14_magnets_2018_may22 (1182309), страница 5
Текст из файла (страница 5)
Из работы [3].стр. 22 из 3322.05.2018Рисунок 14: Зависимость от температуры спектров рассеяния света с длиной волны 476.5нм. Из работы [11].Слева: одномагнонное рассеяние. Возникающий при низкихтемпературах пик со сдвигом частоты около 8.5 см-1 (около 250ГГц или 1мэВ)соответствует рамановскому процессу с рождением одного магнона в центре зоныБриллюэна. Справа: двухмагнонное рассеяние. Максимум со сдвигом частоты 100 см -1соответствует рождению двух магнонов с энергией 50 см -1 (около 1500ГГц или 6 мэВ) награнице зоны Бриллюэна.Квантовое рассмотрение спиновых волн в ферромагнетике.
†Рассмотрим ферромагнетик на простой кубической решётке с взаимодействием толькоẑ⃗ ⃗ближайших соседей с гамильтонианом H =J ∑ S j⋅S δ−g μ B H ∑ S j , здесь обменныйj ,δjинтеграл J < 0 одинаков для всех соседей, H — внешнее магнитное поле, индекс δсоответствует суммированию по ближайшим соседям. Мы считаем, что набор входящих всуммирование соседей выбирается так, чтобы каждая связь учитывалась при суммированиипо всей решётке единожды. Таким образом, для каждого атома учитывается 3 соседа,связанные с ним векторами трансляции (a ,0,0) , (0, a ,0) и (0,0 , a) , где a —период кристалла.Спектр спиновых волн в ферромагнетике может быть получен в рамкахквантовомеханического подхода [6]. Этот подход использует стандартный метод — подобратьпреобразование операторов, приводящее исходный гамильтониан к виду суммы поневзаимодействующим осцилляторам.Отметим, что входящие в запись этого гамильтонианаспиновые операторы проекции спина Ŝ x , Ŝ y и Ŝ z связаны друг с другом так как(⃗S )2=S (S + 1) , а операторы Ŝ x и Ŝ y выражаются через комплексно сопряжённыеоператоры Ŝ + =Ŝ x +i Ŝ y и Ŝ −= Ŝ x −i Ŝ y .
Поэтому возможность выразить гамильтонианвсего через два сопряжённых оператора несомненно есть. Искомое преобразование,называемое преобразованием Холштейна-Примакова, мы приводим для сведения, оно имеетвид:стр. 23 из 3322.05.2018√a +j a jS =√ 2S 1−aj2S,+aaS −j = √ 2S a +j 1− j j2S+j√a игде от операторовa + требуется выполнение бозонного коммутационногосоотношения [ a j , a +l ]=δ jl . Этот подход оказывается громоздким и компактное решениеоказывается возможным лишь приближённо, при малых числах заполнения осцилляторов —т. е. при малом числе возбуждений.
В этом вычисление спектра магнонов принципиальноотличается от спектра фононов, где в гармоническом приближении переход к осцилляторамбыл строгим преобразованием.Поэтому для наглядности в нашем курсе мы не будем использовать эти громоздкие строгиепреобразования, а сразу рассмотрим приближение малого числа возбуждений. Основноесостояние ферромагнетика имеет однозначно определённую волновую функциюψ0=∣...↑↑↑... 〉 , описывающую полностью поляризованное состояние, в котором проекциякаждого спина на выбранную ось максимальна. В качестве такой выбранной оси можно взятьнаправлениевнешнегомагнитногополя.9Энергияосновногосостоянияz2E 0= J S N −g μ B H S N , где z — число ближайших соседей (6 на простой кубической2решётке), а N — число атомов в решётке.В качестве возбуждения естественно рассмотреть состояние с уменьшенной на 1 проекцией1 −S ⃗r ψ0 , где индекс ⃗r — это «номер» спина, проекцияодного из спинов ψ⃗r =√2 Sкоторого уменьшилась, а нормировочный множитель здесь связан с правилами вычисленияматричных элементов повышающего и понижающего спиновых операторов.
Этот видволновой функции однако не блоховский и легко проверить, что это не собственная функциягамильтониана:[ ()̂+ ̂− ̂−̂ +z ̂ z S j S δ +S j S δ̂̂H ψ⃗r = J ∑ S j S δ +−g μ B H ∑ Ŝ zj2j,δj]1 −S r ψ0 .√2 S ⃗Здесь в слагаемых, содержащих z-проекцию, отличие от ранее вычисленного значения E 0дадут только слагаемые гамильтониана, действующие на «укороченный» r-ый спин, но самаволновая функция под действием операторов z-проекции не меняется, т. е.
получим частьответа в виде ( E 0−z J S + g μ B H ) ψ⃗r (напомним, что J < 0 ). В слагаемых гамильтониана сповышающим и понижающим оператором ненулевой вклад дадут только слагаемые, гдеповышается («удлиняется» к максимальному значению) «укороченный» r-ый спин. Ноодновременно с этим «укорачивается» один из соседних спинов! Результатом такого действия1J 2 S ( ψ⃗r +⃗x + ψ⃗r−⃗x + ψ⃗r +⃗y +ψ⃗r −⃗y + ψ⃗r +⃗z + ψ⃗r−⃗z ) , гдебудет⃗x ,⃗y ,⃗z – вектора2трансляции к ближайшим соседям. То есть, под действием гамильтониана возниклислагаемые, соответствующие перемещению возбуждения на один из соседних узлов.Диагонализовать гамильтониан можно сделав линейную комбинацию одноузельных⃗ψ⃗k =∑ ei k ⃗r ψ⃗r .
Такая функцияволновых функций, имеющую блоховский вид:r⃗9 А в реальных кристаллах — направление, выделяемое анизотропными спин-спиновыми взаимодействиями,действие которых можно представить как некоторое эффективное поле анизотропии H A .стр. 24 из 3322.05.2018диагонализует наш гамильтониан:Ĥ ψk =( E 0−z J S + g μ B H + J S ( e i k a +e−i k a +e i k a +e−i k a + ei k a +e−i k a )) ψ kxxyyzz.То есть, энергия возбуждения10 равна ε=2∣J∣ S ( 3−cos( k x a )−cos ( k y a)−cos (k z a) ) + g μ B H .Спектр квадратичен при малых волновых векторах.
Магнитный момент одного возбуждения∂εможет быть найден формально m=− ∂ H =−g μ B . Эти рассуждения также легко могутбыть перенесены на случай цепочки ε1D=2∣J∣ S ( 1−cos ( k a )) + g μ B H (что совпадает срезультатом классической модели прецессии в эффективном поле, полученным ранее) идвумерной квадратной решётки ε2D=2∣J∣ S ( 2−cos ( k x a)−cos( k y a) ) .Это позволяет отождествить введённые магноны с квантами спиновых волн вферромагнетике.
В магнитном поле спектр ферромагнитных магнонов приобретает щель,пропорциональную полю.Формальная нестрогость нашего рассмотрения начнёт проявляться, если мы захотимрассмотреть двух-, трёх- и т. д. магнонные состояния: когда перевёрнуто несколько спинов. Втаком случае оказывается невозможным рассматривать такие состояния как простуюкомбинацию двух одномагнонных — случай, когда координаты двух магнонов совпадаютоказывается специально выделенным. Это особенно наглядно для случая спина S =1/ 2 :так как двукратное действие понижающего оператора на состояние с проекцией спинаS z=+1/2 даёт ноль, то два магнона принципиально не могут находиться на одном узле.Другими словами, есть эффективное сильное отталкивание магнонов, пренебречь которымможно только в случае их малой концентрации.Квантование спиновых волн.
Вклад спиновых волн в теплоёмкостьи намагниченность ферромагнетика.Аналогично переходу от упругих волн к фононам, можно проквантовать колебаниямагнитной подсистемы. Спиновым волнам с частотой ω и волновым вектором ⃗k⃗сопоставляются квазичастицы — магноны. Энергия магнона ℏ ω , квазиимпульс ℏ kопределён с точностью до вектора обратной решётки (обратной решётки для магнитнойсистемы, которая может отличаться от кристаллографической, если период магнитнойструктуры в некоторых направлениях кратно увеличивается). Магноны являются бозечастицами с нулевым химпотенциалом (как и для всех квазичастиц, для магнонов нет законасохранения числа частиц и они рождаются в нужном количестве до достижениятермодинамического равновесия), их числа заполнения описываются планковской функцией1〈n〉= ℏ ω/ T.e−1NВ отсутствие магнонов намагниченность ферромагнетика изспинов равнаM sat =N g μ B S , при возникновении спиновых волн локальные намагниченностиотклоняются от равновесного направления и значение проекции полной намагниченности наданное направление должно уменьшаться.
В силу квантования спинового момента этоизменение должно быть дискретно — таким образом мы ожидаем, что каждыйферромагнитный магнон несёт магнитный момент, равный минимальному кванту измененияΔ m=g μ B .11 Подчеркнём, что этот результат касается именнонамагниченности10 Как обычно, энергия квазичастицы — это разность полной энергии системы, содержащей квазичастицу, иэнергии основного состояния11 Это рассуждение подтверждается непосредственно при квантовомеханическом выводе спектра магноноввыше.стр. 25 из 3322.05.2018ферромагнитных магнонов, в антиферромагнетиках вопрос о магнитном моменте магнонасложнее.Низкотемпературная теплоёмкость магнетиков часто определяется именно вкладом спиновыхволн.
Проведём вычисления этого вклада для ферромагнетика. Рассмотрим ферромагнетик свзаимодействием только ближайших соседей на простой кубической решётке. Спектр2∣J ∣Sспиновых волн в такой системе12ω( ⃗k )=3− cos( k x a)+ cos(k y a)+ cos(k z a ) )) ,ℏ ( (∣ ∣ 2вблизи минимума в центре зоны (при k =0 ) это квадратичный спектр ω≈ J S a k 2 ,ℏаналогичный полученному ранее в простой модели ферромагнитной цепочки.Энергия, связанная с термически активированными магнонами:E=∫1 з.Бр.ℏ ω V d3 k.e ℏ ω/T −1 (2 π)3Нас интересует низкотемпературный предел, тогда мы можем, заменить спектрквадратичным для всех ⃗k и, как и при выводе закона Дебая для фононов, распространитьинтегрирование по частоте до бесконечности:∞E=∞∞V ∣J ∣ Sa2k4VT 5/ 2x 4 dxVT 5/2x 3 /2 dxdk==.∫∫∫2 π2 0 e∣J ∣Sa k / T −12 π2 (∣J ∣Sa 2)3 / 2 0 e x −1 4 π2 (∣J∣ Sa 2)3 /2 0 e x −1222Мы получили E ∝T 5/ 2 , соответственно для теплоёмкости ферромагнетик при низкихтемпературах получаем C ∝T 3/ 2 .
Эта зависимость спадает при понижении температурымедленнее, чем дебаевский вклад T 3 и, соответственно, при низких температурах втеплоёмкости ферромагнетика вклад магнонов должен доминировать. Экспериментальнотакое поведение наблюдалось в работе [12], пример температурной зависимоститеплоёмкости представлен на рисунке 15.Рисунок 15: Экспериментальная проверка предсказания спин-волновой теории дляферромагнетика, из работы [12].
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
