференциальных уравнениях не заметит табличных интегралов и начнёт использовать другие подходы к решению.
-
Если попытки самостоятельно проинтегрировать составленные дифференциальные уравнения не увенчались успехом, не забывать, что предшествующие поколения накопили большой опыт аналитических решений дифференциальных уравнений (часто увековечивая этим своё имя – Матье, Риккати, Абель, Бернулли, Клеро, Ламе, Лаплас, Лежандр и т.д.) и настоящий инженер обязан этим пользоваться. В частности, необходимо знать, что имеются, к примеру, такие книги: «Камке Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям.- М.: Наука, 1976.- 576 с.»; «Двайт Г.Б. Таблицы интегралов.- М.: Наука, 1966.- 228 с.» и другие подобные.
-
Если не привела к успеху и рекомендация по п.3, целесообразно проконсультироваться с математиками–специалистами по дифуравнениям.
-
Если и п.4 не помог, не отчаивайтесь – переходите к численным методам решения (что, в частности, было иллюстрировано примером 25.9). При этом, следует иметь ввиду, что при использовании современных ЭЦВМ подавляющее большинство возникающих в широкой инженерной практике задач динамики на интегрирование поддаются численным методам решения, что обязывает нас закончить советы возвратом к первой рекомендации, как к главной для будущего инженера, желающего стать хорошим специалистом; как к рекомендации, обепечивающей инженеру приоритет и инициативу перед другими специалистами, подключаемыми к процессу решения конкретных задач механики.
2
5.8. Примеры на использование закона о движении центра масс для определения траекторий точек и взаимных перемещений частей системы
ПРИМЕР 25.10.- Вывод уравнения траектории конца падающего стержня, второй конец которого опирается на гладкую горизонтальную поверхность
Д
К примеру 25.10
ано. – Однородный стержень АВ, длиной
, опирается на гладкую горизонтальную поверхность (см. рис.25.9) и удерживается в состоянии покоя с помощью нити. Затем нить перерезают и стержень начинает падать.О
Рисунок 25.9
пределить траекторию конца В стержня.196
Решение.- Согласно условию скорость и координата точки С стержня в начальный момент времени равны нулям, т.е. 
.
На падающий стержень действует две вертикально расположенные силы – сила тяжести и реакция пола. Поэтому:
,
т.е. точка С в любой момент времени расположена на оси 
. Поэтому:
Получена каноническая форма уравнения эллипса.
Итак, траекторией конца В стержня является эллипс с полуосями 
и .
П
К условию и решению примера 25.11
(а и б - положения системы «человек-лодка» в моменты времени 
и 
)
г
РИМЕР 25.11.- Вывод формулы для вычисления величины отплытия от берега причалившей лодки при переходе в ней человека - это пример на использование теоремы о движении центра масс для анализа взаимного перемещения тел системы. Попутная значимость примера: малоопытные на воде люди после ознакомления с данным примером приобретают умение выходить из лодки на берег сухимиД
ано. - Человек подплыл в лодке к причалу; так, что продольная её плоскость симметрии расположена перпендикулярно береговой линии (см. рис.25.10). После соприкосновения с причалом (момент времени ) скорости человека и лодки погасились (стали равными нулю). После этого человек начал из точки А перемещаться в направлении к берегу и в момент времени оказался в точке D. Массы: человека - 
кг,
лодки - 
кг. АD=1м.
Определить расстояние 
, на которое отплывёт лодка от причала по причине перемещения в ней человека.
Р
Рисунок 25.10
ешение.- Действующие на систему «человек-лодка» силы вертикальны:
- вес человека, 
- вес лодки. Вер-197
тикальна и выталкивающая сила воды (направлена вверх). По этой причине:
а
,
где С – центр масс системы «человек-лодка».
Из (а), после интегрирования, получаем: 
.
Т.к. перед перемещением человека система покоилась, то 
.
Интегрируя последнее выражение, получаем:
б
,
где 
и 
- координаты центра масс системы «человек-лодка» в моменты времени и .
В соответствии с понятием центра масс (дано в подразделе 2.3)
в
, 
г
,где 
, 
- координаты центров масс человека и лодки в момент времени ;
, 
- координаты тех же точек в момент времени .
После подстановки в (б) выражений (в) и (г), получаем:
м.
Итак, если у находящегося в лодке человека отсутствует желание промочить ноги, то при подплытии к берегу ему целесообразно находиться в точке D, либо следует продольную плоскость симметрии лодки располагать под малым углом к береговой линии.
198
26. Закон о движении центра масс
в произвольных системах отсчёта
26.1. Математическое выражение закона
Ускорение центра масс механической системы относительно инерциальных и произвольных троек осей обозначаем, соответственно, 
и 
.
П риняв инерциальную систему отсчёта за неподвижную, а произвольную за подвижную, в соответствии с теоремой сложения скоростей записываем:
,
а
где
- переносное и 
- кориолисово ускорения центра масс.
Подставляем (а) в математическое выражение закона-аксиомы о движении центра масс. Получаем математическое выражение
з
акона о движении центра масс в произвольных системах отсчёта:
26.1
, где 
и 
- называют эйлеровыми (переносной и кориолисовой) силами инерции.
Переносная сила инерции (
) - это математическое понятие; это вектор, противоположно направленный вектору, определяемому произведением массы системы на переносное ускорение её центра, который имеет размерность силы и в процессе математических операций может рассматриваться как обычная сила.
Предоставляем возможность студенту определение кориолисовой силе инерции дать самостоятельно.
К принципу относитель-ности Галилея
2
6.2. Принцип относительности Галилея
и Геоцентрическая система отсчёта
Пусть 
- инерциальная система отсчёта (см. рис.1). Тогда в ней, как уже рассмотрено в разделе 25, справедливо математическое соотношение
.
Пусть, далее, система отсчёта 
с
Рисунок 26.1
находящимся в ней наблюдателем, поступательно, прямолинейно и равномерно движется относительно , причём с ка-199
кой угодно скоростью 
, т.е. со скоростью 
, либо 
, либо 
и т.д.
Т.к. вторая система перемещается относительно инерциальной поступательно, прямолинейно и равномерно, то 
. Поэтому:
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
