14_magnets_2018_may22 (1182309), страница 3
Текст из файла (страница 3)
В принципе, можновыписать средний магнитный моментпо общим правиламРисунок 6: Фрагмент зависимости энергии такого магнетика−E /T∑ μi eспиновых подуровней от поля. Стрелки отмечают, где индексвозможные ЭПР переходы. Из статьи [4].〈μ 〉= ii−E /Te∑iiiпробегает все состояния системы (см. сноску на стр.10), но мы ограничимся только случаемT ≪J . Тогда можно заметить, что магнитная восприимчивость в малых полях будетэкспоненциально мала χ (T →0)∝e− J /T в меру малости заселённости ближайшего уровня сненулевым спином. Для состояний с ненулевыми значениями S Σ нижний спиновыйподуровень всегда понижает свою энергию быстрее, чем для более низких энергетическихуровней.
При T ≪J полная намагниченность определяется самым нижним спиновымподуровнем, но эти подуровни будут меняться с ростом поля (рисунок 6). Таким образом,намагниченность при низких температурах будет дискретно «переключаться» междустр. 11 из 3322.05.2018значениями из ряда 0, 2μ B , 4μ B , 6μ B , 8μ B по мере того, как нижним будет становиться( S=0, S z=0) ,(S=1, S z=1) ,( S=2, S z =2) ,( S=3, S z=3) ,подуровень(S=4, S z =4) , соответственно.В упрощённой модели равных связей между магнитными ионами можно легко найти поля,E (S , S z =S )когда происходит смена основного состояния. ПриравняемиE ( S +1, S z =S +1) в магнитном поле:JJ( S ( S +1)−8 )−2μ B B S = ((S +1)(S + 2)−8 )−2μ B B(S +1)222μ B B= J (S +1).J (S +1)B=2μ BТаким образом «переключение» основного состояния будет происходить через равныеkB J≈30 кГс=3 Тл . Модельная зависимостьинтервалы по магнитному полю с шагом B=2μ BM (B) и результаты реального эксперимента показаны на рисунке 7, конечная температуранемного размывает резкие ступеньки на кривой намагничивания, учёт неэквивиалентностисвязей делает ступеньки немного неравными.
Кроме того, в реальном молекулярноммагнетике присутствуют анизотропные спин-спиновые взаимодействия и индуцированныеполем искажения структуры молекулы, приводящие к дополнительным различиям срассмотренной простой моделью.Рисунок 7: Модельная зависимость намагниченности молекулярного магнетика из четырёхантиферромагнитно связанных спинов S =1 от поля при T ≪J , J /k B =4К . Справадля сравнения результаты работы [4]: теоретическая кривая (красная) немногоотличается от нашей из-за учёта конечной температуры и небольшого отличияпараметров, экспериментальные данные (символы) демонстрируют сглаженные ступенькииз-за дополнительных взаимодействий и перестройки системы в сильном магнитном поле.стр. 12 из 3322.05.2018Спиновые волны в ферро- и антиферромагнетиках.2ћw/|J|ћ w/|J|110-p/a0p/a0-p/a-p/(2a)0p/(2a)p/akРисунок 8: Вычисленные в классическом приближении для цепочки спинов спектры спиновыхволн в ферромагнетике (слева) и в антиферромагнетике (справа).
Для антиферромагнетикасплошной линией показан спектр в магнитной первой зоне Бриллюэна, пунктиром спектрпродолжен по кристаллографической первой зоне Бриллюэна.Низкотемпературные свойства магнетиков полностью определяются видом и спектром ихвозбуждений. В магнитоупорядоченных кристаллах такими возбуждениями являютсяколебания локальной намагниченности, которые (аналогично представлению колебанийатомов в кристалле в виде упругих волн или фононов) могут быть представлены в виде волнколебаний намагниченности: спиновых волн или магнонов.Ниже мы рассмотрим примеры вычисления спектров спиновых волн в некоторых простыхмодельных случаях.
Забегая вперёд, отметим что оказывается, что спектр спиновых волн вферромагнетике и антиферромагнетике принципиально различается (рисунок 8).Длинноволновые спиновые волны в гейзенберговском ферромагнетике имеют квадратичныйспектр E ∝ k 2 , а в антиферромагнетике — линейный E ∝ k . Это отличие в спектрах несвязано с используемыми простыми моделями — может быть показано из общихсоображений (см.
[5], глава VII), что такое отличие в спектрах связано именно смакроскопическим различием ферро- и антиферромагнетиков.стр. 13 из 3322.05.2018Элементарные возбуждения ферромагнетика.Рисунок 9 К построению элементарного возбуждения ферромагнетика. (a) основноесостояние ферромагнитной цепочки, (b) возбуждённое состояние с перевёрнутым спиномна одном из узлов, (c) возбуждённое состояние типа доменной стенки, (d) спиновая волна.Рассмотрим модельный случай одномерной ферромагнитной цепочки при T =0 . Будемрассматривать эту задачу в классическом пределе, считая спины обычными векторами.Состоянию с наименьшей энергией соответствует параллельная ориентация всех спиновыхвекторов (рисунок 9-а). Как устроены возбуждения такой системы?В качестве напрашивающегося предположения, можно «перевернуть» один из спинов.Создание такого состояния потребует совершения работы δ E=4∣J ∣S 2 : энергия 2∣J∣ S 2проигрывается во взаимодействии и с левым и с правым соседом (рисунок 9-b).
Можнозаметить, что можно создать возбуждённое состояние с вдвое меньшей энергией, если«перевернуть» половину спинов слева от некоторого узла, создав доменную стенку — тогдапроигрывается энергия только на одной обменной связи (рисунок 9-c).Однако, если вспомнить, что спиновый вектор трёхмерный, оказывается возможносконструировать возбуждение со сколь угодно малой энергией. Для этого надо немногоотклонить спины от положения равновесия на малый угол. Так как, в силу симметриигамильтониана обменного взаимодействия, поворот всех спинов на одинаковый угол энергиюне меняет (сохраняется взаимная ориентация спинов), то эти углы поворота должныстр. 14 из 3322.05.2018отличаться на разных узлах.
Тогда оправданным приближением является поискэлементарного возбуждения в виде волны отклонения спина от равновесного положения(рисунок 9-d):()sin Θ cos (φ n)S⃗n= sin Θ sin( φ n)cos Θ,здесь Θ – угол отклонения спиновых векторов от «вертикали», а ϕ — «сдвиг» припереходе от одного узла к другому. Эта конфигурация соответствует тому, что все спиныотклонены от оси Z на малый угол Θ , а их проекция на плоскость (XY) поворачивается сшагом φ .Энергия такого состояния:E= J S 2 ∑ ⃗Sn⃗S n+1= J ∑ ( sin 2 Θ cos(φ n)cos (φ(n+1))+sin 2 Θ sin( φ n)sin (φ( n+1))+cos 2 Θ ) =nn= J S 2 ∑ ( sin2 Θ cos ϕ +cos 2 Θ ) =E 0−2 J S 2 N sin 2 Θsin 2n,ϕ22где E 0= J S N — энергия основного состояния ферромагнетика. Положительная добавка кэнергии основного состояния (напомним, что для ферромагнетика по нашему выбору знакаобменного гамильтониана J < 0 ) и есть энергия возбуждения, она может быть сделанасколь угодно малой4 увеличением периода волны (уменьшением φ ) и уменьшением углаотклонения Θ .
Возбуждения такого типа называют спиновыми волнами.4 Дополнительно можно отметить, что при выборе периодических граничных условий минимальное значениеϕ min =2π, что даёт оценку для энергии возбуждения независимо от параметраNΘε≤2 π2J S2 ,Nчто действительно меньше чем «наивные» возбуждения типа переворота спина или создания доменнойстенки.стр. 15 из 3322.05.2018Элементарное возбуждение одномерного ферромагнетика в моделиИзинга.†Рисунок 10 К построению возбуждения одномерного изинговского ферромагнетика. (a)переворот спина, (b) распад состояния с перевёрнутым спином на две доменные стенки, (с)«конфайнмент» доменных стенок в квазиодномерном изинговском ферромагнетике.Для возникновения спиновых волн рассмотренного типа необходима возможностьнепрерывно поворачивать спиновый вектор. В некоторых кристаллах ориентация спиновоговектора фиксируется вдоль или против какой-то оси кристалла сильными анизотропнымивзаимодействиями.
Такой магнетик называют изинговским, его элементарным возбуждениемв одномерном случае является описанная выше доменная стенка. Просто переворот спинараспадается на две доменные стенки, которые в чисто одномерном случае могут бытьсвободно разнесены друг от друга, что эквивалентно отсутствию взаимодействия такихвозбуждений.Отметим интересную особенность, возникающую в таком магнетике в квазиодномерномслучае.
Взаимодействие между соседними цепочками делает разбегание доменных стенокневыгодным, проигрыш в энергии растёт с увеличением длины «неправильного» домена. Этоозначает возникновение взаимодействия возбуждений, причём это взаимодействие (сэнергией взаимодействия линейно растущей с расстоянием) аналогично «конфайнменту» вкварковой теории (рисунок 10).стр. 16 из 3322.05.2018Спектр спиновых волн в ферромагнетике. Классическоерассмотрение.Рассмотрим модельную задачу ферромагнитно упорядоченной цепочки спинов 5 соднородным гейзенберговским взаимодействием ближайших соседей [1].
Энергия такойNцепочки:E= J ∑ ⃗S i⋅⃗S i+ 1 , гдеJ <0 .i=0Классическое рассмотрение, как и в модели молекулярного поля, вводит эффективное поле⃗ i = J ( S⃗ i+ 1+ ⃗BS i −1 ) , которое вызывает прецессию i-ого спина, если он отклонится отg μBнаправления эффективного поля:ℏd S⃗i=( g μ B ⃗S i )× ⃗B i=J ( ⃗S i× ⃗S i + 1+ ⃗S i× ⃗S i−1 ) .dtПриняв направление ферромагнитного момента за ось z и считая отклонениявекторное уравнение линеаризуется:S ix , y малыми,d S ix JS yy= ( S i −S i+y 1+ S iy −S i−1)ℏdtd S iyJS=− ( S ix −S i+x 1+ S ix −S ix−1 ) .ℏdtd S zi=0+ O ( S x S y )dtЗдесь можно уменьшить число уравнений, перейдя к комплексным переменным 6S ±=S x ±i S y :+d Si J S=−2i S i++ i S +i+1 +i S +i−1 ) ,(dtℏ+i (ωt −k x)откуда стандартной подстановкой S i =u eω=получаем уравнение для частот:JS( −2+e i k a + e−i k a )=−2 J S ( 1−cos (ka )) =−4 J S sin 2 k a (напомним, что2ℏℏℏJ < 0 ).График этой зависимости представлен на рисунке 8.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
